WEBVTT

00:00:10.374 --> 00:00:14.214
我的一位朋友最近
告訴我，她的六歲兒子

00:00:14.374 --> 00:00:17.604
從學校回來，說他討厭數學。

00:00:18.314 --> 00:00:21.884
因為我很愛數學，
聽到這種事我會很難過。

00:00:22.374 --> 00:00:26.525
數學思考的力與美
改變了我的人生。

00:00:26.675 --> 00:00:29.845
但我知道許多人的狀況
是非常不同的。

00:00:30.005 --> 00:00:33.276
數學可能是最美好的時光，
也可能是最糟糕的，

00:00:33.506 --> 00:00:36.436
可能是讓人興奮的發掘之旅，

00:00:36.606 --> 00:00:41.796
也可能讓人厭煩、挫折、絕望。

00:00:43.518 --> 00:00:47.798
數學的錯誤教育非常常見，
以致於我們幾乎都不會發現。

00:00:48.088 --> 00:00:50.137
我們幾乎是預期數學課

00:00:50.139 --> 00:00:55.291
就是些支離破碎的技術事實，
要不斷重覆和記憶。

00:00:55.601 --> 00:00:58.078
不意外，學生不會有動機去學，

00:00:58.198 --> 00:01:00.331
他們離開學校時也不喜歡數學，

00:01:00.334 --> 00:01:03.332
甚至誓言說此生一定要避開數學。

00:01:04.179 --> 00:01:08.709
沒有數學能力，
他們的職涯機會就會減少。

00:01:09.028 --> 00:01:12.738
他們會成很容易成為獵物，
被信用卡公司、

00:01:12.738 --> 00:01:15.182
發薪日借錢者、彩券當成目標，

00:01:16.104 --> 00:01:17.374
（笑聲）

00:01:17.667 --> 00:01:21.407
其實，任何人都可以用
統計數字讓他們頭昏上勾。

00:01:21.696 --> 00:01:25.496
你知道嗎，只要在一項主張當中
加入單一個統計數字，

00:01:25.496 --> 00:01:29.946
大家不問問題就接受它的
機會會提高 92%？

00:01:29.946 --> 00:01:32.656
（笑聲）

00:01:33.736 --> 00:01:36.211
是啊，那是我編造的。

00:01:36.211 --> 00:01:37.341
（笑聲）

00:01:37.356 --> 00:01:43.036
92% 是——雖然它是完全
虛構的，但它還是有影響。

00:01:43.036 --> 00:01:44.500
它就是這樣運作的。

00:01:44.500 --> 00:01:46.350
當我們對數學感到不舒服，

00:01:46.350 --> 00:01:49.100
我們就不會去質疑數字的權威性。

00:01:51.534 --> 00:01:56.014
但，疏遠數學只不過

00:01:56.014 --> 00:01:58.104
是故事的一半而已。

00:01:58.104 --> 00:02:02.599
現在，我們在揮霍我們
用數學思考的力與美

00:02:02.599 --> 00:02:06.337
來接觸一個又一個生命的機會。

00:02:06.597 --> 00:02:10.861
最近，我主持了一個關於這主題的
研討會，最後，有位女子舉手，

00:02:10.861 --> 00:02:13.991
她說，這段體驗讓她覺得——
引述她的話——

00:02:14.291 --> 00:02:16.001
「跟神一樣。」

00:02:16.271 --> 00:02:19.191
（笑聲）

00:02:19.191 --> 00:02:21.511
對於數學思考的感受，

00:02:21.511 --> 00:02:24.761
那可能是我聽過最棒的描述了，

00:02:25.878 --> 00:02:28.528
所以，我們應該來探究
它是什麼樣子的。

00:02:28.528 --> 00:02:33.088
哲學家和數學家勒內笛卡兒的話，
是一個很好的起始點，

00:02:33.088 --> 00:02:37.107
他有句名言：「我思，故我在。」

00:02:37.594 --> 00:02:41.056
但笛卡兒更深入
洞察了思考的本質。

00:02:41.056 --> 00:02:44.026
一旦他確立自己會思考之後，

00:02:44.026 --> 00:02:47.162
接著就問：「思考是什麼東西？」

00:02:47.892 --> 00:02:52.122
這樣東西會質疑、了解、設想、

00:02:52.122 --> 00:02:55.832
確認、否認、願意去做、拒絕，

00:02:55.832 --> 00:02:57.646
也會想像，

00:02:57.756 --> 00:02:59.296
和感知。

00:03:00.457 --> 00:03:05.697
我們在每天的數學課中
就需要這種思考。

00:03:06.372 --> 00:03:11.232
如果你是老師或父母，
或和教育相關的任何人士，

00:03:11.322 --> 00:03:13.381
我要提供五項原則，

00:03:13.384 --> 00:03:18.580
將思考帶入我們在家
以及在學校中的數學裡。

00:03:21.384 --> 00:03:24.214
原則一：從一個問題開始。

00:03:24.864 --> 00:03:28.170
傳統的數學課，是從答案開始，

00:03:28.280 --> 00:03:30.370
從來沒有談到真的問題。

00:03:30.370 --> 00:03:32.262
「這些是乘法的步驟，
你重覆一次。

00:03:32.262 --> 00:03:35.872
這些是除法的步驟，你重覆一次。
講完了。繼續下一課。」

00:03:35.872 --> 00:03:39.313
在這種模式當中，
重點是記住步驟。

00:03:39.313 --> 00:03:44.372
沒有懷疑、想像，或拒絕的空間，

00:03:44.892 --> 00:03:47.252
所以這裡沒有真正的思考。

00:03:48.230 --> 00:03:50.845
如果我們從一個問題
開始，會變怎樣？

00:03:51.495 --> 00:03:55.015
比如，這裡是 1 到 20 的數字。

00:03:55.015 --> 00:03:57.605
在這張圖中隱藏了一個問題，

00:03:58.285 --> 00:04:00.175
不是能明顯看見的。

00:04:00.855 --> 00:04:03.072
這些顏色是怎麼回事？

00:04:04.592 --> 00:04:06.122
從直覺來看，

00:04:06.122 --> 00:04:09.622
數字和顏色之間有某種連結。

00:04:09.622 --> 00:04:13.830
或許還有可能，可以將配色方式
延伸到更多的數字上。

00:04:15.140 --> 00:04:18.890
同時，顏色的意義並不清楚。

00:04:19.540 --> 00:04:21.210
這是個真的謎題。

00:04:21.470 --> 00:04:25.700
所以，這個問題感覺
很真實且引人好奇。

00:04:26.900 --> 00:04:31.410
和許多真實的數學問題一樣，

00:04:31.418 --> 00:04:36.838
這個問題也有一個又漂亮
又讓人能深深滿足的答案。

00:04:38.658 --> 00:04:41.448
當然，我不會告訴你們答案。

00:04:41.448 --> 00:04:43.698
（笑聲）

00:04:44.690 --> 00:04:47.164
我不覺得我是個小氣的人，

00:04:47.164 --> 00:04:50.544
但我不想把你們想要的給你們。

00:04:50.544 --> 00:04:52.074
（笑聲）

00:04:52.074 --> 00:04:55.654
因為我知道，如果我馬上給答案，

00:04:55.654 --> 00:04:58.855
我就剝奪了你們的學習機會。

00:04:59.705 --> 00:05:03.475
只有在我們有時間掙扎的
時候，思考才會發生。

00:05:04.735 --> 00:05:06.675
那就是原則二。

00:05:07.738 --> 00:05:10.748
還蠻常見到高中畢業的學生

00:05:10.868 --> 00:05:13.883
相信每一個數學問題

00:05:13.883 --> 00:05:16.158
都可以在三十秒以內解決，

00:05:16.162 --> 00:05:19.262
如果他們不知道答案，
那他們就不是學數學的料。

00:05:19.512 --> 00:05:21.792
這是教育的失敗之處。

00:05:21.792 --> 00:05:25.662
我們得要教導孩子堅持、勇敢，

00:05:25.662 --> 00:05:28.312
在面對困難時要不屈不撓。

00:05:28.652 --> 00:05:30.911
教導不屈不撓的唯一方式，

00:05:30.911 --> 00:05:33.096
就是給學生時間，

00:05:33.306 --> 00:05:36.521
讓他們去思考、處理真實的問題。

00:05:37.200 --> 00:05:40.680
最近，我把這張圖帶到教室裡，

00:05:40.680 --> 00:05:42.900
我們花了時間來掙扎、努力。

00:05:42.900 --> 00:05:47.400
我們花越多時間，
班上的思考就越是活躍起來，

00:05:47.720 --> 00:05:49.380
學生會觀察。

00:05:49.380 --> 00:05:51.000
他們會問問題。

00:05:51.000 --> 00:05:52.140
比如：

00:05:52.140 --> 00:05:55.890
「為什麼最後一欄的數字
都一定有橘色和藍色？」

00:05:56.304 --> 00:06:00.795
以及「是不是有綠色的圓點
都一定走對角線？」

00:06:01.205 --> 00:06:05.145
以及「在紅色區塊中的那些
小型白色數字是怎麼回事？

00:06:05.145 --> 00:06:07.915
那些數字都是奇數，
這點重要嗎？」

00:06:09.147 --> 00:06:11.647
為了真實的問題掙扎、努力，

00:06:11.647 --> 00:06:16.477
學生的好奇心與觀察力都會加深。

00:06:17.139 --> 00:06:23.429
他們也會發展出冒險的能力。

00:06:25.257 --> 00:06:28.297
有些學生注意到每個
偶數數字上面都有橘色，

00:06:28.307 --> 00:06:32.737
他們就願意賭一把，提出主張：
「橘色一定代表偶數。」

00:06:33.007 --> 00:06:35.829
接著，他們會問：「對嗎？」

00:06:35.829 --> 00:06:37.239
（笑聲）

00:06:37.641 --> 00:06:41.161
身為老師，這是蠻嚇人的情況。

00:06:41.161 --> 00:06:44.411
學生帶著原創的想法來找你。

00:06:45.392 --> 00:06:47.392
如果你不知道答案怎麼辦？

00:06:49.335 --> 00:06:53.805
那就是原則三：你不是答案。

00:06:55.402 --> 00:06:59.782
老師們，學生可能會問出
你們也不知道答案的問題。

00:06:59.782 --> 00:07:01.840
這可能感覺像是威脅。

00:07:02.150 --> 00:07:04.380
但你不是答案之鑰。

00:07:05.542 --> 00:07:07.362
在你的教室裡

00:07:07.362 --> 00:07:10.372
有好問的學生是很美好的事。

00:07:10.372 --> 00:07:12.292
如果你能回應說：

00:07:12.902 --> 00:07:15.782
「我不知道。我們來找出答案。」

00:07:16.262 --> 00:07:18.462
數學就會變成一場冒險。

00:07:19.882 --> 00:07:22.552
父母們，你們也是一樣。

00:07:22.652 --> 00:07:25.552
當你們坐下來陪孩子做數學時，

00:07:25.642 --> 00:07:28.242
你們不需要知道所有的答案。

00:07:28.652 --> 00:07:31.522
你們可以請孩子向你們解釋數學，

00:07:31.522 --> 00:07:33.742
或是和他們一起找答案。

00:07:35.551 --> 00:07:39.781
要教導他們，
「不知道」並不是失敗。

00:07:40.411 --> 00:07:42.980
「不知道」是了解的第一步。

00:07:44.242 --> 00:07:45.507
所以，

00:07:45.927 --> 00:07:49.892
當這群學生問我
橘色是否表示偶數時，

00:07:49.892 --> 00:07:51.972
我不需要告訴他們答案。

00:07:52.242 --> 00:07:54.562
我甚至不需要知道答案。

00:07:54.912 --> 00:07:58.722
我可以請他們其中一位來解釋
為什麼她認為這個主張是對的。

00:07:59.342 --> 00:08:02.282
或者，我們可以把
這個想法丟給全班。

00:08:02.952 --> 00:08:05.732
因為他們知道答案
不會從我這裡說出來，

00:08:05.732 --> 00:08:09.192
他們的說詞就得要能說服自己，
也要能和彼此爭辯，

00:08:09.192 --> 00:08:10.912
用這種方式來判斷對錯。

00:08:10.912 --> 00:08:14.302
所以，有位學生說：「看，
2、4、6、8、10、12。

00:08:14.302 --> 00:08:17.252
我檢查過了，全部是偶數。
它們都有橘色。

00:08:17.252 --> 00:08:18.782
你還想要怎樣？」

00:08:18.782 --> 00:08:20.982
另一位學生說：「等等，

00:08:20.982 --> 00:08:22.372
我懂你的意思，

00:08:22.372 --> 00:08:25.072
但那些數字，有些只有一塊橘色，

00:08:25.072 --> 00:08:26.962
有些有兩塊或三塊。

00:08:27.092 --> 00:08:28.862
比如，看看 48。

00:08:29.492 --> 00:08:31.632
它有四塊橘色。

00:08:31.632 --> 00:08:35.762
你的意思是，48 比 46
還要『更偶數』四倍嗎？

00:08:36.232 --> 00:08:38.382
一定不只如此。」

00:08:39.482 --> 00:08:41.517
當你拒絕提供答案，

00:08:41.517 --> 00:08:45.797
你就創造出了一個空間
給這類數學對談和辯論。

00:08:45.977 --> 00:08:51.497
這會吸引所有人，
因為人都愛看別人意見不合。

00:08:52.267 --> 00:08:57.087
畢竟，還有什麼其他地方能看到
把想法大聲說出來的狀況？

00:08:57.087 --> 00:09:00.970
學生會懷疑、確認、否認、了解。

00:09:02.180 --> 00:09:06.240
身為老師，你要做的
就只有不要提供答案，

00:09:06.240 --> 00:09:08.910
並認可他們的想法（說 yes）。

00:09:11.050 --> 00:09:12.920
那就是原則四。

00:09:13.950 --> 00:09:15.990
這一項很難。

00:09:16.140 --> 00:09:19.360
如果學生來找你，
說 2 + 2 = 12 怎麼辦？

00:09:20.180 --> 00:09:21.850
你必須要糾正他們，對吧？

00:09:21.850 --> 00:09:25.200
的確，我們希望學生
能了解某些基礎事實

00:09:25.200 --> 00:09:26.730
以及如何使用它們。

00:09:27.140 --> 00:09:31.420
但，「認可你」
不表示「你是對的」。

00:09:31.910 --> 00:09:35.700
在辯論中，你可以接受想法，
甚至是錯的想法，

00:09:35.700 --> 00:09:37.720
並認可你的學生

00:09:37.720 --> 00:09:41.740
參與數學思考這個舉動的權利。

00:09:42.840 --> 00:09:47.065
想法馬上被排除

00:09:47.065 --> 00:09:48.820
會很讓人氣餧。

00:09:48.820 --> 00:09:53.243
接受想法、探究它、再反駁它，
這是一種尊重的表現。

00:09:53.853 --> 00:09:57.673
而且，由同儕來說明你是錯的，

00:09:57.673 --> 00:10:00.463
會比老師說你是錯的，
更有說服力。

00:10:01.293 --> 00:10:03.933
但，容我再進一步談這一點。

00:10:04.873 --> 00:10:08.353
你怎麼知道 2 + 2 不會等於 12？

00:10:09.263 --> 00:10:11.973
如果你認可這個想法，
會發生什麼事？

00:10:12.703 --> 00:10:13.943
我不知道。

00:10:14.213 --> 00:10:15.643
咱們來找答案。

00:10:17.643 --> 00:10:20.263
所以，如果 2 + 2 = 12，

00:10:20.583 --> 00:10:25.143
那麼 2 + 1 就會少 1，也就是 11。

00:10:25.592 --> 00:10:29.382
那就表示 2 + 0，
其實就是 2，會等於 10。

00:10:29.995 --> 00:10:32.885
但，如果 2 就是 10，那 1 就是 9，

00:10:32.885 --> 00:10:34.595
那 0 就是 8。

00:10:35.175 --> 00:10:37.475
我得要承認，這看起來很不妙。

00:10:38.515 --> 00:10:40.815
看起來我們破壞了數學。

00:10:41.575 --> 00:10:45.035
但，我現在確實了解了
為什麼這是錯的。

NOTE Paragraph

00:10:45.555 --> 00:10:47.335
想想看就能了解，

00:10:47.335 --> 00:10:50.845
如果我們在一條數字線上，

00:10:51.495 --> 00:10:54.045
如果我站在 0 的位置，
8 離我有 8 步遠，

00:10:54.045 --> 00:10:56.485
我不可能走了 8 步

00:10:56.485 --> 00:10:58.565
還回到我一開始的地方。

00:11:01.198 --> 00:11:02.738
除非……

00:11:03.188 --> 00:11:04.418
（笑聲）

00:11:04.918 --> 00:11:07.388
嗯，如果不是數字線呢？

00:11:08.408 --> 00:11:10.748
如果是數字圈呢？

00:11:11.876 --> 00:11:15.732
那我確實有可能走了 8 步
之後回到原點。8 就是 0。

00:11:15.732 --> 00:11:19.032
事實上，實數線上的所有無限數字

00:11:19.032 --> 00:11:22.152
都可以堆壘在這八個點上。

00:11:22.972 --> 00:11:25.192
我們進入了一個新世界。

00:11:27.348 --> 00:11:29.518
我們只是在玩玩，對吧？

00:11:31.744 --> 00:11:34.444
但，新數學就是這樣發明出來的。

00:11:36.341 --> 00:11:40.471
從很久以前，數學家
就開始在研究數字圈。

00:11:40.471 --> 00:11:42.741
還有很炫的名字等等：

00:11:42.741 --> 00:11:44.561
模算數。

00:11:45.151 --> 00:11:47.341
這種數學不但行得通，

00:11:47.341 --> 00:11:49.641
竟還很有用，有用到不可思議，

00:11:49.641 --> 00:11:52.531
用在像是密碼學
和資訊科學的領域。

00:11:52.531 --> 00:11:54.601
這樣說並不誇張：

00:11:54.601 --> 00:11:58.381
你能在網路上安全地
使用你的信用卡卡號，

00:11:58.381 --> 00:12:00.231
是因為以前有人願意問：

00:12:00.231 --> 00:12:03.781
「如果是數字圈
而不是數字線呢？」

00:12:05.085 --> 00:12:09.475
是的，我們得要教學生 2 + 2 = 4。

00:12:10.310 --> 00:12:14.250
但我們也得要認可
他們的想法和問題，

00:12:14.550 --> 00:12:18.150
我們希望他們能擁有的勇氣，
我們也該以身作則展現出來。

00:12:18.240 --> 00:12:21.330
要有勇氣才能說出：
「如果 2 + 2 = 12 呢？」

00:12:21.330 --> 00:12:24.020
並真正去探究後果。

00:12:25.057 --> 00:12:27.127
要有勇氣才能說出：

00:12:27.127 --> 00:12:30.897
「如果三角形的三個角度
加起來不是 180 度呢？」

00:12:31.470 --> 00:12:34.450
或「如果 -1 可以開平方根呢？」

00:12:34.710 --> 00:12:38.250
或「如果無限大
也有不同的大小呢？」

00:12:39.309 --> 00:12:41.999
但，正是那種勇氣和那些問題

00:12:42.669 --> 00:12:46.199
在歷史上引導出了
一些最偉大的突破。

00:12:46.999 --> 00:12:49.779
所需要的，只是
願意參與去玩的意願。

00:12:51.409 --> 00:12:53.649
那就是原則五。

00:12:55.269 --> 00:12:58.039
數學的重點並不是要遵守規則。

00:12:58.492 --> 00:12:59.892
重點是在玩，

00:13:00.332 --> 00:13:03.112
還有探究、奮鬥、尋求線索，

00:13:03.112 --> 00:13:05.068
有時還要打破東西。

00:13:05.638 --> 00:13:09.188
愛因斯坦把「玩」稱為
研究的最高形式。

00:13:09.578 --> 00:13:14.408
如果數學老師讓他的學生玩數學，

00:13:14.408 --> 00:13:17.898
就是給了他們
「所有權」這項禮物。

00:13:18.888 --> 00:13:22.969
玩數學，感覺起來就像是
小時候在樹林裡面奔跑。

00:13:22.969 --> 00:13:26.838
即使跑在一條小路上，
感覺也像是整條小路都屬於你。

00:13:27.909 --> 00:13:30.559
父母們，如果你們想要知道

00:13:30.559 --> 00:13:33.519
如何培養你們孩子的數學直覺，

00:13:33.519 --> 00:13:35.229
答案就是「玩」。

00:13:36.001 --> 00:13:39.551
「玩」之於數學，
就像書之於閱讀。

00:13:39.551 --> 00:13:43.351
如果家中滿滿都是積木、
拼圖、遊戲、玩樂，

00:13:43.841 --> 00:13:47.161
在這樣的家中，
數學思考就會非常活躍。

00:13:48.816 --> 00:13:54.616
我相信我們有能力可以協助
數學思考在各處活躍。

00:13:55.754 --> 00:14:00.744
我們不能誤用數學來創造出
只會被動遵照規則的人。

00:14:01.163 --> 00:14:04.193
數學有潛能可以成為
我們最棒的資產，

00:14:04.193 --> 00:14:07.593
教育下一代，帶著勇氣、

00:14:07.593 --> 00:14:11.633
好奇心，和創意去面對未來。

00:14:12.516 --> 00:14:15.756
如果所有的學生都有機會

00:14:15.756 --> 00:14:19.636
體驗到真實數學思考的力與美，

00:14:20.856 --> 00:14:24.876
也許聽到他們這麼說
就一點也不奇怪了：

00:14:25.871 --> 00:14:27.261
「數學？

00:14:28.241 --> 00:14:30.711
我很愛數學。」

00:14:31.783 --> 00:14:32.973
謝謝。

00:14:32.973 --> 00:14:35.633
（掌聲）