0:00:00.420,0:00:03.360
f(x)의 매클로린[br]급수 표현식을

0:00:03.360,0:00:07.200
구할 수 있는지[br]확인해 봅시다

0:00:07.200,0:00:09.633
f(x)는 x³cosx² 입니다

0:00:09.966,0:00:12.767
f(x)는 x³cosx² 입니다

0:00:12.767,0:00:14.993
강의를 멈추고[br]한번 풀어 보세요

0:00:14.993,0:00:16.500
기억하세요[br]매클로린 급수는

0:00:16.500,0:00:19.820
0을 중심으로 하는[br]테일러 급수일 뿐입니다

0:00:19.820,0:00:21.940
목표는 이 식의

0:00:21.940,0:00:26.635
매클로린 급수 표현식 또는[br]매클로린 급수의 근사식의

0:00:26.640,0:00:29.920
처음 5개 항이[br]0이 아닌 것입니다

0:00:29.920,0:00:31.900
강의를 멈추고

0:00:31.900,0:00:33.600
풀어 보았다고[br]가정할게요

0:00:33.600,0:00:35.260
이 식을 풀 때

0:00:35.267,0:00:36.833
상당히 좌절하였을[br]가능성이 큽니다

0:00:36.840,0:00:39.900
테일러 급수나[br]매클로린 급수를 구하기 위해서

0:00:39.900,0:00:42.360
이 함수의 도함수를[br]구해야 하는데

0:00:42.367,0:00:43.566
도함수를 구하기 시작하면

0:00:43.566,0:00:45.080
고통스러워지기 때문이죠

0:00:45.080,0:00:47.400
f'(x)는

0:00:47.400,0:00:48.635
곱의 미분법을 이용하면

0:00:48.640,0:00:52.540
3x²cosx² + x³·2x(-sinx²)

0:00:52.540,0:00:56.480
3x²cosx² + x³·2x(-sinx²)

0:00:56.480,0:00:57.840
3x²cosx² + x³·2x(-sinx²)

0:00:57.840,0:01:02.060
3x²cosx² + x³·2x(-sinx²)

0:01:02.060,0:01:05.200
3x²cosx² + x³·2x(-sinx²)

0:01:05.300,0:01:06.566
고통스럽네요

0:01:06.566,0:01:07.938
그러나 두 번, 세 번, 네 번[br]미분할수록

0:01:07.938,0:01:10.559
더욱 더 고통이[br]커질 것입니다

0:01:10.559,0:01:11.500
더 미분해야 할지도 모릅니다

0:01:11.500,0:01:13.766
어떤 항은 0이[br]될 수도 있기 때문이죠

0:01:14.233,0:01:16.066
처음 5개 항이[br]0이 아니어야 합니다

0:01:16.066,0:01:20.580
f''(x)는 고통입니다

0:01:20.580,0:01:22.000
f''(x)는 고통입니다

0:01:22.003,0:01:23.400
삼계도함수, 사계도함수 모두

0:01:23.400,0:01:25.880
고통스러울 것입니다

0:01:25.880,0:01:26.860
어떻게 해야 하나요?

0:01:26.867,0:01:27.833
그냥 해야 합니다

0:01:27.833,0:01:29.334
구한 식에 0을 대입하여

0:01:29.340,0:01:31.780
계수를 구합니다

0:01:31.780,0:01:34.200
하지만 이 식을 푸는데

0:01:34.200,0:01:37.100
쉬운 방법이 있다고[br]예상했을 것입니다

0:01:37.100,0:01:40.700
힌트를 드릴게요

0:01:40.700,0:01:45.820
cosx의 매클로린 급수를[br]알고 있죠

0:01:45.820,0:01:47.200
지난 강의에서[br]다루었습니다

0:01:47.200,0:01:50.261
다시 보고 싶다면[br]다른 강의가 있습니다

0:01:50.261,0:01:53.880
칸아카데미에서[br]"cosine Taylor series at zero"인

0:01:53.880,0:01:54.960
0에서 코사인의 테일러 급수를[br]찾아보세요

0:01:54.966,0:01:55.966
하지만 이미 알고 있습니다

0:01:55.966,0:01:59.566
이는 유명한 매클로린 급수[br]중 하나입니다

0:01:59.566,0:02:01.866
g(x) = cosx 라고 합시다

0:02:01.866,0:02:04.420
g(x) = cosx 라고 합시다

0:02:04.420,0:02:07.480
g(x) = cosx 라고 합시다

0:02:07.480,0:02:10.840
이 식의 매클로린 급수[br]근사식은

0:02:10.840,0:02:13.300
이 식의 매클로린 급수[br]근사식은

0:02:13.300,0:02:17.020
1 - x²/2! + x⁴/4! - x^6/6! +

0:02:17.020,0:02:18.920
1 - x²/2! + x⁴/4! - x^6/6! +

0:02:18.920,0:02:24.160
1 - x²/2! + x⁴/4! - x^6/6! +

0:02:24.160,0:02:28.920
1 - x²/2! + x⁴/4! - x^6/6! +

0:02:28.920,0:02:30.900
이런 식으로 진행됩니다

0:02:30.900,0:02:32.200
어떻게 돌아가는지[br]알겠죠?

0:02:32.200,0:02:36.520
+ x^8/8!

0:02:36.520,0:02:37.633
마이너스, 플러스 돌아가며

0:02:37.640,0:02:40.000
계속 됩니다

0:02:40.000,0:02:42.960
5개 항이 필요하므로[br]이 항들입니다

0:02:42.960,0:02:45.040
이 함수에 대한[br]5개 항을 구해야 하지만

0:02:45.044,0:02:45.733
기다려 보세요

0:02:45.733,0:02:47.100
이 식이 어떻게 유용해지는지

0:02:47.100,0:02:48.407
확인할 수 있을 것입니다

0:02:48.500,0:02:50.433
cosx의 매클로린 급수[br]표현식으로써

0:02:50.440,0:02:54.040
상기시켜 보았습니다

0:02:54.040,0:02:57.280
힌트는 이 식을 이용하여

0:02:57.280,0:03:01.100
이 함수의 매클로린 급수[br]표현식을 구할 수 있냐는 것입니다

0:03:01.100,0:03:02.433
이 함수의 매클로린 급수[br]표현식을 구할 수 있냐는 것입니다

0:03:02.433,0:03:06.405
명심하세요[br]이 식은

0:03:06.405,0:03:07.933
다시 읽어 드릴게요

0:03:07.940,0:03:13.220
x³g(x²) 입니다

0:03:13.220,0:03:16.300
엄청난 힌트입니다

0:03:16.300,0:03:17.800
다시 강의를 멈추고

0:03:17.800,0:03:21.060
시도해 보세요

0:03:21.060,0:03:22.260
다시 적어볼게요

0:03:22.266,0:03:23.833
시도해 보았다고[br]가정하겠습니다

0:03:23.840,0:03:25.568
적은 식을[br]다시 나타내 볼게요

0:03:25.568,0:03:29.300
말씀드렸다시피[br]f(x)는

0:03:29.300,0:03:32.880
말씀드렸다시피[br]f(x)는

0:03:32.880,0:03:35.920
이런 식으로 나타내면

0:03:35.920,0:03:37.640
g(x)를 이용하여 나타내면

0:03:37.656,0:03:40.533
g(x)를 이용하여 나타내면

0:03:40.533,0:03:44.159
x³

0:03:44.159,0:03:45.367
cosx² 대신에

0:03:45.367,0:03:47.300
g(x²)으로 나타냅니다

0:03:47.300,0:03:51.160
x³g(x²)

0:03:51.160,0:03:53.980
x³g(x²)

0:03:53.980,0:03:58.820
x³g(x²)

0:03:58.820,0:04:00.060
g(x) = cosx 이므로

0:04:00.060,0:04:02.340
g(x²) = cosx² 입니다

0:04:02.340,0:04:05.500
여기에 x³을 곱합니다

0:04:05.500,0:04:10.460
이 식을 근사식에[br]바로 적용하면 안되는지

0:04:10.460,0:04:11.920
질문할 수도 있겠죠

0:04:11.920,0:04:15.260
당연히 가능합니다

0:04:15.260,0:04:18.560
x 대신 x²을 대입한다면

0:04:18.566,0:04:20.066
다른 다항식이[br]나올 것입니다

0:04:20.066,0:04:22.000
여기에 x³을 곱하면

0:04:22.000,0:04:23.634
다른 다항식이[br]나올 것입니다

0:04:23.634,0:04:27.766
매클로린 급수 표현식도[br]마찬가지일 것입니다

0:04:27.766,0:04:29.734
시작하려는 함수에[br]대하여 말이죠

0:04:29.740,0:04:31.580
이 함수식의

0:04:31.580,0:04:34.333
매클로린 급수 표현식이[br]나올 것입니다

0:04:34.340,0:04:37.980
f(x)는 다음 식에 근사합니다

0:04:37.980,0:04:40.420
f(x)는 다음 식에 근사합니다

0:04:40.420,0:04:43.460
x³

0:04:43.460,0:04:44.700
x³

0:04:44.700,0:04:47.200
여기 공간을 확보하겠습니다

0:04:47.200,0:04:49.780
g(x²)

0:04:49.780,0:04:52.400
이 식은 g(x)의[br]근사식이므로

0:04:52.400,0:04:53.873
이렇게 계속 진행하면

0:04:53.880,0:04:57.100
g(x)의 표현식이 됩니다

0:04:57.100,0:04:59.000
따라서 x 자리에

0:04:59.000,0:05:00.540
x²으로 바꾸어 봅시다

0:05:00.540,0:05:03.260
1 -

0:05:03.260,0:05:06.380
(x²)² = x⁴ 이므로

0:05:06.380,0:05:08.133
x⁴/2!

0:05:08.133,0:05:08.873
2! = 2 이지만

0:05:08.873,0:05:10.867
패턴을 파악하기 위해

0:05:10.867,0:05:12.380
팩토리얼 기호를[br]그대로 두겠습니다

0:05:12.380,0:05:15.433
x가 x²이므로

0:05:15.440,0:05:18.860
(x²)⁴ = x^8 입니다

0:05:18.860,0:05:23.220
+ x^8/4!

0:05:23.220,0:05:26.800
(x²)^6 = x^12 이므로

0:05:26.800,0:05:32.120
- x^12/6!

0:05:32.120,0:05:34.920
(x²)^8 = x^16 이므로

0:05:34.940,0:05:38.680
+ x^16/8!

0:05:38.680,0:05:41.460
물론, 이렇게 부호가 바뀌면서[br]계속 진행됩니다

0:05:41.460,0:05:44.400
하지만 0이 아닌[br]처음 5개 항만 알면 됩니다

0:05:44.400,0:05:45.133
이 식은[br]근사식에 불과합니다

0:05:45.133,0:05:47.139
이 식은[br]근사식에 불과합니다

0:05:47.139,0:05:49.333
따라서 이 식은[br]다음과 같습니다

0:05:49.333,0:05:50.535
따라서 이 식은[br]다음과 같습니다

0:05:50.535,0:05:52.000
x³을 분배하는 것을

0:05:52.000,0:05:54.200
재밌게 분홍색으로 할게요

0:05:54.200,0:05:55.968
x³을 분배하면

0:05:55.968,0:05:58.480
x³

0:05:58.480,0:06:04.220
- x^7/2!

0:06:04.220,0:06:10.140
+ x^11/4!

0:06:10.140,0:06:15.320
- x^15/6!

0:06:15.320,0:06:19.160
+ x^19/8!

0:06:19.160,0:06:23.420
+ x^19/8!

0:06:23.433,0:06:25.133
이렇게 0이 아닌[br]처음 5개 항을 구했습니다

0:06:25.133,0:06:26.633
이렇게 0이 아닌[br]처음 5개 항을 구했습니다

0:06:26.633,0:06:28.666
이렇게 나온 식을 보면

0:06:28.666,0:06:32.233
직접 계산했으면[br]힘들게

0:06:32.233,0:06:35.467
영원히 구해야 했을 것입니다

0:06:35.467,0:06:38.833
이런 말도 안되는 식의

0:06:38.833,0:06:40.169
19번 미분한 식까지[br]구해야 하기 때문이죠

0:06:40.169,0:06:42.520
하지만 이 함수를

0:06:42.520,0:06:45.260
x의 거듭제곱식과

0:06:45.260,0:06:45.840
매클로린 급수를[br]알고 있는 식의 곱으로

0:06:45.840,0:06:50.980
매클로린 급수를[br]알고 있는 식의 곱으로

0:06:50.980,0:06:53.060
다시 나타낼 때

0:06:53.066,0:06:53.833
다시 나타낼 때

0:06:53.833,0:06:55.067
이런 방식의 관점으로

0:06:55.067,0:06:58.000
식을 다시 나타낸다면

0:06:58.000,0:07:00.320
덜 혼란스러운[br]방식으로 해보죠

0:07:00.320,0:07:02.260
이 함수를 다시 나타내면

0:07:02.267,0:07:04.967
이 함수를 다시 나타내면

0:07:04.967,0:07:06.400
계수를 붙이겠습니다

0:07:06.400,0:07:10.720
Axⁿ과

0:07:10.720,0:07:13.040
다른 함수의 곱

0:07:13.040,0:07:14.100
색깔을 다르게 할게요

0:07:14.100,0:07:16.400
보라색으로 하죠

0:07:16.400,0:07:22.900
Axⁿ·g(Bx^m)

0:07:22.900,0:07:25.980
Axⁿ·g(Bx^m)

0:07:25.980,0:07:28.534
복잡한 계산 과정 없이

0:07:28.534,0:07:29.667
쉽게 할 수 있습니다

0:07:29.667,0:07:30.804
이미 알고 있는

0:07:30.804,0:07:34.800
g(x)의 매클로린 급수[br]표현식을 알고 있다면

0:07:34.800,0:07:36.600
g(x)가 어떤 식인지[br]알고 있다면

0:07:36.600,0:07:38.800
이번 시간에 한 것처럼[br]똑같이 하면 됩니다

0:07:38.800,0:07:41.233
g(x)의 매클로린 급수[br]표현식을 구하고

0:07:41.233,0:07:42.266
x가 보이는 곳에

0:07:42.266,0:07:46.540
Bx^m을 대신 집어넣습니다

0:07:46.540,0:07:48.000
여기서 m은 지수입니다

0:07:48.000,0:07:49.567
그러면 다른 다항식이[br]나올 것입니다

0:07:49.567,0:07:50.833
그러면 다른 다항식이[br]나올 것입니다

0:07:50.833,0:07:52.900
그 다음 Ax^n을 곱하면

0:07:52.900,0:07:54.033
다른 멱급수가 나올 것이고

0:07:54.040,0:07:54.733
다른 멱급수가 나올 것이고

0:07:54.740,0:07:58.120
기존 함수의[br]멱급수가 될 것입니다

0:07:58.120,0:07:59.340
너무 재밌네요