円錐の体積について考えてみましょう。
円錐には、円の底面があり
みなさんがどのようにそれを描くかによりますが
とんがり帽子のようなものと考えるなら
まず円を描くでしょう
いくつかポイントになってきます。
このようなものですね。
これを円柱とします。
上下をひっくり返すと
アイスクリームのコーンのように考えることもできますね
以下のようになるでしょう。
上の面があって
下の部分はこのようになるでしょう。
水の使い捨てコップですね。
ウォータクーラーで見かけるかもしれません。
円錐の体積を考える際に、必要なことを
円錐の体積を考える際に、必ず必要なのは
底面の半径です。
ここも、半径になります。
半径と
円錐の高さが必要です。
高さをｈとします。
こちらにも記しておきます。
これもｈとおけます。
円錐の体積の公式は
興味深いです。というのも、円柱の体積の公式に
似ています。
ちょっとビックリしますね。
それは、立体の図形において
きっちりしているのは
あなたが思っているほど煩雑なものではありません。
底面の面積
底面の面積はいくらでしょうか。
底面の面積は、π×ｒの二乗
なので、π×ｒの二乗×高さ
高さ×π×ｒの二乗
で今から描く円柱の体積が求まります。
で円柱の体積が求まります。
この円柱の体積です。
こんな形の円柱の体積です。
先端がちょうどこの辺になります。
よって、もしそれがπｒの二乗ｈ、
またはｈ×πｒの二乗
このような空き缶、それはこのような円柱の体積になります
円錐の体積を求める場合は
その３分の１になります。
つまり私が言いたいのは
この円錐の体積は、
円柱の体積の３分の１
この円柱が、それで囲んでいるとします。
もう一度これを描きたかったんですよ。
１／３×π×ｈ×ｒの二乗またはπ／３×ｈ×ｒの二乗
でも、あなたがそれをみたいなら
覚えやすい方法は
私にとっては、円柱の体積が、直感的です。
底面積を考えます
そして、それに高さをかけます。
つまり、円錐の体積は、それの３分の１
ちょうど、それを囲む円柱の体積の１／３
それが円錐の体積を覚えておく一つの方法です
では実際に数値で当てはめて
それを意味を確かめてみましょう。
これが、円錐ガラスの一種であるとします。
ウォータクーラーで見かけるかもしれません。
ここでは、それが
１３１立方センチメートルの水が入っているとします。
ちょうどこの部分の高さが
色を変えたいですね
この円柱の高さが５センチメートルとします。
それが与えられたとして、上の面の半径は
およそいくらになるでしょうか。
ほぼ０．１センチメートルぐらいでしょうか
公式に当てはめていましょう。
体積は１３１立方センチメートル
これが１／３×π
×高さ５ｃｍ×半径の
二乗
半径の二乗を解くには
この過程では、正負の両方の解が得られますが
半径の二乗は
１３１立方センチメートル
言い直さないと行けないですね。１３１立方センチメートル
割る１／３
つまり、かける３
を割ることのπと５ｃｍ
簡単にしておきましょう。
ｃｍの累乗は、１乗分だけ消すことができるので
ｃｍの２乗に残すことができます
計算上では
ではｒを解きましょう。
両辺の平方根をとると
ｒは
５π分の３かける１３１、つまり５π分の３９３
ちょうどこの部分に
もう一度。数値のように
この部分を扱えます。
センチメートルの二乗のルートは
そうです、センチメートルです
センチメートルの部分が欲しいので
計算機で、このややこしい部分を
計算してみましょう。
スイッチを入れます。
ちょっと待って下さいね。
ルートの３９３割る５π
は５．００．．．
ほぼ５
よって半径はおよそ５ｃｍ
というふうに、少なくともこの例から分かります