0:00:10.374,0:00:14.214
我的一位朋友最近[br]告訴我，她的六歲兒子

0:00:14.374,0:00:17.604
從學校回來，說他討厭數學。

0:00:18.314,0:00:21.884
因為我很愛數學，[br]聽到這種事我會很難過。

0:00:22.374,0:00:26.525
數學思考的力與美[br]改變了我的人生。

0:00:26.675,0:00:29.845
但我知道許多人的狀況[br]是非常不同的。

0:00:30.005,0:00:33.276
數學可能是最美好的時光，[br]也可能是最糟糕的，

0:00:33.506,0:00:36.436
可能是讓人興奮的發掘之旅，

0:00:36.606,0:00:41.796
也可能讓人厭煩、挫折、絕望。

0:00:43.518,0:00:47.798
數學的錯誤教育非常常見，[br]以致於我們幾乎都不會發現。

0:00:48.088,0:00:50.137
我們幾乎是預期數學課

0:00:50.139,0:00:55.291
就是些支離破碎的技術事實，[br]要不斷重覆和記憶。

0:00:55.601,0:00:58.078
不意外，學生不會有動機去學，

0:00:58.198,0:01:00.331
他們離開學校時也不喜歡數學，

0:01:00.334,0:01:03.332
甚至誓言說此生一定要避開數學。

0:01:04.179,0:01:08.709
沒有數學能力，[br]他們的職涯機會就會減少。

0:01:09.028,0:01:12.738
他們會成很容易成為獵物，[br]被信用卡公司、

0:01:12.738,0:01:15.182
發薪日借錢者、彩券當成目標，

0:01:16.104,0:01:17.374
（笑聲）

0:01:17.667,0:01:21.407
其實，任何人都可以用[br]統計數字讓他們頭昏上勾。

0:01:21.696,0:01:25.496
你知道嗎，只要在一項主張當中[br]加入單一個統計數字，

0:01:25.496,0:01:29.946
大家不問問題就接受它的[br]機會會提高 92%？

0:01:29.946,0:01:32.656
（笑聲）

0:01:33.736,0:01:36.211
是啊，那是我編造的。

0:01:36.211,0:01:37.341
（笑聲）

0:01:37.356,0:01:43.036
92% 是——雖然它是完全[br]虛構的，但它還是有影響。

0:01:43.036,0:01:44.500
它就是這樣運作的。

0:01:44.500,0:01:46.350
當我們對數學感到不舒服，

0:01:46.350,0:01:49.100
我們就不會去質疑數字的權威性。

0:01:51.534,0:01:56.014
但，疏遠數學只不過

0:01:56.014,0:01:58.104
是故事的一半而已。

0:01:58.104,0:02:02.599
現在，我們在揮霍我們[br]用數學思考的力與美

0:02:02.599,0:02:06.337
來接觸一個又一個生命的機會。

0:02:06.597,0:02:10.861
最近，我主持了一個關於這主題的[br]研討會，最後，有位女子舉手，

0:02:10.861,0:02:13.991
她說，這段體驗讓她覺得——[br]引述她的話——

0:02:14.291,0:02:16.001
「跟神一樣。」

0:02:16.271,0:02:19.191
（笑聲）

0:02:19.191,0:02:21.511
對於數學思考的感受，

0:02:21.511,0:02:24.761
那可能是我聽過最棒的描述了，

0:02:25.878,0:02:28.528
所以，我們應該來探究[br]它是什麼樣子的。

0:02:28.528,0:02:33.088
哲學家和數學家勒內笛卡兒的話，[br]是一個很好的起始點，

0:02:33.088,0:02:37.107
他有句名言：「我思，故我在。」

0:02:37.594,0:02:41.056
但笛卡兒更深入[br]洞察了思考的本質。

0:02:41.056,0:02:44.026
一旦他確立自己會思考之後，

0:02:44.026,0:02:47.162
接著就問：「思考是什麼東西？」

0:02:47.892,0:02:52.122
這樣東西會質疑、了解、設想、

0:02:52.122,0:02:55.832
確認、否認、願意去做、拒絕，

0:02:55.832,0:02:57.646
也會想像，

0:02:57.756,0:02:59.296
和感知。

0:03:00.457,0:03:05.697
我們在每天的數學課中[br]就需要這種思考。

0:03:06.372,0:03:11.232
如果你是老師或父母，[br]或和教育相關的任何人士，

0:03:11.322,0:03:13.381
我要提供五項原則，

0:03:13.384,0:03:18.580
將思考帶入我們在家[br]以及在學校中的數學裡。

0:03:21.384,0:03:24.214
原則一：從一個問題開始。

0:03:24.864,0:03:28.170
傳統的數學課，是從答案開始，

0:03:28.280,0:03:30.370
從來沒有談到真的問題。

0:03:30.370,0:03:32.262
「這些是乘法的步驟，[br]你重覆一次。

0:03:32.262,0:03:35.872
這些是除法的步驟，你重覆一次。[br]講完了。繼續下一課。」

0:03:35.872,0:03:39.313
在這種模式當中，[br]重點是記住步驟。

0:03:39.313,0:03:44.372
沒有懷疑、想像，或拒絕的空間，

0:03:44.892,0:03:47.252
所以這裡沒有真正的思考。

0:03:48.230,0:03:50.845
如果我們從一個問題[br]開始，會變怎樣？

0:03:51.495,0:03:55.015
比如，這裡是 1 到 20 的數字。

0:03:55.015,0:03:57.605
在這張圖中隱藏了一個問題，

0:03:58.285,0:04:00.175
不是能明顯看見的。

0:04:00.855,0:04:03.072
這些顏色是怎麼回事？

0:04:04.592,0:04:06.122
從直覺來看，

0:04:06.122,0:04:09.622
數字和顏色之間有某種連結。

0:04:09.622,0:04:13.830
或許還有可能，可以將配色方式[br]延伸到更多的數字上。

0:04:15.140,0:04:18.890
同時，顏色的意義並不清楚。

0:04:19.540,0:04:21.210
這是個真的謎題。

0:04:21.470,0:04:25.700
所以，這個問題感覺[br]很真實且引人好奇。

0:04:26.900,0:04:31.410
和許多真實的數學問題一樣，

0:04:31.418,0:04:36.838
這個問題也有一個又漂亮[br]又讓人能深深滿足的答案。

0:04:38.658,0:04:41.448
當然，我不會告訴你們答案。

0:04:41.448,0:04:43.698
（笑聲）

0:04:44.690,0:04:47.164
我不覺得我是個小氣的人，

0:04:47.164,0:04:50.544
但我不想把你們想要的給你們。

0:04:50.544,0:04:52.074
（笑聲）

0:04:52.074,0:04:55.654
因為我知道，如果我馬上給答案，

0:04:55.654,0:04:58.855
我就剝奪了你們的學習機會。

0:04:59.705,0:05:03.475
只有在我們有時間掙扎的[br]時候，思考才會發生。

0:05:04.735,0:05:06.675
那就是原則二。

0:05:07.738,0:05:10.748
還蠻常見到高中畢業的學生

0:05:10.868,0:05:13.883
相信每一個數學問題

0:05:13.883,0:05:16.158
都可以在三十秒以內解決，

0:05:16.162,0:05:19.262
如果他們不知道答案，[br]那他們就不是學數學的料。

0:05:19.512,0:05:21.792
這是教育的失敗之處。

0:05:21.792,0:05:25.662
我們得要教導孩子堅持、勇敢，

0:05:25.662,0:05:28.312
在面對困難時要不屈不撓。

0:05:28.652,0:05:30.911
教導不屈不撓的唯一方式，

0:05:30.911,0:05:33.096
就是給學生時間，

0:05:33.306,0:05:36.521
讓他們去思考、處理真實的問題。

0:05:37.200,0:05:40.680
最近，我把這張圖帶到教室裡，

0:05:40.680,0:05:42.900
我們花了時間來掙扎、努力。

0:05:42.900,0:05:47.400
我們花越多時間，[br]班上的思考就越是活躍起來，

0:05:47.720,0:05:49.380
學生會觀察。

0:05:49.380,0:05:51.000
他們會問問題。

0:05:51.000,0:05:52.140
比如：

0:05:52.140,0:05:55.890
「為什麼最後一欄的數字[br]都一定有橘色和藍色？」

0:05:56.304,0:06:00.795
以及「是不是有綠色的圓點[br]都一定走對角線？」

0:06:01.205,0:06:05.145
以及「在紅色區塊中的那些[br]小型白色數字是怎麼回事？

0:06:05.145,0:06:07.915
那些數字都是奇數，[br]這點重要嗎？」

0:06:09.147,0:06:11.647
為了真實的問題掙扎、努力，

0:06:11.647,0:06:16.477
學生的好奇心與觀察力都會加深。

0:06:17.139,0:06:23.429
他們也會發展出冒險的能力。

0:06:25.257,0:06:28.297
有些學生注意到每個[br]偶數數字上面都有橘色，

0:06:28.307,0:06:32.737
他們就願意賭一把，提出主張：[br]「橘色一定代表偶數。」

0:06:33.007,0:06:35.829
接著，他們會問：「對嗎？」

0:06:35.829,0:06:37.239
（笑聲）

0:06:37.641,0:06:41.161
身為老師，這是蠻嚇人的情況。

0:06:41.161,0:06:44.411
學生帶著原創的想法來找你。

0:06:45.392,0:06:47.392
如果你不知道答案怎麼辦？

0:06:49.335,0:06:53.805
那就是原則三：你不是答案。

0:06:55.402,0:06:59.782
老師們，學生可能會問出[br]你們也不知道答案的問題。

0:06:59.782,0:07:01.840
這可能感覺像是威脅。

0:07:02.150,0:07:04.380
但你不是答案之鑰。

0:07:05.542,0:07:07.362
在你的教室裡

0:07:07.362,0:07:10.372
有好問的學生是很美好的事。

0:07:10.372,0:07:12.292
如果你能回應說：

0:07:12.902,0:07:15.782
「我不知道。我們來找出答案。」

0:07:16.262,0:07:18.462
數學就會變成一場冒險。

0:07:19.882,0:07:22.552
父母們，你們也是一樣。

0:07:22.652,0:07:25.552
當你們坐下來陪孩子做數學時，

0:07:25.642,0:07:28.242
你們不需要知道所有的答案。

0:07:28.652,0:07:31.522
你們可以請孩子向你們解釋數學，

0:07:31.522,0:07:33.742
或是和他們一起找答案。

0:07:35.551,0:07:39.781
要教導他們，[br]「不知道」並不是失敗。

0:07:40.411,0:07:42.980
「不知道」是了解的第一步。

0:07:44.242,0:07:45.507
所以，

0:07:45.927,0:07:49.892
當這群學生問我[br]橘色是否表示偶數時，

0:07:49.892,0:07:51.972
我不需要告訴他們答案。

0:07:52.242,0:07:54.562
我甚至不需要知道答案。

0:07:54.912,0:07:58.722
我可以請他們其中一位來解釋[br]為什麼她認為這個主張是對的。

0:07:59.342,0:08:02.282
或者，我們可以把[br]這個想法丟給全班。

0:08:02.952,0:08:05.732
因為他們知道答案[br]不會從我這裡說出來，

0:08:05.732,0:08:09.192
他們的說詞就得要能說服自己，[br]也要能和彼此爭辯，

0:08:09.192,0:08:10.912
用這種方式來判斷對錯。

0:08:10.912,0:08:14.302
所以，有位學生說：「看，[br]2、4、6、8、10、12。

0:08:14.302,0:08:17.252
我檢查過了，全部是偶數。[br]它們都有橘色。

0:08:17.252,0:08:18.782
你還想要怎樣？」

0:08:18.782,0:08:20.982
另一位學生說：「等等，

0:08:20.982,0:08:22.372
我懂你的意思，

0:08:22.372,0:08:25.072
但那些數字，有些只有一塊橘色，

0:08:25.072,0:08:26.962
有些有兩塊或三塊。

0:08:27.092,0:08:28.862
比如，看看 48。

0:08:29.492,0:08:31.632
它有四塊橘色。

0:08:31.632,0:08:35.762
你的意思是，48 比 46[br]還要『更偶數』四倍嗎？

0:08:36.232,0:08:38.382
一定不只如此。」

0:08:39.482,0:08:41.517
當你拒絕提供答案，

0:08:41.517,0:08:45.797
你就創造出了一個空間[br]給這類數學對談和辯論。

0:08:45.977,0:08:51.497
這會吸引所有人，[br]因為人都愛看別人意見不合。

0:08:52.267,0:08:57.087
畢竟，還有什麼其他地方能看到[br]把想法大聲說出來的狀況？

0:08:57.087,0:09:00.970
學生會懷疑、確認、否認、了解。

0:09:02.180,0:09:06.240
身為老師，你要做的[br]就只有不要提供答案，

0:09:06.240,0:09:08.910
並認可他們的想法（說 yes）。

0:09:11.050,0:09:12.920
那就是原則四。

0:09:13.950,0:09:15.990
這一項很難。

0:09:16.140,0:09:19.360
如果學生來找你，[br]說 2 + 2 = 12 怎麼辦？

0:09:20.180,0:09:21.850
你必須要糾正他們，對吧？

0:09:21.850,0:09:25.200
的確，我們希望學生[br]能了解某些基礎事實

0:09:25.200,0:09:26.730
以及如何使用它們。

0:09:27.140,0:09:31.420
但，「認可你」[br]不表示「你是對的」。

0:09:31.910,0:09:35.700
在辯論中，你可以接受想法，[br]甚至是錯的想法，

0:09:35.700,0:09:37.720
並認可你的學生

0:09:37.720,0:09:41.740
參與數學思考這個舉動的權利。

0:09:42.840,0:09:47.065
想法馬上被排除

0:09:47.065,0:09:48.820
會很讓人氣餧。

0:09:48.820,0:09:53.243
接受想法、探究它、再反駁它，[br]這是一種尊重的表現。

0:09:53.853,0:09:57.673
而且，由同儕來說明你是錯的，

0:09:57.673,0:10:00.463
會比老師說你是錯的，[br]更有說服力。

0:10:01.293,0:10:03.933
但，容我再進一步談這一點。

0:10:04.873,0:10:08.353
你怎麼知道 2 + 2 不會等於 12？

0:10:09.263,0:10:11.973
如果你認可這個想法，[br]會發生什麼事？

0:10:12.703,0:10:13.943
我不知道。

0:10:14.213,0:10:15.643
咱們來找答案。

0:10:17.643,0:10:20.263
所以，如果 2 + 2 = 12，

0:10:20.583,0:10:25.143
那麼 2 + 1 就會少 1，也就是 11。

0:10:25.592,0:10:29.382
那就表示 2 + 0，[br]其實就是 2，會等於 10。

0:10:29.995,0:10:32.885
但，如果 2 就是 10，那 1 就是 9，

0:10:32.885,0:10:34.595
那 0 就是 8。

0:10:35.175,0:10:37.475
我得要承認，這看起來很不妙。

0:10:38.515,0:10:40.815
看起來我們破壞了數學。

0:10:41.575,0:10:45.035
但，我現在確實了解了[br]為什麼這是錯的。

0:10:45.555,0:10:47.335
想想看就能了解，

0:10:47.335,0:10:50.845
如果我們在一條數字線上，

0:10:51.495,0:10:54.045
如果我站在 0 的位置，[br]8 離我有 8 步遠，

0:10:54.045,0:10:56.485
我不可能走了 8 步

0:10:56.485,0:10:58.565
還回到我一開始的地方。

0:11:01.198,0:11:02.738
除非……

0:11:03.188,0:11:04.418
（笑聲）

0:11:04.918,0:11:07.388
嗯，如果不是數字線呢？

0:11:08.408,0:11:10.748
如果是數字圈呢？

0:11:11.876,0:11:15.732
那我確實有可能走了 8 步[br]之後回到原點。8 就是 0。

0:11:15.732,0:11:19.032
事實上，實數線上的所有無限數字

0:11:19.032,0:11:22.152
都可以堆壘在這八個點上。

0:11:22.972,0:11:25.192
我們進入了一個新世界。

0:11:27.348,0:11:29.518
我們只是在玩玩，對吧？

0:11:31.744,0:11:34.444
但，新數學就是這樣發明出來的。

0:11:36.341,0:11:40.471
從很久以前，數學家[br]就開始在研究數字圈。

0:11:40.471,0:11:42.741
還有很炫的名字等等：

0:11:42.741,0:11:44.561
模算數。

0:11:45.151,0:11:47.341
這種數學不但行得通，

0:11:47.341,0:11:49.641
竟還很有用，有用到不可思議，

0:11:49.641,0:11:52.531
用在像是密碼學[br]和資訊科學的領域。

0:11:52.531,0:11:54.601
這樣說並不誇張：

0:11:54.601,0:11:58.381
你能在網路上安全地[br]使用你的信用卡卡號，

0:11:58.381,0:12:00.231
是因為以前有人願意問：

0:12:00.231,0:12:03.781
「如果是數字圈[br]而不是數字線呢？」

0:12:05.085,0:12:09.475
是的，我們得要教學生 2 + 2 = 4。

0:12:10.310,0:12:14.250
但我們也得要認可[br]他們的想法和問題，

0:12:14.550,0:12:18.150
我們希望他們能擁有的勇氣，[br]我們也該以身作則展現出來。

0:12:18.240,0:12:21.330
要有勇氣才能說出：[br]「如果 2 + 2 = 12 呢？」

0:12:21.330,0:12:24.020
並真正去探究後果。

0:12:25.057,0:12:27.127
要有勇氣才能說出：

0:12:27.127,0:12:30.897
「如果三角形的三個角度[br]加起來不是 180 度呢？」

0:12:31.470,0:12:34.450
或「如果 -1 可以開平方根呢？」

0:12:34.710,0:12:38.250
或「如果無限大[br]也有不同的大小呢？」

0:12:39.309,0:12:41.999
但，正是那種勇氣和那些問題

0:12:42.669,0:12:46.199
在歷史上引導出了[br]一些最偉大的突破。

0:12:46.999,0:12:49.779
所需要的，只是[br]願意參與去玩的意願。

0:12:51.409,0:12:53.649
那就是原則五。

0:12:55.269,0:12:58.039
數學的重點並不是要遵守規則。

0:12:58.492,0:12:59.892
重點是在玩，

0:13:00.332,0:13:03.112
還有探究、奮鬥、尋求線索，

0:13:03.112,0:13:05.068
有時還要打破東西。

0:13:05.638,0:13:09.188
愛因斯坦把「玩」稱為[br]研究的最高形式。

0:13:09.578,0:13:14.408
如果數學老師讓他的學生玩數學，

0:13:14.408,0:13:17.898
就是給了他們[br]「所有權」這項禮物。

0:13:18.888,0:13:22.969
玩數學，感覺起來就像是[br]小時候在樹林裡面奔跑。

0:13:22.969,0:13:26.838
即使跑在一條小路上，[br]感覺也像是整條小路都屬於你。

0:13:27.909,0:13:30.559
父母們，如果你們想要知道

0:13:30.559,0:13:33.519
如何培養你們孩子的數學直覺，

0:13:33.519,0:13:35.229
答案就是「玩」。

0:13:36.001,0:13:39.551
「玩」之於數學，[br]就像書之於閱讀。

0:13:39.551,0:13:43.351
如果家中滿滿都是積木、[br]拼圖、遊戲、玩樂，

0:13:43.841,0:13:47.161
在這樣的家中，[br]數學思考就會非常活躍。

0:13:48.816,0:13:54.616
我相信我們有能力可以協助[br]數學思考在各處活躍。

0:13:55.754,0:14:00.744
我們不能誤用數學來創造出[br]只會被動遵照規則的人。

0:14:01.163,0:14:04.193
數學有潛能可以成為[br]我們最棒的資產，

0:14:04.193,0:14:07.593
教育下一代，帶著勇氣、

0:14:07.593,0:14:11.633
好奇心，和創意去面對未來。

0:14:12.516,0:14:15.756
如果所有的學生都有機會

0:14:15.756,0:14:19.636
體驗到真實數學思考的力與美，

0:14:20.856,0:14:24.876
也許聽到他們這麼說[br]就一點也不奇怪了：

0:14:25.871,0:14:27.261
「數學？

0:14:28.241,0:14:30.711
我很愛數學。」

0:14:31.783,0:14:32.973
謝謝。

0:14:32.973,0:14:35.633
（掌聲）