...
Хајде мало да размислимо о запремини купе.
Основа купе је круг,
или претпостављам зависи како желите да је нацртам.
Ако замислите неку врсту конусног шешира,
онда ће имати круг у основи.
А завршиће се у некој тачки.
Дакле, изгледаће некако овако.
Можемо сматрати да је ово купа, ево овако.
Или можемо да је поставимо наопако, ако
мислимо на корнет од сладоледа.
Може да изгледа и некако овако.
Ово је врх.
Онда иде доле овако.
Ово је такође и као пластична чаша за воду
коју сте можда видели у неким апаратима за хладну воду.
Битна ствар о којој треба да размишљамо
када желимо да сазнамо запремину купе је
да дефинитивно морамо да знамо полупречник основе...
морамо да знамо полупречник основе...
Дакле, ово је полупречник основе.
Или, ово је полупречник дела на врху.
Дефинитивно, треба да знамо колики је полупречник.
И треба да знамо висину купе...
висину купе.
Нека је означимо са h.
Ја ћу то написати овде.
Можемо да означимо ово растојање овде са h.
Формула за запремину купе... то је
занимљиво, јер је слична формули за запремину
ваљка на један јасан начин, а то је
помало изненађујуће.
Оно што је сјајно за
много ствари у тродимензионалној геометрији
је да није тако неуређена као што мислите.
Ово је површина основе.
Дакле, колика је површина основе?
Површина основе ће бити π r на квадрат.
Биће π r на квадрат пута висина.
Ако помножимо висину са π r на квадрат,
то ће нам дати запремину целог ваљка што
изгледа некако овако.
Дакле, то ће нам дати целу запремину
тела које изгледа овако, где је
центар горњег дела овај врх баш овде.
Дакле, ако само оставим π r на квадрат
h или h пута π r на квадрат, то ће бити запремина
целе конзерве, целог ваљка.
Али, ако баш желимо купу, она је 1/3 од тога.
То је 1/3 од тога.
То је оно што мислим кад кажем
да је зачуђујуће једноставно да је ова овде купа
1/3 запремине овог цилиндра што у суштини...
можемо да посматрамо као да је ваљак окружио купу.
Или ако желите да препишем ово,
можемо да напишемо ово као 1/3 пута π или π/3 пута hr
на квадрат.
Како год желите то да посматрате.
Који би био једноставан начин да то запамтите?
За мене, запремина ваљка је доста интуитивна.
Узимамо површину основе.
Затим је множимо са висином.
Сада је запремина купе 1/3 од тога.
Она је 1/3 од запремине цилиндра који је око ње и то је
један начин да размишљамо о томе.
Али, хајде да уврстимо ове бројеве, само
да будемо сигурни да то има смисла.
Нека је ово нека врста чаше облика купе,
врста коју можете да видите на аутоматима за воду.
Нека су нам рекли да
садржи 131 кубних центиметара воде.
Нека су нам дали висину баш
ову овде... (желим да то буде у другој боји)
Речено нам је да је висина ове купе 5 центиметара.
Ако нам је то дато, колики је приближно
полупречник круга на врху чаше?
Рецимо, на најближи десети део центиметра.
Дакле, ми треба само да применимо формулу.
Запремина, која је 131 кубних центиметара,
ће бити једнака са1/3 пута π
пута висина, која је 5 центиметара... 5 центиметара, пута полупречник
на квадрат... пута полупречник на квадрат.
Ако желимо да израчунамо полупречник на квадрат,
можемо да поделимо обе стране са свим овим.
Добићемо да је квадрат полупречника
једнак 131 центиметара квадратних...
или 131 квадратних центиметара, могу и тако да кажем.
Делимо са 1/3.
То је исто као да множимо са 3.
Затим, наравно треба још да поделимо са π.
Поделићемо са 5 центиметара...
5 центиметара.
Да погледамо да ли можемо да поједноставимо.
Центиметри ће се скратити са овим центиметрима.
Остаће нам само квадратни центиметри
и то само у имениоцу.
И онда... ово ће бити...
И онда, да решимо по r, можемо да
коренујемо обе стране.
Можемо да кажемо да ће r бити
једнако са квадратним кореном из 3 пута 131 што је 393 са 5 π.
Дакле, овај део баш овде.
Још једном, запамтите, можемо да посматрамо јединице баш
као алгебарске величине.
Квадратни корен из центиметра на квадрат - па,
то ће бити само центиметри, што је фино,
зато што желимо да су наше јединице у центиметрима.
Хајде да узмемо калкулатор да конкретно израчунамо
овај збркан израз.
Укључите га.
Да видимо.
Корен из 393 подељено са 5 пута π... 5 пута π, је једнако са 5... дакле,
то је доста близу.
Дакле, на најближи десети део то је 5 центиметара.
Дакле, наш полупречник је приближно једнак 5 центиметара,
барем у овом примеру.