1
00:00:10,374 --> 00:00:14,214
我的一位朋友最近
告訴我，她的六歲兒子

2
00:00:14,374 --> 00:00:17,604
從學校回來，說他討厭數學。

3
00:00:18,314 --> 00:00:21,884
因為我很愛數學，
聽到這種事我會很難過。

4
00:00:22,374 --> 00:00:26,525
數學思考的力與美
改變了我的人生。

5
00:00:26,675 --> 00:00:29,845
但我知道許多人的狀況
是非常不同的。

6
00:00:30,005 --> 00:00:33,276
數學可能是最美好的時光，
也可能是最糟糕的，

7
00:00:33,506 --> 00:00:36,436
可能是讓人興奮的發掘之旅，

8
00:00:36,606 --> 00:00:41,796
也可能讓人厭煩、挫折、絕望。

9
00:00:43,518 --> 00:00:47,798
數學的錯誤教育非常常見，
以致於我們幾乎都不會發現。

10
00:00:48,088 --> 00:00:50,137
我們幾乎是預期數學課

11
00:00:50,139 --> 00:00:55,291
就是些支離破碎的技術事實，
要不斷重覆和記憶。

12
00:00:55,601 --> 00:00:58,078
不意外，學生不會有動機去學，

13
00:00:58,198 --> 00:01:00,331
他們離開學校時也不喜歡數學，

14
00:01:00,334 --> 00:01:03,332
甚至誓言說此生一定要避開數學。

15
00:01:04,179 --> 00:01:08,709
沒有數學能力，
他們的職涯機會就會減少。

16
00:01:09,028 --> 00:01:12,738
他們會成很容易成為獵物，
被信用卡公司、

17
00:01:12,738 --> 00:01:15,182
發薪日借錢者、彩券當成目標，

18
00:01:16,104 --> 00:01:17,374
（笑聲）

19
00:01:17,667 --> 00:01:21,407
其實，任何人都可以用
統計數字讓他們頭昏上勾。

20
00:01:21,696 --> 00:01:25,496
你知道嗎，只要在一項主張當中
加入單一個統計數字，

21
00:01:25,496 --> 00:01:29,946
大家不問問題就接受它的
機會會提高 92%？

22
00:01:29,946 --> 00:01:32,656
（笑聲）

23
00:01:33,736 --> 00:01:36,211
是啊，那是我編造的。

24
00:01:36,211 --> 00:01:37,341
（笑聲）

25
00:01:37,356 --> 00:01:43,036
92% 是——雖然它是完全
虛構的，但它還是有影響。

26
00:01:43,036 --> 00:01:44,500
它就是這樣運作的。

27
00:01:44,500 --> 00:01:46,350
當我們對數學感到不舒服，

28
00:01:46,350 --> 00:01:49,100
我們就不會去質疑數字的權威性。

29
00:01:51,534 --> 00:01:56,014
但，疏遠數學只不過

30
00:01:56,014 --> 00:01:58,104
是故事的一半而已。

31
00:01:58,104 --> 00:02:02,599
現在，我們在揮霍我們
用數學思考的力與美

32
00:02:02,599 --> 00:02:06,337
來接觸一個又一個生命的機會。

33
00:02:06,597 --> 00:02:10,861
最近，我主持了一個關於這主題的
研討會，最後，有位女子舉手，

34
00:02:10,861 --> 00:02:13,991
她說，這段體驗讓她覺得——
引述她的話——

35
00:02:14,291 --> 00:02:16,001
「跟神一樣。」

36
00:02:16,271 --> 00:02:19,191
（笑聲）

37
00:02:19,191 --> 00:02:21,511
對於數學思考的感受，

38
00:02:21,511 --> 00:02:24,761
那可能是我聽過最棒的描述了，

39
00:02:25,878 --> 00:02:28,528
所以，我們應該來探究
它是什麼樣子的。

40
00:02:28,528 --> 00:02:33,088
哲學家和數學家勒內笛卡兒的話，
是一個很好的起始點，

41
00:02:33,088 --> 00:02:37,107
他有句名言：「我思，故我在。」

42
00:02:37,594 --> 00:02:41,056
但笛卡兒更深入
洞察了思考的本質。

43
00:02:41,056 --> 00:02:44,026
一旦他確立自己會思考之後，

44
00:02:44,026 --> 00:02:47,162
接著就問：「思考是什麼東西？」

45
00:02:47,892 --> 00:02:52,122
這樣東西會質疑、了解、設想、

46
00:02:52,122 --> 00:02:55,832
確認、否認、願意去做、拒絕，

47
00:02:55,832 --> 00:02:57,646
也會想像，

48
00:02:57,756 --> 00:02:59,296
和感知。

49
00:03:00,457 --> 00:03:05,697
我們在每天的數學課中
就需要這種思考。

50
00:03:06,372 --> 00:03:11,232
如果你是老師或父母，
或和教育相關的任何人士，

51
00:03:11,322 --> 00:03:13,381
我要提供五項原則，

52
00:03:13,384 --> 00:03:18,580
將思考帶入我們在家
以及在學校中的數學裡。

53
00:03:21,384 --> 00:03:24,214
原則一：從一個問題開始。

54
00:03:24,864 --> 00:03:28,170
傳統的數學課，是從答案開始，

55
00:03:28,280 --> 00:03:30,370
從來沒有談到真的問題。

56
00:03:30,370 --> 00:03:32,262
「這些是乘法的步驟，
你重覆一次。

57
00:03:32,262 --> 00:03:35,872
這些是除法的步驟，你重覆一次。
講完了。繼續下一課。」

58
00:03:35,872 --> 00:03:39,313
在這種模式當中，
重點是記住步驟。

59
00:03:39,313 --> 00:03:44,372
沒有懷疑、想像，或拒絕的空間，

60
00:03:44,892 --> 00:03:47,252
所以這裡沒有真正的思考。

61
00:03:48,230 --> 00:03:50,845
如果我們從一個問題
開始，會變怎樣？

62
00:03:51,495 --> 00:03:55,015
比如，這裡是 1 到 20 的數字。

63
00:03:55,015 --> 00:03:57,605
在這張圖中隱藏了一個問題，

64
00:03:58,285 --> 00:04:00,175
不是能明顯看見的。

65
00:04:00,855 --> 00:04:03,072
這些顏色是怎麼回事？

66
00:04:04,592 --> 00:04:06,122
從直覺來看，

67
00:04:06,122 --> 00:04:09,622
數字和顏色之間有某種連結。

68
00:04:09,622 --> 00:04:13,830
或許還有可能，可以將配色方式
延伸到更多的數字上。

69
00:04:15,140 --> 00:04:18,890
同時，顏色的意義並不清楚。

70
00:04:19,540 --> 00:04:21,210
這是個真的謎題。

71
00:04:21,470 --> 00:04:25,700
所以，這個問題感覺
很真實且引人好奇。

72
00:04:26,900 --> 00:04:31,410
和許多真實的數學問題一樣，

73
00:04:31,418 --> 00:04:36,838
這個問題也有一個又漂亮
又讓人能深深滿足的答案。

74
00:04:38,658 --> 00:04:41,448
當然，我不會告訴你們答案。

75
00:04:41,448 --> 00:04:43,698
（笑聲）

76
00:04:44,690 --> 00:04:47,164
我不覺得我是個小氣的人，

77
00:04:47,164 --> 00:04:50,544
但我不想把你們想要的給你們。

78
00:04:50,544 --> 00:04:52,074
（笑聲）

79
00:04:52,074 --> 00:04:55,654
因為我知道，如果我馬上給答案，

80
00:04:55,654 --> 00:04:58,855
我就剝奪了你們的學習機會。

81
00:04:59,705 --> 00:05:03,475
只有在我們有時間掙扎的
時候，思考才會發生。

82
00:05:04,735 --> 00:05:06,675
那就是原則二。

83
00:05:07,738 --> 00:05:10,748
還蠻常見到高中畢業的學生

84
00:05:10,868 --> 00:05:13,883
相信每一個數學問題

85
00:05:13,883 --> 00:05:16,158
都可以在三十秒以內解決，

86
00:05:16,162 --> 00:05:19,262
如果他們不知道答案，
那他們就不是學數學的料。

87
00:05:19,512 --> 00:05:21,792
這是教育的失敗之處。

88
00:05:21,792 --> 00:05:25,662
我們得要教導孩子堅持、勇敢，

89
00:05:25,662 --> 00:05:28,312
在面對困難時要不屈不撓。

90
00:05:28,652 --> 00:05:30,911
教導不屈不撓的唯一方式，

91
00:05:30,911 --> 00:05:33,096
就是給學生時間，

92
00:05:33,306 --> 00:05:36,521
讓他們去思考、處理真實的問題。

93
00:05:37,200 --> 00:05:40,680
最近，我把這張圖帶到教室裡，

94
00:05:40,680 --> 00:05:42,900
我們花了時間來掙扎、努力。

95
00:05:42,900 --> 00:05:47,400
我們花越多時間，
班上的思考就越是活躍起來，

96
00:05:47,720 --> 00:05:49,380
學生會觀察。

97
00:05:49,380 --> 00:05:51,000
他們會問問題。

98
00:05:51,000 --> 00:05:52,140
比如：

99
00:05:52,140 --> 00:05:55,890
「為什麼最後一欄的數字
都一定有橘色和藍色？」

100
00:05:56,304 --> 00:06:00,795
以及「是不是有綠色的圓點
都一定走對角線？」

101
00:06:01,205 --> 00:06:05,145
以及「在紅色區塊中的那些
小型白色數字是怎麼回事？

102
00:06:05,145 --> 00:06:07,915
那些數字都是奇數，
這點重要嗎？」

103
00:06:09,147 --> 00:06:11,647
為了真實的問題掙扎、努力，

104
00:06:11,647 --> 00:06:16,477
學生的好奇心與觀察力都會加深。

105
00:06:17,139 --> 00:06:23,429
他們也會發展出冒險的能力。

106
00:06:25,257 --> 00:06:28,297
有些學生注意到每個
偶數數字上面都有橘色，

107
00:06:28,307 --> 00:06:32,737
他們就願意賭一把，提出主張：
「橘色一定代表偶數。」

108
00:06:33,007 --> 00:06:35,829
接著，他們會問：「對嗎？」

109
00:06:35,829 --> 00:06:37,239
（笑聲）

110
00:06:37,641 --> 00:06:41,161
身為老師，這是蠻嚇人的情況。

111
00:06:41,161 --> 00:06:44,411
學生帶著原創的想法來找你。

112
00:06:45,392 --> 00:06:47,392
如果你不知道答案怎麼辦？

113
00:06:49,335 --> 00:06:53,805
那就是原則三：你不是答案。

114
00:06:55,402 --> 00:06:59,782
老師們，學生可能會問出
你們也不知道答案的問題。

115
00:06:59,782 --> 00:07:01,840
這可能感覺像是威脅。

116
00:07:02,150 --> 00:07:04,380
但你不是答案之鑰。

117
00:07:05,542 --> 00:07:07,362
在你的教室裡

118
00:07:07,362 --> 00:07:10,372
有好問的學生是很美好的事。

119
00:07:10,372 --> 00:07:12,292
如果你能回應說：

120
00:07:12,902 --> 00:07:15,782
「我不知道。我們來找出答案。」

121
00:07:16,262 --> 00:07:18,462
數學就會變成一場冒險。

122
00:07:19,882 --> 00:07:22,552
父母們，你們也是一樣。

123
00:07:22,652 --> 00:07:25,552
當你們坐下來陪孩子做數學時，

124
00:07:25,642 --> 00:07:28,242
你們不需要知道所有的答案。

125
00:07:28,652 --> 00:07:31,522
你們可以請孩子向你們解釋數學，

126
00:07:31,522 --> 00:07:33,742
或是和他們一起找答案。

127
00:07:35,551 --> 00:07:39,781
要教導他們，
「不知道」並不是失敗。

128
00:07:40,411 --> 00:07:42,980
「不知道」是了解的第一步。

129
00:07:44,242 --> 00:07:45,507
所以，

130
00:07:45,927 --> 00:07:49,892
當這群學生問我
橘色是否表示偶數時，

131
00:07:49,892 --> 00:07:51,972
我不需要告訴他們答案。

132
00:07:52,242 --> 00:07:54,562
我甚至不需要知道答案。

133
00:07:54,912 --> 00:07:58,722
我可以請他們其中一位來解釋
為什麼她認為這個主張是對的。

134
00:07:59,342 --> 00:08:02,282
或者，我們可以把
這個想法丟給全班。

135
00:08:02,952 --> 00:08:05,732
因為他們知道答案
不會從我這裡說出來，

136
00:08:05,732 --> 00:08:09,192
他們的說詞就得要能說服自己，
也要能和彼此爭辯，

137
00:08:09,192 --> 00:08:10,912
用這種方式來判斷對錯。

138
00:08:10,912 --> 00:08:14,302
所以，有位學生說：「看，
2、4、6、8、10、12。

139
00:08:14,302 --> 00:08:17,252
我檢查過了，全部是偶數。
它們都有橘色。

140
00:08:17,252 --> 00:08:18,782
你還想要怎樣？」

141
00:08:18,782 --> 00:08:20,982
另一位學生說：「等等，

142
00:08:20,982 --> 00:08:22,372
我懂你的意思，

143
00:08:22,372 --> 00:08:25,072
但那些數字，有些只有一塊橘色，

144
00:08:25,072 --> 00:08:26,962
有些有兩塊或三塊。

145
00:08:27,092 --> 00:08:28,862
比如，看看 48。

146
00:08:29,492 --> 00:08:31,632
它有四塊橘色。

147
00:08:31,632 --> 00:08:35,762
你的意思是，48 比 46
還要『更偶數』四倍嗎？

148
00:08:36,232 --> 00:08:38,382
一定不只如此。」

149
00:08:39,482 --> 00:08:41,517
當你拒絕提供答案，

150
00:08:41,517 --> 00:08:45,797
你就創造出了一個空間
給這類數學對談和辯論。

151
00:08:45,977 --> 00:08:51,497
這會吸引所有人，
因為人都愛看別人意見不合。

152
00:08:52,267 --> 00:08:57,087
畢竟，還有什麼其他地方能看到
把想法大聲說出來的狀況？

153
00:08:57,087 --> 00:09:00,970
學生會懷疑、確認、否認、了解。

154
00:09:02,180 --> 00:09:06,240
身為老師，你要做的
就只有不要提供答案，

155
00:09:06,240 --> 00:09:08,910
並認可他們的想法（說 yes）。

156
00:09:11,050 --> 00:09:12,920
那就是原則四。

157
00:09:13,950 --> 00:09:15,990
這一項很難。

158
00:09:16,140 --> 00:09:19,360
如果學生來找你，
說 2 + 2 = 12 怎麼辦？

159
00:09:20,180 --> 00:09:21,850
你必須要糾正他們，對吧？

160
00:09:21,850 --> 00:09:25,200
的確，我們希望學生
能了解某些基礎事實

161
00:09:25,200 --> 00:09:26,730
以及如何使用它們。

162
00:09:27,140 --> 00:09:31,420
但，「認可你」
不表示「你是對的」。

163
00:09:31,910 --> 00:09:35,700
在辯論中，你可以接受想法，
甚至是錯的想法，

164
00:09:35,700 --> 00:09:37,720
並認可你的學生

165
00:09:37,720 --> 00:09:41,740
參與數學思考這個舉動的權利。

166
00:09:42,840 --> 00:09:47,065
想法馬上被排除

167
00:09:47,065 --> 00:09:48,820
會很讓人氣餧。

168
00:09:48,820 --> 00:09:53,243
接受想法、探究它、再反駁它，
這是一種尊重的表現。

169
00:09:53,853 --> 00:09:57,673
而且，由同儕來說明你是錯的，

170
00:09:57,673 --> 00:10:00,463
會比老師說你是錯的，
更有說服力。

171
00:10:01,293 --> 00:10:03,933
但，容我再進一步談這一點。

172
00:10:04,873 --> 00:10:08,353
你怎麼知道 2 + 2 不會等於 12？

173
00:10:09,263 --> 00:10:11,973
如果你認可這個想法，
會發生什麼事？

174
00:10:12,703 --> 00:10:13,943
我不知道。

175
00:10:14,213 --> 00:10:15,643
咱們來找答案。

176
00:10:17,643 --> 00:10:20,263
所以，如果 2 + 2 = 12，

177
00:10:20,583 --> 00:10:25,143
那麼 2 + 1 就會少 1，也就是 11。

178
00:10:25,592 --> 00:10:29,382
那就表示 2 + 0，
其實就是 2，會等於 10。

179
00:10:29,995 --> 00:10:32,885
但，如果 2 就是 10，那 1 就是 9，

180
00:10:32,885 --> 00:10:34,595
那 0 就是 8。

181
00:10:35,175 --> 00:10:37,475
我得要承認，這看起來很不妙。

182
00:10:38,515 --> 00:10:40,815
看起來我們破壞了數學。

183
00:10:41,575 --> 00:10:45,035
但，我現在確實了解了
為什麼這是錯的。

184
00:10:45,555 --> 00:10:47,335
想想看就能了解，

185
00:10:47,335 --> 00:10:50,845
如果我們在一條數字線上，

186
00:10:51,495 --> 00:10:54,045
如果我站在 0 的位置，
8 離我有 8 步遠，

187
00:10:54,045 --> 00:10:56,485
我不可能走了 8 步

188
00:10:56,485 --> 00:10:58,565
還回到我一開始的地方。

189
00:11:01,198 --> 00:11:02,738
除非……

190
00:11:03,188 --> 00:11:04,418
（笑聲）

191
00:11:04,918 --> 00:11:07,388
嗯，如果不是數字線呢？

192
00:11:08,408 --> 00:11:10,748
如果是數字圈呢？

193
00:11:11,876 --> 00:11:15,732
那我確實有可能走了 8 步
之後回到原點。8 就是 0。

194
00:11:15,732 --> 00:11:19,032
事實上，實數線上的所有無限數字

195
00:11:19,032 --> 00:11:22,152
都可以堆壘在這八個點上。

196
00:11:22,972 --> 00:11:25,192
我們進入了一個新世界。

197
00:11:27,348 --> 00:11:29,518
我們只是在玩玩，對吧？

198
00:11:31,744 --> 00:11:34,444
但，新數學就是這樣發明出來的。

199
00:11:36,341 --> 00:11:40,471
從很久以前，數學家
就開始在研究數字圈。

200
00:11:40,471 --> 00:11:42,741
還有很炫的名字等等：

201
00:11:42,741 --> 00:11:44,561
模算數。

202
00:11:45,151 --> 00:11:47,341
這種數學不但行得通，

203
00:11:47,341 --> 00:11:49,641
竟還很有用，有用到不可思議，

204
00:11:49,641 --> 00:11:52,531
用在像是密碼學
和資訊科學的領域。

205
00:11:52,531 --> 00:11:54,601
這樣說並不誇張：

206
00:11:54,601 --> 00:11:58,381
你能在網路上安全地
使用你的信用卡卡號，

207
00:11:58,381 --> 00:12:00,231
是因為以前有人願意問：

208
00:12:00,231 --> 00:12:03,781
「如果是數字圈
而不是數字線呢？」

209
00:12:05,085 --> 00:12:09,475
是的，我們得要教學生 2 + 2 = 4。

210
00:12:10,310 --> 00:12:14,250
但我們也得要認可
他們的想法和問題，

211
00:12:14,550 --> 00:12:18,150
我們希望他們能擁有的勇氣，
我們也該以身作則展現出來。

212
00:12:18,240 --> 00:12:21,330
要有勇氣才能說出：
「如果 2 + 2 = 12 呢？」

213
00:12:21,330 --> 00:12:24,020
並真正去探究後果。

214
00:12:25,057 --> 00:12:27,127
要有勇氣才能說出：

215
00:12:27,127 --> 00:12:30,897
「如果三角形的三個角度
加起來不是 180 度呢？」

216
00:12:31,470 --> 00:12:34,450
或「如果 -1 可以開平方根呢？」

217
00:12:34,710 --> 00:12:38,250
或「如果無限大
也有不同的大小呢？」

218
00:12:39,309 --> 00:12:41,999
但，正是那種勇氣和那些問題

219
00:12:42,669 --> 00:12:46,199
在歷史上引導出了
一些最偉大的突破。

220
00:12:46,999 --> 00:12:49,779
所需要的，只是
願意參與去玩的意願。

221
00:12:51,409 --> 00:12:53,649
那就是原則五。

222
00:12:55,269 --> 00:12:58,039
數學的重點並不是要遵守規則。

223
00:12:58,492 --> 00:12:59,892
重點是在玩，

224
00:13:00,332 --> 00:13:03,112
還有探究、奮鬥、尋求線索，

225
00:13:03,112 --> 00:13:05,068
有時還要打破東西。

226
00:13:05,638 --> 00:13:09,188
愛因斯坦把「玩」稱為
研究的最高形式。

227
00:13:09,578 --> 00:13:14,408
如果數學老師讓他的學生玩數學，

228
00:13:14,408 --> 00:13:17,898
就是給了他們
「所有權」這項禮物。

229
00:13:18,888 --> 00:13:22,969
玩數學，感覺起來就像是
小時候在樹林裡面奔跑。

230
00:13:22,969 --> 00:13:26,838
即使跑在一條小路上，
感覺也像是整條小路都屬於你。

231
00:13:27,909 --> 00:13:30,559
父母們，如果你們想要知道

232
00:13:30,559 --> 00:13:33,519
如何培養你們孩子的數學直覺，

233
00:13:33,519 --> 00:13:35,229
答案就是「玩」。

234
00:13:36,001 --> 00:13:39,551
「玩」之於數學，
就像書之於閱讀。

235
00:13:39,551 --> 00:13:43,351
如果家中滿滿都是積木、
拼圖、遊戲、玩樂，

236
00:13:43,841 --> 00:13:47,161
在這樣的家中，
數學思考就會非常活躍。

237
00:13:48,816 --> 00:13:54,616
我相信我們有能力可以協助
數學思考在各處活躍。

238
00:13:55,754 --> 00:14:00,744
我們不能誤用數學來創造出
只會被動遵照規則的人。

239
00:14:01,163 --> 00:14:04,193
數學有潛能可以成為
我們最棒的資產，

240
00:14:04,193 --> 00:14:07,593
教育下一代，帶著勇氣、

241
00:14:07,593 --> 00:14:11,633
好奇心，和創意去面對未來。

242
00:14:12,516 --> 00:14:15,756
如果所有的學生都有機會

243
00:14:15,756 --> 00:14:19,636
體驗到真實數學思考的力與美，

244
00:14:20,856 --> 00:14:24,876
也許聽到他們這麼說
就一點也不奇怪了：

245
00:14:25,871 --> 00:14:27,261
「數學？

246
00:14:28,241 --> 00:14:30,711
我很愛數學。」

247
00:14:31,783 --> 00:14:32,973
謝謝。

248
00:14:32,973 --> 00:14:35,633
（掌聲）