Ta có phương trình x bình
cộng y bình = 1.
Mình nghĩ ta có thể gọi nó là 1 mối quan hệ.
Và nếu ta vẽ các điểm x và y
thỏa mãn mối quan hệ này,
ta có hình tròn đơn vị như thế này.
Điều mình tò mò trong video này là
làm sao ta có thể tìm ra hệ số góc của đường tiếp tuyến
tại bất kì điểm nào của hình tròn đơn vị này.
Và điều mà bạn nghĩ đến ngay lập tức trong đầu là,
nếu mà hình tròn được xác định theo cách này, thì nó không phải là 1 hàm số.
Nó không phải là y được định nghĩa tường minh bởi 1 hàm số của x.
Với bất kì giá trị x, ta có thể có 2 giá trị y
thỏa mãn mối quan hệ này.
Vậy, bạn có thể muốn tách cái này
thành 2 hàm số x riêng biệt.
Bạn có thể nói y = căn bậc 2 của 1
trừ x bình.
Và bạn có thể nói y = trừ căn bậc 2 của 1
trừ x bình.
Lấy đạo hàm của từng cái riêng biệt.
và bạn có thể tìm ra đạo hàm của bất kì x nào,
hoặc đạo hàm của hệ số góc của đường tiếp tuyến
tại điểm bất kỳ.
Nhưng điều mình muốn làm trong video này là
thật sự tận dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp
để lấy vi phân tìm đạo hàm.
Như vậy, mình không phải xác định y 1 cách tường minh
là 1 hàm số của x ngược lại.
Và điều ta làm là thật sự chỉ
áp dụng đạo hàm theo biến x cho cả 2 bên của phương trình này.
Và sau đó áp dụng những gì ta biết về quy tắc đạo hàm hàm hợp.
Bởi vì ta không định nghĩa tường minh y
là 1 hàm số của x, và không lấy y tường minh
bằng f phẩy của x, ta gọi
cái này, thực chất chỉ là ứng dụng của quy tắc đạo hàm hàm hợp.
là phép lấy vi phân tìm đạo hàm.
Điều mình muốn bạn luôn luôn ghi nhớ
là nó chỉ là
sự ứng dụng của quy tắc đạo hàm hàm hợp.
Hãy áp dụng đạo hàm theo x cho cả 2 vế của nó.
Vậy nó là đạo hàm với x
của x bình cộng y bình, bên tay trái
của phương trình của ta.
Nó sẽ bằng với đạo hàm
của x bên tay phải.
Mình chỉ đang làm tương tự với
cả 2 vế của phương trình.
Bây giờ, mình lấy đạo hàm của tổng 2 số hạng,
nó giống với lấy tổng của đạo hàm.
Vậy cái này sẽ bằng với
đạo hàm với x của x bình,
cộng đạo hàm với x của y bình.
Mình sẽ viết những phần màu cam trước.
Xem nào.
Cái này sẽ là x bình, cái này sẽ là y bình.
Và cái này sẽ bằng đạo hàm
với x của 1 hằng số.
Nó sẽ không đổi với x.
Nên ta có 0.
Số hạng đầu tiên ở ngay đây,
ta đã làm rất rất nhiều lần rồi.
Đạo hàm này với x của x bình
sẽ chỉ là quy tắc lũy thừa thôi.
Nó sẽ là 2 nhân x mũ 1.
Ta có thể nói 2x.
Bây giờ, điều thú vị là cái mình đang làm ngay đây.
Đạo hàm với x của y bình.
Điều ta nhận ra là chỉ áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp.
Nếu ta lấy đạo hàm
với x của cái gì đó, ta chỉ lấy
đạo hàm , để mình làm rõ,
ta sẽ chỉ lấy đạo hàm của cái gì đó.
Mình lấy đạo hàm đối với y của y bình.
bạn có thể xem nó như 1 hàm số, với y
và sau đó, nhân nó với đạo hàm của y
đối với x.
Ta đang giả sử y thay đổi với x.
y không phải là 1 hằng số mà ta
chỉ ghi dưới dạng trừu tượng.
Vậy ta lấy đạo hàm của toàn bộ cái này
với y.
Một lần nữa, quy tắc đạo hàm hàm hợp.
Sau đó, ta lấy đạo hàm của y
với x.
Nó có thể rõ hơn 1 chút nếu bạn nghĩ
nó như đạo hàm của y đối với x.
và y là hàm số của x.
Hoặc là y là 1 hàm số của x bình,
bản chất nó là cách ghi khác mà ta có ở đây.
Nó có thể rõ hơn 1 chút
dưới dạng quy tắc đạo hàm hàm hợp.
Đạo hàm của y là hàm số
của x bình đối với y.
Vậy đạo hàm của cái gì đó bình với
cái đó, nhân đạo hàm của nó.
với x.
Nó chỉ là quy tắc đạo hàm hàm hợp.
Mình muốn nhắc đi nhắc lại.
Nó chỉ là quy tắc đạo hàm hàm hợp.
Vậy hãy làm nó nhé.
Ta sẽ có gì phía bên tay phải này?
Mình sẽ viết nó sang đây.
Nó sẽ bằng với đạo hàm của y bình
với y, sẽ chỉ là 2 nhân y.
chỉ là ứng dụng của quy tắc đạo hàm hàm hợp.
Và đạo hàm của y với x?
Ta không biết nó là gì.
Vậy ta chỉ để nó là nhân với đạo hàm
của y với x.
Hãy chỉ ghi nó xuống ở đây.
Ta có 2x cộng đạo hàm của cái gì đó bình
với cái đó,
là 2 nhân
chính nó.
Trong trường hợp này, nó là y, vậy 2 nhân y.
Sau đó, nhân đạo hàm của y với x.
Và tất cả cái này sẽ bằng 0.
Nó thú vị đấy chứ.
Bây giờ, ta có phương trình có đạo hàm
của y với x ở trong đó.
Và cái này thực chất là điều mình muốn giải.
Nó là hệ số góc của đường tiếp tuyến tại điểm bất kì.
Vậy tất cả những gì mình nên làm tại điểm này là tìm
đạo hàm của y với x.
Giải phương trình này.
Hãy làm thôi.
Thật ra, để cho ta làm tất cả cái này
trên 1 trang để ta biết ta bắt đầu từ đầu, mình sẽ sao chép
và dán nó ở đây.
Đây là chỗ mình đang làm dở.
Và hãy bắt đầu từ đó.
Hãy trừ 2x cho cả 2 vế.
Để cho ta còn lại với 2y nhân đạo hàm của y,
với x, sẽ bằng với, ta đang trừ 2x
cho cả 2 vế, nó sẽ bằng trừ 2x.
Và nếu ta thật sự muốn tìm đạo hàm của y
với x, ta có thể chỉ chia 2 vế cho 2y.
Và ta còn lại đạo hàm của y
với x.
Hãy kéo xuống 1 chút.
Đạo hàm của y với x
sẽ bằng với, số 2 bị triệt tiêu.
Ta còn lại trừ x trên y.
Cái này thú vị đây.
Ta không cần phải xác định tường minh y
là hàm số của x ở đây.
Nhưng ta có đạo hàm của ta dưới dạng của x và y.
Không những chỉ là dưới dạng của x.
Nhưng nó có nghĩa là gi?
Nếu ta muốn tìm, giả sử
ta muốn tìm đạo hàm tại điểm này
ở ngay đây.
Nếu bạn đã quen với hình tròn đơn vị,
vậy nó là góc 45 độ.
Nó sẽ là căn bậc 2 của 2 trên 2, phẩy
căn bậc 2 của 2 trên 2.
Hệ số góc của đường tiếp tuyến đó là gì?
Ta đã tìm ra nó rồi.
Nó sẽ là trừ x trên y.
Vậy, hệ số góc của đường tiếp tuyến này,
sẽ bằng trừ x.
Vậy trừ căn bậc 2 của 2 trên 2 trên y.
trên căn bậc 2 của 2 trên 2, là bằng trừ 1.
Nó trông đúng đấy.