我的一位朋友最近 告訴我，她的六歲兒子 從學校回來，說他討厭數學。 因為我很愛數學， 聽到這種事我會很難過。 數學思考的力與美 改變了我的人生。 但我知道許多人的狀況 是非常不同的。 數學可能是最美好的時光， 也可能是最糟糕的， 可能是讓人興奮的發掘之旅， 也可能讓人厭煩、挫折、絕望。 數學的錯誤教育非常常見， 以致於我們幾乎都不會發現。 我們幾乎是預期數學課 就是些支離破碎的技術事實， 要不斷重覆和記憶。 不意外，學生不會有動機去學， 他們離開學校時也不喜歡數學， 甚至誓言說此生一定要避開數學。 沒有數學能力， 他們的職涯機會就會減少。 他們會成很容易成為獵物， 被信用卡公司、 發薪日借錢者、彩券當成目標， （笑聲） 其實，任何人都可以用 統計數字讓他們頭昏上勾。 你知道嗎，只要在一項主張當中 加入單一個統計數字， 大家不問問題就接受它的 機會會提高 92%？ （笑聲） 是啊，那是我編造的。 （笑聲） 92% 是——雖然它是完全 虛構的，但它還是有影響。 它就是這樣運作的。 當我們對數學感到不舒服， 我們就不會去質疑數字的權威性。 但，疏遠數學只不過 是故事的一半而已。 現在，我們在揮霍我們 用數學思考的力與美 來接觸一個又一個生命的機會。 最近，我主持了一個關於這主題的 研討會，最後，有位女子舉手， 她說，這段體驗讓她覺得—— 引述她的話—— 「跟神一樣。」 （笑聲） 對於數學思考的感受， 那可能是我聽過最棒的描述了， 所以，我們應該來探究 它是什麼樣子的。 哲學家和數學家勒內笛卡兒的話， 是一個很好的起始點， 他有句名言：「我思，故我在。」 但笛卡兒更深入 洞察了思考的本質。 一旦他確立自己會思考之後， 接著就問：「思考是什麼東西？」 這樣東西會質疑、了解、設想、 確認、否認、願意去做、拒絕， 也會想像， 和感知。 我們在每天的數學課中 就需要這種思考。 如果你是老師或父母， 或和教育相關的任何人士， 我要提供五項原則， 將思考帶入我們在家 以及在學校中的數學裡。 原則一：從一個問題開始。 傳統的數學課，是從答案開始， 從來沒有談到真的問題。 「這些是乘法的步驟， 你重覆一次。 這些是除法的步驟，你重覆一次。 講完了。繼續下一課。」 在這種模式當中， 重點是記住步驟。 沒有懷疑、想像，或拒絕的空間， 所以這裡沒有真正的思考。 如果我們從一個問題 開始，會變怎樣？ 比如，這裡是 1 到 20 的數字。 在這張圖中隱藏了一個問題， 不是能明顯看見的。 這些顏色是怎麼回事？ 從直覺來看， 數字和顏色之間有某種連結。 或許還有可能，可以將配色方式 延伸到更多的數字上。 同時，顏色的意義並不清楚。 這是個真的謎題。 所以，這個問題感覺 很真實且引人好奇。 和許多真實的數學問題一樣， 這個問題也有一個又漂亮 又讓人能深深滿足的答案。 當然，我不會告訴你們答案。 （笑聲） 我不覺得我是個小氣的人， 但我不想把你們想要的給你們。 （笑聲） 因為我知道，如果我馬上給答案， 我就剝奪了你們的學習機會。 只有在我們有時間掙扎的 時候，思考才會發生。 那就是原則二。 還蠻常見到高中畢業的學生 相信每一個數學問題 都可以在三十秒以內解決， 如果他們不知道答案， 那他們就不是學數學的料。 這是教育的失敗之處。 我們得要教導孩子堅持、勇敢， 在面對困難時要不屈不撓。 教導不屈不撓的唯一方式， 就是給學生時間， 讓他們去思考、處理真實的問題。 最近，我把這張圖帶到教室裡， 我們花了時間來掙扎、努力。 我們花越多時間， 班上的思考就越是活躍起來， 學生會觀察。 他們會問問題。 比如： 「為什麼最後一欄的數字 都一定有橘色和藍色？」 以及「是不是有綠色的圓點 都一定走對角線？」 以及「在紅色區塊中的那些 小型白色數字是怎麼回事？ 那些數字都是奇數， 這點重要嗎？」 為了真實的問題掙扎、努力， 學生的好奇心與觀察力都會加深。 他們也會發展出冒險的能力。 有些學生注意到每個 偶數數字上面都有橘色， 他們就願意賭一把，提出主張： 「橘色一定代表偶數。」 接著，他們會問：「對嗎？」 （笑聲） 身為老師，這是蠻嚇人的情況。 學生帶著原創的想法來找你。 如果你不知道答案怎麼辦？ 那就是原則三：你不是答案。 老師們，學生可能會問出 你們也不知道答案的問題。 這可能感覺像是威脅。 但你不是答案之鑰。 在你的教室裡 有好問的學生是很美好的事。 如果你能回應說： 「我不知道。我們來找出答案。」 數學就會變成一場冒險。 父母們，你們也是一樣。 當你們坐下來陪孩子做數學時， 你們不需要知道所有的答案。 你們可以請孩子向你們解釋數學， 或是和他們一起找答案。 要教導他們， 「不知道」並不是失敗。 「不知道」是了解的第一步。 所以， 當這群學生問我 橘色是否表示偶數時， 我不需要告訴他們答案。 我甚至不需要知道答案。 我可以請他們其中一位來解釋 為什麼她認為這個主張是對的。 或者，我們可以把 這個想法丟給全班。 因為他們知道答案 不會從我這裡說出來， 他們的說詞就得要能說服自己， 也要能和彼此爭辯， 用這種方式來判斷對錯。 所以，有位學生說：「看， 2、4、6、8、10、12。 我檢查過了，全部是偶數。 它們都有橘色。 你還想要怎樣？」 另一位學生說：「等等， 我懂你的意思， 但那些數字，有些只有一塊橘色， 有些有兩塊或三塊。 比如，看看 48。 它有四塊橘色。 你的意思是，48 比 46 還要『更偶數』四倍嗎？ 一定不只如此。」 當你拒絕提供答案， 你就創造出了一個空間 給這類數學對談和辯論。 這會吸引所有人， 因為人都愛看別人意見不合。 畢竟，還有什麼其他地方能看到 把想法大聲說出來的狀況？ 學生會懷疑、確認、否認、了解。 身為老師，你要做的 就只有不要提供答案， 並認可他們的想法（說 yes）。 那就是原則四。 這一項很難。 如果學生來找你， 說 2 + 2 = 12 怎麼辦？ 你必須要糾正他們，對吧？ 的確，我們希望學生 能了解某些基礎事實 以及如何使用它們。 但，「認可你」 不表示「你是對的」。 在辯論中，你可以接受想法， 甚至是錯的想法， 並認可你的學生 參與數學思考這個舉動的權利。 想法馬上被排除 會很讓人氣餧。 接受想法、探究它、再反駁它， 這是一種尊重的表現。 而且，由同儕來說明你是錯的， 會比老師說你是錯的， 更有說服力。 但，容我再進一步談這一點。 你怎麼知道 2 + 2 不會等於 12？ 如果你認可這個想法， 會發生什麼事？ 我不知道。 咱們來找答案。 所以，如果 2 + 2 = 12， 那麼 2 + 1 就會少 1，也就是 11。 那就表示 2 + 0， 其實就是 2，會等於 10。 但，如果 2 就是 10，那 1 就是 9， 那 0 就是 8。 我得要承認，這看起來很不妙。 看起來我們破壞了數學。 但，我現在確實了解了 為什麼這是錯的。 想想看就能了解， 如果我們在一條數字線上， 如果我站在 0 的位置， 8 離我有 8 步遠， 我不可能走了 8 步 還回到我一開始的地方。 除非…… （笑聲） 嗯，如果不是數字線呢？ 如果是數字圈呢？ 那我確實有可能走了 8 步 之後回到原點。8 就是 0。 事實上，實數線上的所有無限數字 都可以堆壘在這八個點上。 我們進入了一個新世界。 我們只是在玩玩，對吧？ 但，新數學就是這樣發明出來的。 從很久以前，數學家 就開始在研究數字圈。 還有很炫的名字等等： 模算數。 這種數學不但行得通， 竟還很有用，有用到不可思議， 用在像是密碼學 和資訊科學的領域。 這樣說並不誇張： 你能在網路上安全地 使用你的信用卡卡號， 是因為以前有人願意問： 「如果是數字圈 而不是數字線呢？」 是的，我們得要教學生 2 + 2 = 4。 但我們也得要認可 他們的想法和問題， 我們希望他們能擁有的勇氣， 我們也該以身作則展現出來。 要有勇氣才能說出： 「如果 2 + 2 = 12 呢？」 並真正去探究後果。 要有勇氣才能說出： 「如果三角形的三個角度 加起來不是 180 度呢？」 或「如果 -1 可以開平方根呢？」 或「如果無限大 也有不同的大小呢？」 但，正是那種勇氣和那些問題 在歷史上引導出了 一些最偉大的突破。 所需要的，只是 願意參與去玩的意願。 那就是原則五。 數學的重點並不是要遵守規則。 重點是在玩， 還有探究、奮鬥、尋求線索， 有時還要打破東西。 愛因斯坦把「玩」稱為 研究的最高形式。 如果數學老師讓他的學生玩數學， 就是給了他們 「所有權」這項禮物。 玩數學，感覺起來就像是 小時候在樹林裡面奔跑。 即使跑在一條小路上， 感覺也像是整條小路都屬於你。 父母們，如果你們想要知道 如何培養你們孩子的數學直覺， 答案就是「玩」。 「玩」之於數學， 就像書之於閱讀。 如果家中滿滿都是積木、 拼圖、遊戲、玩樂， 在這樣的家中， 數學思考就會非常活躍。 我相信我們有能力可以協助 數學思考在各處活躍。 我們不能誤用數學來創造出 只會被動遵照規則的人。 數學有潛能可以成為 我們最棒的資產， 教育下一代，帶著勇氣、 好奇心，和創意去面對未來。 如果所有的學生都有機會 體驗到真實數學思考的力與美， 也許聽到他們這麼說 就一點也不奇怪了： 「數學？ 我很愛數學。」 謝謝。 （掌聲）