0:00:00.670,0:00:06.930
Máme zadanou rovnici, či spíše vztah: [br]x na druhou plus y na druhou rovná se 1.

0:00:06.947,0:00:15.701
Po zakreslení všech bodů, co tomuto vztahu[br]odpovídají, dostanu jednotkovou kružnici.

0:00:15.701,0:00:23.206
V tomto videu si ukážeme, jak určit sklon[br]tečny v libovolném bodě na této kružnici.

0:00:23.206,0:00:40.389
Možná vás napadlo, že taková kružnice není[br]grafem funkce, každému x odpovídají dvě y.

0:00:40.389,0:00:46.554
Instinkt by nám mohl radit rozdělit [br]kružnici na dvě oddělené funkce:

0:00:46.554,0:00:52.601
y by se rovnalo kladné odmocnině[br]z jedné minus x na druhou,

0:00:52.601,0:00:58.901
a y by se rovnalo záporné[br]odmocnině z jedné minus x na druhou,

0:00:58.901,0:01:08.384
obě bychom odděleně zderivovali, a dostali[br]tak sklony obou tečen pro jakékoli x.

0:01:08.384,0:01:15.269
Dnes si však ukážeme, jak derivaci nepřímo[br]provést pomocí pravidla o složené funkci,

0:01:15.269,0:01:20.304
abych nemusel takto přímo[br]definovat dvě oddělené funkce.

0:01:20.304,0:01:29.865
Uděláme to, že zderivujeme obě strany[br]a použijeme pravidlo o složené funkci.

0:01:29.865,0:01:37.366
A jelikož přímo nedefinujeme funkci f(x) a[br]nehledáme derivaci z f(x),

0:01:37.366,0:01:47.730
této aplikaci pravidla o složené[br]funkci říkáme implicitní derivace.

0:01:47.730,0:01:54.219
Jen mějte napříč celým videem na paměti,[br]že je to použití pravidla o složené funkci.

0:01:54.219,0:01:57.029
Pojďme zderivovat obě strany.

0:01:57.029,0:02:10.088
Levá strana je derivace x na druhou [br]plus y na druhou, podle x.

0:02:10.088,0:02:21.705
To se bude rovnat derivaci pravé strany,[br]což je 1, podle x tak jako nalevo.

0:02:21.705,0:02:29.610
Derivovat součet těchto dvou proměnných[br]je to stejné jako sčítat jejich derivace,

0:02:29.610,0:02:44.112
Takže tohle je derivace x druhou plus[br]derivace y na druhou, obojí podle x.

0:02:44.117,0:02:49.546
Když derivuji 1 podle x,[br]nemění se, zůstává konstantní.

0:02:49.546,0:02:52.396
Takže derivace bude 0.

0:02:52.396,0:03:04.779
Tady první sčítanec jsme viděli mnohokrát,[br]rovná se to 2x na prvou.

0:03:04.779,0:03:08.559
Druhý sčítanec je zajímavější.

0:03:08.574,0:03:12.491
Derivace y na[br]druhou podle x.

0:03:12.491,0:03:16.957
Hlavní je si uvědomit, že tady můžeme[br]uplatnit pravidlo o složené funkci.

0:03:16.957,0:03:24.837
Počítáme derivaci výrazu podle x,[br]což je podle pravidla o složené funkci:

0:03:24.837,0:03:36.187
derivace y na druhou podle y,[br]mocninu můžeme brát jako funkci,

0:03:36.191,0:03:43.614
krát derivace y[br]podle x.

0:03:43.614,0:03:50.920
Předpokládáme, že y není konstanta,[br]že se jeho hodnota s x mění.

0:03:50.920,0:03:58.617
Takže derivujeme y na druhou podle y[br]podle pravidla o složené funkci.

0:03:58.617,0:04:03.860
Derivaci y na druhou podle y[br]násobíme derivací y podle x.

0:04:03.860,0:04:18.464
Pro lepší představu vnímejte tohle jako[br]derivaci funkce y(x) podle x.

0:04:18.464,0:04:24.070
Nebo lépe, y(x) na druhou,[br]což už máme napsané tady.

0:04:24.070,0:04:27.440
Tenhle zápis lépe sedí do[br]pravidla o složené funkci.

0:04:27.440,0:04:41.933
Derivace výrazu na druhou podle tohoto[br]výrazu krát derivace výrazu podle x.

0:04:41.933,0:04:49.715
Opakuji to pořád dokola, tohle není[br]nic jiného než pravidlo o složené funkci.

0:04:49.715,0:04:54.163
Pojďme to spočítat, co [br]máme na pravé straně?

0:04:54.163,0:05:05.398
Derivace y na druhou podle[br]y se bude rovnat 2y.

0:05:05.398,0:05:14.964
A hodnotu derivace y podle x ještě[br]neznáme, takže to sem prostě opíšu.

0:05:14.964,0:05:16.800
Přepíšu to sem.

0:05:16.800,0:05:32.367
Máme 2x plus derivaci y na druhou[br]podle y, což bude 2y,

0:05:32.367,0:05:42.905
krát derivace y podle x,[br]a to celé se bude rovnat 0.

0:05:42.905,0:05:49.696
Dostali jsme se k rovnici, jež má v sobě[br]zakomponovanou derivaci y podle x.

0:05:49.696,0:05:54.919
To je přesně to, co chceme, tato část[br]vyjadřuje sklon tečny v libovolném bodě.

0:05:54.919,0:06:02.252
Teď už jen zbývá vyřešit[br]naši rovnici, jdeme na to.

0:06:02.252,0:06:14.259
Jen to celé překopíruji sem doprava,[br]abychom měli výpočet na jedné straně.

0:06:14.259,0:06:29.735
Odečtu od obou stran 2x, takže derivace y[br]podle x krát 2y se rovná minus 2x.

0:06:29.735,0:06:39.512
A abychom spočítali hodnotu naší[br]derivace, vydělíme obě strany 2y,

0:06:39.512,0:06:59.215
Získáme, že se derivace y podle x rovná[br]minus x lomeno y, dvojka se nám vykrátí.

0:06:59.215,0:07:04.595
Tohle je zajímavé, nemuseli jsme[br]definovat dvě různé funkce y,

0:07:04.606,0:07:10.676
hodnotu derivace máme určenou nejen[br]ve vztahu k x, ale zároveň také k y.

0:07:10.676,0:07:12.274
Co to ale znamená?

0:07:12.274,0:07:20.292
Inu, pokud bychom chtěli najít[br]derivaci třeba v tomto bodě...

0:07:20.292,0:07:31.134
Pokud je zde úhel 45°, bude bod [odmocnina[br]z 2 lomeno 2 ; odmocnina z 2 lomeno 2],

0:07:31.134,0:07:33.706
jaký je tu sklon tečny?

0:07:33.706,0:07:52.261
Víme, že se bude rovnat minus x, což[br]je minus odmocnina z 2 lomeno 2,

0:07:52.261,0:07:56.221
lomeno y, což je[br]odmocnina z 2 lomeno 2.

0:07:56.221,0:08:01.081
Sklon se rovná −1,[br]což odpovídá i grafu.