Pojďme vyřešit další příklad na normální rozdělení
ze sekce ck12.org AP statistické knihy.
Používám ji, protože je to otevřený zdroj a je to docela dobrá kniha.
Příklady jsou pro naše procvičování dobré.
Podívejte, číslo 3.
Můžete jít na jejich web a stáhnout si tuto knihu.
Předpokládejte, že průměrná váha 1-letých dívek má v USA normálního rozdělení...
... nebo je normálně rozdělena s průměrem okolo 9,5 gramů.
Měly by to být kilogramy.
Mám 10 měsíčního syna a ten váží okolo 9 kilogramů
a ne 9,5 gramů.
9,5 gramu je nic.
Vypadá to, jako by se zde hovořilo o myších.
Toto musí být kilogramy.
Je to o 9,5 kilogramech se směrodatnou odchylkou přibližně 1,1 gram.
Takže průměr je roven 9,5 kilogramů, předpokládám,
a směrodatná odchylka je rovna 1,1 kilogramů.
Bez použití kalkulačky... ... je to zajímavé vodítko...
Odhadněte procento 1-letých dívek v USA, které splňují následující podmínky.
Když říkají, že to máme odhadnout bez kalkulačky, tak je to velká nápověda,
abychom použili empirické pravidlo.
Empirické pravidlo, kterému se občas říká pravidlo 68-95-99,7.
A pokud si vzpomínáte, tak toto je jméno pravidla,
jakým si ho zapamatujete.
Co nám to říká, pokud máme normální rozdělení...
Nejprve to zde trochu shrnu, než se ponoříme do příkladu.
Pokud máme normální rozdělení...
... nakreslím normální rozdělení.
Vypadá to takto.
Toto je normální rozdělení.
Není to perfektně, ale představu máte.
Mělo by to být symetrické.
Zde je náš průměr.
Pokud bychom šli 1 směrodatnou odchylku nad průměr
a 1 směrodatnou odchylku pod průměr,
tak je to náš průměr plus 1 směrodatná odchylka.
Toto je náš průměr minus 1 směrodatná odchylka.
Pravděpodobnost nalezení výsledků,
pokud se zabýváme perfektním normálním rozdělením,
je mezi 1 směrodatnou odchylkou pod průměrem
a 1 směrodatnou odchylkou nad průměrem...
... tak by to byla tato plocha, což by bylo zhruba 68 %.
68 % šance, že získáte něco uvnitř 1 směrodatné odchylky od průměru.
Buď směrodatnou odchylku pod nebo nad nebo kdekoliv mezi.
Pokud se bavíme o 2 směrodatných odchylkách okolo průměru...
Pokud půjdeme dolů o další směrodatnou odchylku
a o další směrodatnou odchylku nahoru od průměru...
A zeptáme se sami sebe,
jaká je pravděpodobnost nalezení něčeho v tomto rámci,
tak byste to mohli odhadnout na 95 %.
A zahrnuje to tuto plochu zde.
68 % je podmnožinou těchto 95 %.
A myslím, že víte, kam to povede.
Pokud půjdeme 3 směrodatné odchylky pod průměr a nad průměr,
tak nám pravidlo 68-95-99,7 říká,
že existuje 99,7 % šance, že nalezneme výsledek normálního rozdělení,
v rozsahu 3 směrodatných odchylek od průměru.
Tedy nad 3 směrodatnými odchylkami pod průměrem
a pod 3 směrodatnými odchylkami nad průměrem.
Toto nám říká empirické pravidlo.
Nyní se podívejme, zda to můžeme aplikovat na tento příklad.
Dali nám průměr a směrodatnou odchylku.
Nakreslím to.
Nejprve nakreslím osu nejlépe, jak umím.
Toto je má osa.
Nakreslím zvonkovitou křivku.
Ta zvonkovitá křivka je tak dobrá,
jak ji jen můžete očekávat kreslením od ruky.
A průměr zde je 9... ... toto by mělo být symetrické.
Tato výška by měla být stejná, jako tato zde.
Myslím, že máte představu.
Nejsem počítač.
9,5 je průměr.
Nechci psát jednotky.
Všechny jsou v kilogramech.
1 směrodatná odchylka nad průměrem... ... měli bychom přičíst 1,1 k tomuto,
protože nám říkají, že směrodatná odchylka je 1,1.
Takže to bude 10,6.
Nakreslím zde tečkovanou čáru...
1 směrodatná odchylka pod průměrem...
... odečteme 1,1 od 9,5 a to by mělo být 8,4.
Pokud bychom šli 2 směrodatné odchylky nad průměr,
tak bychom přičetli další směrodatnou odchylku.
Šli jsme 1 směrodatnou odchylku, 2 směrodatné odchylky.
To by nám dalo 11,7.
A pokud bychom šli 3 směrodatné odchylky, tak bychom opět přičetli 1,1.
Dostali bychom 12,8.
Když to uděláme na opačné straně,
tak 1 směrodatná odchylka pod průměrem je 8,4.
2 směrodatné odchylky pod průměrem...
... znovu odečíst 1,1... a bude to 7,3.
A pak 3 směrodatné odchylky pod průměrem...
... což bychom napsali zde... ... by byly 6,2 kilogramů.
Toto je vyznačení našeho příkladu.
Jaká je pravděpodobnost, že bychom našli 1-letou dívku v USA,
která váží méně než 8,4 kilogramů?
Nebo bych měl říct, s hmotností menší než 8,4 kilogramů.
Pokud se podíváme sem, tak pravděpodobnost nalezení miminka
nebo holčičky, která má 1 rok
a hmotnost nebo váhu menší než 8,4 kilogramů,
tak je to tato plocha.
Říkám hmotnost, protože kilogramy jsou jednotky hmotnosti.
Hodně lidí používá váhu.
Je to tato plocha.
Jak můžeme zjistit tuto plochu
pod tímto normálním rozdělením s použitím empirického pravidla?
Známe tuto plochu.
Známe tuto plochu mezi minus 1 směrodatnou odchylkou
a plus 1 směrodatnou odchylkou.
Víme, že je to 68 %.
Pokud je to 68 %, tak to znamená, že v části, která není uprostřed,
je hodnota plochy 32 %.
Protože plocha pod celým normálním rozdělením je 100 nebo 100 % nebo 1,
v závislosti na tom, jak o tom chcete přemýšlet.
Protože nemůžete mít...
Všechny možné kombinace mohou vést pouze k 1.
Nemůžete mít více než 100 %.
Pokud sečtete tento úsek a tento úsek...
... tedy toto plus toto bude zbytek.
100 minus 68 je 32.
32 %
32 % je pokud sečtete tuto levou stranu a tuto pravou stranu.
A toto je perfektní normální rozdělení.
Řekli nám, že je to normální rozdělení.
Budou perfektně symetrické.
Pokud tuto stranu a tuto stranu přičteme k 32,
ale obojí jsou symetrické, což znamená, že mají stejnou plochu,
pak tato strana... udělám ji růžově... ... vypadá spíš jako fialová...
... pak tato strana by byla 16 %.
A tato strana zde bude 16 %.
Takže pravděpodobnost , že dostanete více než 1 směrodatnou odchylku nad průměrem...
... tato pravá strana bude 16 %.
Nebo pravděpodobnost, že budeme mít výsledek menší
než 1 směrodatnou odchylku pod průměrem, by byla tato... 16 %.
Chtějí znát pravděpodobnost,
že budeme mít 1-leté dítě vážící méně než 8,4 kilogramů.
Méně než 8,4 kilogramů je v této oblasti.
A to je 16 %.
16 % je odpověď pro část (a).
Udělejme část (b): mezi 7,3 a 11,7 kilogramy.
Mezi 7,3... to je někde tady.
Jsou to 2 směrodatné odchylky pod průměrem...
... a 11,7 jsou 2 směrodatné odchylky nad průměrem.
V podstatě se nás ptají, jaká je pravděpodobnost,
že dostaneme výsledek uvnitř 2 směrodatných odchylek od průměru.
Zde je průměr.
Toto jsou 2 směrodatné odchylky pod.
Toto jsou 2 směrodatné odchylky nad.
Je to hezky přímočaré.
Empirické pravidlo nám říká,
že mezi 2 směrodatnými odchylkami máme 95 % šanci, že získáme žádaný výsledek.
Takže nám empirické pravidlo dává odpověď.
A nakonec část (c):
Pravděpodobnost, že 1-letá holčička z USA bude mít více než 12,8 kilogramů.
12,8 kilogramů jsou 3 směrodatné odchylky nad průměrem.
Chceme tedy znát pravděpodobnost, že budeme mít výsledek
vyšší než 3 směrodatné odchylky nad průměrem.
Je to tato oblast, kterou jsem zakreslil oranžově.
Možná bych měl použít jinou barvu kvůli kontrastu.
Je to tato malá oblast.
Jaká je pravděpodobnost?
Vraťme se zpět k empirickému pravidlu.
Známe pravděpodobnost... ... známe tuto plochu.
Známe plochu mezi -3 směrodatnými odchylkami
a +3 směrodatnými odchylkami.
Známe toto... vzhledem k tomu, že je to poslední příklad,
můžu celou oblast obarvit...
Víme, že tato oblast mezi -3 a +3 směrodatnými odchylkami je 99,7 %.
Velký objem výsledků spadá pod toto.
Myslím tím skoro všechny.
Co tedy zbývá na tyto 2 okraje?
Toto je 1 z okrajů.
Pak máte výsledky, které jsou menší než 3 směrodatné odchylky pod průměrem.
Tento okraj zde.
Říká nám to, že méně než 3 směrodatné odchylky pod průměrem
a více než 3 směrodatné odchylky nad průměrem
musí být dohromady zbytek.
Zbytek tvoří pouze 0,3 %.
A tyto 2 strany jsou symetrické.
Budou si tedy rovny.
Tato zde musí být polovinou tohoto, tedy 0,15 %
a zde bude také 0,15 %.
Pravděpodobnost, že v USA bude 1-letá holčička s více než 12,8 kilogramy,
pokud předpokládáte perfektní normální rozdělení plochy pod touto křivkou,
tak je to plocha větší než 3 směrodatné odchylky nad průměrem.
A to je 0,15 %.
Doufám, že jste to shledali užitečným.