再来看一个ck12.org网站AP统计书上的正态分布问题
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它的书很好 而且是开源的
这应该是我们用的第三题了
你们可以自行到其网站上去下载书
假设美国一岁大的女孩体重服从正态分布 均值为9.5克
假设美国一岁大的女孩体重服从正态分布 均值为9.5克
这里应该是千克 我10个月大的儿子
都有20磅重 大概是9千克 9.5克相当于没有
我看小老鼠还差不多 所以应该是千克
均值是9.5千克 标准差大约是1.1千克
写一下 均值应该是9.5千克
标准差等于1.1千克
不使用计算器 这是有趣之处
估计美国1岁大女孩满足下列条件的百分比
不用计算器 也就是暗示使用经验法则
不用计算器 也就是暗示使用经验法则
经验法则又称作68-95-99.7法则
记住这个名字也就基本上记住了法则
在开始讲解问题之前 我先把这个法则讲清楚
在开始讲解问题之前 我先把这个法则讲清楚
首先画一个正态分布
像这样 这是我的正态分布
大致是那个意思就行了 它是对称的
这是均值
这是高于均值一个标准差处 这是低于均值一个标准差处
这是均值加一个标准差
这是均值减一个标准差
完美的正态分布中
低于均值一个标准差处到高于均值一个标准差处
低于均值一个标准差处到高于均值一个标准差处
也就是这个区域的面积 大概是68%
68%的概率落在均值左右一个标准差范围内
低于均值一个标准差处到高于均值一个标准差处
再看两个标准差的情况
低于均值两个标准差处到高于均值两个标准差处
低于均值两个标准差处到高于均值两个标准差处
也就是落在两个标准差范围内的概率 大概是95%
也就是落在两个标准差范围内的概率 大概是95%
包括中间这部分
68%这部分是95%这部分的子集
而均值三个标准差范围内的经验概率则是99.7%
而均值三个标准差范围内的经验概率则是99.7%
而均值三个标准差范围内的经验概率则是99.7%
这就是68-95-99.7法则的意思
99.7%也就是三个标准差范围内的经验概率
99.7%也就是三个标准差范围内的经验概率
下面将68-95-99.7经验法则用于解题
题设中均值和标准差已经给出 我画一下
首先画好坐标轴
这是坐标轴 再画钟形曲线
徒手画出这样的钟形曲线也蛮令人满意了
均值是9.5 两侧是对称的
这个高等于这个高 你们应该是懂的
我毕竟不是电脑 9.5是均值 单位我就不写了 全是千克
标准差是1.1 均值加一个标准差是10.6
标准差是1.1 均值加一个标准差是10.6
这里我画一些虚线 低于均值一个标准差
此时是9.5-1.1 也就是8.4
再看高于均值两个标准差 又要加一个标准差
再看高于均值两个标准差 又要加一个标准差
10.6后再一个标准差就到11.7了
再往外到第三个标准差处 需要再加1.1 得到12.8
另一侧进行相同处理 低于均值一个标准差得到8.4
低于均值两个标准差 再减1.1 得到7.3
然后低于均值三个标准差
再减1.1 得到6.2千克 这是初始情况
那么美国1岁女孩体重轻于8.4千克的概率是多少呢
那么美国1岁女孩体重轻于8.4千克的概率是多少呢
那么美国1岁女孩体重轻于8.4千克的概率是多少呢
这个概率也就是这个面积
这个概率也就是这个面积
这个概率也就是这个面积
这个概率也就是这个面积
那么 用经验法则如何求正态分布下这一区域的面积呢
那么 用经验法则如何求正态分布下这一区域的面积呢
我们现在知道的是
从均值左侧一个标准差处到均值右侧一个标准差处的面积 即68%
从均值左侧一个标准差处到均值右侧一个标准差处的面积 即68%
也就是说不在中间这个区域内的面积是32%
因为正态分布曲线下整个面积是100%或者说1
因为正态分布曲线下整个面积是100%或者说1
概率和面积是一样的 所有概率加起来也是1
绝对不可能超过100%
所以这两个尾部加起来的值就是100%-68%剩下的32%
所以这两个尾部加起来的值就是100%-68%剩下的32%
32%是左右两个尾部的面积的和
由于这是完美的正态分布 所以两边完全对称
由于这是完美的正态分布 所以两边完全对称
也就是说左侧的尾部和右侧的尾部均有相同面积
也就是说左侧的尾部和右侧的尾部均有相同面积
我用粉色标一下 这一个尾部的面积
结果像紫色 是16%
这一侧也是16%
也就是说 高于均值右侧一个标准差处的概率是16%
也就是说 高于均值右侧一个标准差处的概率是16%
低于均值左侧一个标准差处的概率也是16%
低于均值左侧一个标准差处的概率也是16%
这里要求1岁女婴小于8.4千克的概率
这里要求1岁女婴小于8.4千克的概率
小于8.4千克也就是这个面积
即16% 这是a部分的答案
再看b部分 7.3到11.7千克之间的概率
7.3在这里
低于均值两个标准差处 而11.7在高于均值两个标准差处
低于均值两个标准差处 而11.7在高于均值两个标准差处
这也就是问在均值两个标准差范围内的概率
这也就是问在均值两个标准差范围内的概率
这是均值 这里少两个标准差
这里多两个标准差 很简单
经验法则告诉我们
均值左右两个标准差之间的概率是95%
答案直接从经验法则中得到
最后c部分 美国1岁女婴体重大于12.8千克的概率
最后c部分 美国1岁女婴体重大于12.8千克的概率
12.8千克比均值大三个标准差
所以这里也就是求大于均值右侧三个标准差处的概率
所以这里也就是求大于均值右侧三个标准差处的概率
也就是这个面积 我用橙色表示
也许我该换个对比更强烈的颜色
也就是尾部这段狭长的面积
这个概率是多少
还是看经验法则
这个面积我们知道
-3标准差处到+3标准差处之间的概率是99.7%
-3标准差处到+3标准差处之间的概率是99.7%
-3标准差处到+3标准差处之间的概率是99.7%
绝大部分面积都在这个范围内
除了两个尾部
我们要求一个尾部的概率 小于三个标准差处的尾部要去掉
我们要求一个尾部的概率 小于三个标准差处的尾部要去掉
这个尾部概率同另一侧尾部的概率共同构成剩下的0.3%
这个尾部概率同另一侧尾部的概率共同构成剩下的0.3%
这个尾部概率同另一侧尾部的概率共同构成剩下的0.3%
这个尾部概率同另一侧尾部的概率共同构成剩下的0.3%
由于两个尾部对称
所以两侧的概率都是0.15%
所以两侧的概率都是0.15%
也就是说 美国1岁女婴体重超过12.8千克的概率
也就是说 美国1岁女婴体重超过12.8千克的概率
也就是正态分布曲线下方大于均值右侧三个标准差处的面积
也就是正态分布曲线下方大于均值右侧三个标准差处的面积
该概率等于0.15%
但愿这一节对大家有用