WEBVTT

00:00:10.374 --> 00:00:14.374
Недавно моя подруга рассказала мне,
что её шестилетний сын

00:00:14.374 --> 00:00:17.604
пришёл домой из школы и сказал,
что ненавидит математику.

00:00:18.314 --> 00:00:21.884
Мне было больно это слышать,
потому что я математику обожаю.

00:00:22.374 --> 00:00:26.675
Красота и сила математического
мышления изменили мою жизнь.

00:00:26.675 --> 00:00:29.845
Но я знаю, что далеко
не все со мной согласятся.

00:00:30.005 --> 00:00:33.276
Занятия математикой могут быть
как лучшим, так и худшим временем,

00:00:33.506 --> 00:00:36.606
захватывающим путешествием в мир открытий

00:00:36.606 --> 00:00:41.796
или же падением в пропасть
скуки, разочарования и отчаяния.

00:00:43.518 --> 00:00:47.798
Математическая необразованность
так привычна, что мы её едва замечаем.

00:00:48.088 --> 00:00:50.137
Практически мы считаем урок математики

00:00:50.139 --> 00:00:55.291
повторением и запоминанием
бессвязных технических правил.

00:00:55.601 --> 00:00:58.198
И мы не удивляемся тому,
что у учеников нет мотивации,

00:00:58.198 --> 00:01:00.331
что они не любят математику,
оканчивая школу,

00:01:00.334 --> 00:01:03.179
и даже пытаются её избегать
на протяжении всей жизни.

00:01:04.179 --> 00:01:08.508
Без математической грамотности
их карьерные возможности сужаются.

00:01:09.028 --> 00:01:12.738
Они становятся лёгкой добычей
для кредитных компаний,

00:01:12.738 --> 00:01:15.182
финансовых предложений,
лотерейного бизнеса

00:01:16.104 --> 00:01:17.374
(Смех)

00:01:17.667 --> 00:01:21.407
и вообще любого, кто захочет
ослепить их статистикой.

00:01:21.696 --> 00:01:25.496
Вам известно, что если вы добавите
в утверждение какую-то статистику,

00:01:25.496 --> 00:01:29.946
вероятность того, что люди поверят
вам на слово, возрастёт на 92 процента?

00:01:29.946 --> 00:01:32.656
(Смех)

00:01:33.736 --> 00:01:36.211
На самом деле я это выдумал.

00:01:36.211 --> 00:01:37.356
(Смех)

00:01:37.356 --> 00:01:42.866
Но 92 процента имеют вес,
хотя и полностью сфабрикованы.

00:01:43.036 --> 00:01:44.500
Так оно и работает.

00:01:44.500 --> 00:01:46.350
Когда у нас проблемы с математикой,

00:01:46.350 --> 00:01:49.100
мы не признаём за числами авторитета.

00:01:51.534 --> 00:01:56.014
Но последствия
математической недостаточности —

00:01:56.014 --> 00:01:58.104
это лишь половина дела.

00:01:58.104 --> 00:02:02.599
Прямо сейчас мы упускаем шанс
прикоснуться к жизни после жизни

00:02:02.599 --> 00:02:06.337
с помощью красоты и могущества
математического мышления.

00:02:06.597 --> 00:02:10.861
Недавно я вёл семинар по этой теме,
и в конце одна женщина подняла руку

00:02:10.861 --> 00:02:14.141
и сказала, что этот урок заставил
её почувствовать себя, цитирую:

00:02:14.451 --> 00:02:16.001
«богиней».

00:02:16.271 --> 00:02:17.861
(Смех)

00:02:19.121 --> 00:02:22.021
Это, пожалуй, наилучшее описание того,

00:02:22.021 --> 00:02:24.761
как ощущается математическое мышление,

00:02:25.878 --> 00:02:28.368
так давайте попробуем выяснить,
на что оно похоже.

00:02:28.528 --> 00:02:29.876
Хорошим началом

00:02:29.876 --> 00:02:33.088
являются слова философа
и математика Рене Декарта,

00:02:33.088 --> 00:02:37.107
который произнёс знаменитую фразу:
«Я мыслю — значит существую».

00:02:37.594 --> 00:02:41.056
Но Декарт ещё глубже смотрел
на природу человеческих мыслей.

00:02:41.056 --> 00:02:44.026
Когда он определил себя
как сущность, которая думает,

00:02:44.026 --> 00:02:47.162
он продолжил:
«А что такое думающая сущность?»

00:02:47.892 --> 00:02:52.122
Это сущность, которая сомневается,
понимает, предполагает,

00:02:52.122 --> 00:02:55.832
которая подтверждает и отвергает,
решает и отказывается,

00:02:55.832 --> 00:02:57.756
которая также воображает

00:02:57.756 --> 00:02:59.926
и воспринимает информацию.

00:03:00.457 --> 00:03:05.697
Именно такое мышление нужно
на каждом уроке математики.

00:03:06.372 --> 00:03:11.002
И если вы учитель, или родитель,
или кто-то, заинтересованный в обучении,

00:03:11.322 --> 00:03:13.381
я предлагаю вам пять принципов,

00:03:13.384 --> 00:03:18.410
приглашая вас вдумываться
в математику и дома и в школе.

00:03:21.384 --> 00:03:24.214
Принцип первый: начинайте с вопроса.

00:03:24.864 --> 00:03:28.280
Обычный урок математики
начинается с ответов

00:03:28.280 --> 00:03:30.370
и никогда не доходит
до настоящего вопроса.

00:03:30.370 --> 00:03:32.182
«Умножать нужно так. Повторите.

00:03:32.182 --> 00:03:33.814
Делить нужно так. Повторите.

00:03:33.814 --> 00:03:35.899
Мы изучили материал, двигаемся дальше».

00:03:35.899 --> 00:03:39.053
В таком методе важно
запоминание шагов и правил.

00:03:39.313 --> 00:03:44.152
В нём нет места для сомнений,
гипотез и несогласия,

00:03:44.892 --> 00:03:46.872
он не требует мыслительного процесса.

00:03:48.230 --> 00:03:50.845
А что будет, если мы начнём с вопроса?

00:03:51.495 --> 00:03:55.015
Например, здесь представлены
числа от единицы до 20.

00:03:55.015 --> 00:03:57.605
В этой картинке скрывается вопрос,

00:03:58.285 --> 00:04:00.345
он прячется на самом видном месте.

00:04:00.855 --> 00:04:03.072
К чему здесь эти цвета?

00:04:04.592 --> 00:04:07.142
Интуитивно нам кажется,
что есть некая связь

00:04:07.142 --> 00:04:09.622
между числами и цветами.

00:04:09.622 --> 00:04:13.830
Пожалуй, даже можно расширить
эти цвета на большее количество чисел.

00:04:15.140 --> 00:04:18.890
В то же самое время значения
цветов здесь непонятны.

00:04:19.540 --> 00:04:20.890
Это действительно загадка.

00:04:21.470 --> 00:04:25.700
Поэтому здесь естественно
напрашивается вопрос.

00:04:26.900 --> 00:04:31.120
И подобно большинству
настоящих математических вопросов

00:04:31.418 --> 00:04:36.668
на него есть ответ, который и красив,
и приносит полное удовлетворение.

00:04:38.658 --> 00:04:41.448
Но я вам его, конечно же, не скажу.

00:04:41.448 --> 00:04:43.698
(Смех)

00:04:44.690 --> 00:04:47.164
Я не считаю себя жестоким человеком,

00:04:47.164 --> 00:04:50.544
но я намерен лишить вас того,
что вы так хотите узнать.

00:04:50.544 --> 00:04:52.074
(Смех)

00:04:52.074 --> 00:04:55.654
Так как знаю, что если поспешу с ответом,

00:04:55.654 --> 00:04:58.855
я украду у вас возможность
самостоятельно узнать это.

00:04:59.705 --> 00:05:03.475
Мы мыслим только в те моменты, когда
бьёмся над задачей в поисках решения.

00:05:04.735 --> 00:05:06.675
И это второй принцип.

00:05:07.738 --> 00:05:10.868
Нет ничего необычного в том,
что ученики, окончившие школу,

00:05:10.868 --> 00:05:15.778
считают, что любую математическую задачу
можно решить за 30 секунд и меньше,

00:05:15.778 --> 00:05:19.262
а если они не находят ответ, значит,
математика просто не их предмет.

00:05:19.512 --> 00:05:21.792
Это недостаток системы образования.

00:05:21.792 --> 00:05:25.662
Мы должны учить детей быть
настойчивыми и решительными,

00:05:25.662 --> 00:05:28.312
проявлять упорство,
сталкиваясь с трудностями.

00:05:28.652 --> 00:05:30.911
Единственный способ
научить детей упорству —

00:05:30.911 --> 00:05:36.381
это давать им время подумать
и побороться с реальными проблемами.

00:05:37.200 --> 00:05:40.480
Недавно я показал эту картинку в классе,

00:05:40.480 --> 00:05:43.050
и нам потребовалось время,
чтобы решить эту проблему.

00:05:43.050 --> 00:05:47.400
И чем дольше мы искали ответ,
тем активнее ученики размышляли.

00:05:47.720 --> 00:05:49.380
Они выдвигали гипотезы,

00:05:49.380 --> 00:05:51.000
задавали вопросы.

00:05:51.000 --> 00:05:52.140
Например:

00:05:52.140 --> 00:05:55.890
«Почему у чисел в последнем столбце
всегда есть оранжевый и голубой цвет?

00:05:56.304 --> 00:06:00.795
Значит ли что-то, что зелёные цвета
всегда расположены диагонально?

00:06:01.205 --> 00:06:03.655
Что происходит с теми
мелкими белыми числами

00:06:03.655 --> 00:06:05.185
в красных сегментах?

00:06:05.185 --> 00:06:07.915
Важно ли то, что они всегда нечётные?»

00:06:09.147 --> 00:06:11.647
В попытках ответить на трудный вопрос

00:06:11.647 --> 00:06:16.477
ученики углубляют любознательность
и усиливают наблюдательность.

00:06:17.139 --> 00:06:23.189
Они также развивают
способность пойти на риск.

00:06:25.257 --> 00:06:28.297
Некоторые ученики замечали
у всех чётных чисел оранжевый цвет,

00:06:28.297 --> 00:06:30.157
и они заявляли:

00:06:30.157 --> 00:06:32.467
«Оранжевый должен означать чётный».

00:06:33.007 --> 00:06:35.829
А потом они спрашивали: «Это правильно?»

00:06:35.829 --> 00:06:37.239
(Смех)

00:06:37.641 --> 00:06:41.161
Эта ситуация может показаться
пугающей для учителя.

00:06:41.161 --> 00:06:44.411
К вам подходит ученик
с оригинальной идеей.

00:06:45.392 --> 00:06:47.392
А что, если вы не знаете ответ?

00:06:49.335 --> 00:06:53.805
Итак, это третий принцип:
вы не являетесь ключом к ответам.

00:06:55.402 --> 00:06:59.782
Учителя, ученики вправе задавать вам
вопросы, на которые вы не знаете ответа.

00:06:59.782 --> 00:07:02.150
Это может ощущаться как угроза.

00:07:02.150 --> 00:07:04.380
Но вы не ключ к ответам.

00:07:05.542 --> 00:07:07.942
Наличие любознательных учеников —

00:07:07.942 --> 00:07:10.212
это прекрасно для вашего класса.

00:07:10.212 --> 00:07:12.292
И если вы можете ответить им:

00:07:12.902 --> 00:07:15.782
«Я не знаю, давайте разберёмся»,

00:07:16.262 --> 00:07:18.832
математика становится приключением.

00:07:19.882 --> 00:07:22.652
Родители, вас это тоже касается.

00:07:22.652 --> 00:07:25.642
Когда вы занимаетесь
математикой со своими детьми,

00:07:25.642 --> 00:07:28.242
вы не обязаны знать ответы на все вопросы.

00:07:28.652 --> 00:07:31.522
Вы можете попросить ребёнка
объяснить вам математику

00:07:31.522 --> 00:07:34.002
или попробовать разобраться вместе.

00:07:35.551 --> 00:07:39.501
Учите их тому, что незнание
не является неудачей.

00:07:40.411 --> 00:07:42.980
Это первый шаг к пониманию.

00:07:44.242 --> 00:07:49.892
И когда ученики спрашивали меня,
значит ли оранжевый, что число чётное,

00:07:49.892 --> 00:07:51.972
я не обязан был давать им ответ.

00:07:52.242 --> 00:07:54.562
Я даже не обязан был знать ответ.

00:07:54.912 --> 00:07:58.722
Я мог попросить одного из них
объяснить мне, почему он так считает.

00:07:59.342 --> 00:08:02.232
Или же мы могли предложить эту идею
на рассмотрение классу.

00:08:02.952 --> 00:08:05.732
Потому что они знают,
что от меня ответа не получат.

00:08:05.732 --> 00:08:09.192
Они должны рассуждать сами
и убеждать друг друга,

00:08:09.192 --> 00:08:10.912
чтобы установить правду.

00:08:10.912 --> 00:08:14.302
Итак, один говорит: «Смотрите:
два, четыре, шесть, восемь, 10, 12.

00:08:14.302 --> 00:08:15.922
Я проверил все чётные числа.

00:08:15.922 --> 00:08:17.312
У каждого есть оранжевый.

00:08:17.312 --> 00:08:18.782
Чего вам не хватает?»

00:08:18.782 --> 00:08:21.132
А другой ему отвечает:
«Так, погоди минутку,

00:08:21.132 --> 00:08:22.372
я вижу, к чему ты клонишь,

00:08:22.372 --> 00:08:24.932
но у каких-то из тех чисел
один оранжевый сегмент,

00:08:24.932 --> 00:08:27.092
а у некоторых — два или три.

00:08:27.092 --> 00:08:28.912
Например, посмотри на число 48.

00:08:29.492 --> 00:08:31.632
У него есть четыре оранжевых сегмента.

00:08:31.632 --> 00:08:35.762
Ты хочешь сказать, что число 48
в четыре раза более чётное, чем 46?

00:08:36.232 --> 00:08:38.782
Тут должно быть что-то ещё».

00:08:39.482 --> 00:08:41.517
Отказываясь от роли ключа с ответами,

00:08:41.517 --> 00:08:45.977
вы создаёте ученикам пространство
для математической беседы и дебатов.

00:08:45.977 --> 00:08:51.497
И этот процесс затягивает каждого,
ведь мы любим смотреть, как люди спорят.

00:08:52.267 --> 00:08:57.087
В конце концов, где ещё вы можете
увидеть, как люди мыслят вслух?

00:08:57.087 --> 00:09:00.970
Ученики сомневаются, утверждают,
отрицают, понимают.

00:09:02.180 --> 00:09:06.390
Всё, что вы должны делать как учитель, —
не быть ключом для ответов,

00:09:06.390 --> 00:09:08.910
а соглашаться с их предположениями.

00:09:11.050 --> 00:09:13.100
Это принцип номер четыре.

00:09:13.950 --> 00:09:15.990
И он непростой.

00:09:16.140 --> 00:09:19.360
Что, если к вам подойдёт ученик
и скажет, что два плюс два равно 12?

00:09:20.180 --> 00:09:21.850
Вам придётся его поправить, верно?

00:09:21.850 --> 00:09:25.200
И это правильно, ведь мы же хотим,
чтобы ученики знали основные факты

00:09:25.200 --> 00:09:26.730
и понимали, как их использовать.

00:09:27.140 --> 00:09:31.420
Но сказать «да» не то же самое,
что сказать: «Ты прав».

00:09:31.910 --> 00:09:35.700
Можно принять на рассмотрение
даже неправильную идею

00:09:35.700 --> 00:09:37.960
и сказать «да», разрешая ученикам

00:09:37.960 --> 00:09:41.740
участвовать в процессе
математических рассуждений.

00:09:42.840 --> 00:09:48.290
Отказ от рассмотрения идеи
без вопросов вселяет неуверенность.

00:09:48.593 --> 00:09:53.243
А её принятие, изучение и отмена
оказываются признаками уважения.

00:09:53.853 --> 00:09:57.673
При этом гораздо убедительнее
выявлять ошибку в среде равных,

00:09:57.673 --> 00:10:00.023
чем если учитель скажет, что вы неправы.

00:10:01.293 --> 00:10:03.933
Но позвольте мне зайти ещё немного дальше.

00:10:04.873 --> 00:10:08.353
Почему вы так уж уверены,
что два плюс два не равно 12?

00:10:09.263 --> 00:10:11.573
Что произойдёт, если мы
скажем «да» этой идее?

00:10:12.703 --> 00:10:13.943
Я не знаю.

00:10:14.213 --> 00:10:15.643
Давайте выясним.

00:10:17.643 --> 00:10:20.263
Итак, если два плюс два равно 12,

00:10:20.583 --> 00:10:25.143
то два плюс один должно быть
на единицу меньше, значит будет 11.

00:10:25.592 --> 00:10:29.382
Тогда получится, что два плюс ноль,
то есть просто два, равно 10.

00:10:29.995 --> 00:10:32.885
Но если два — это 10,
то один — это девять,

00:10:32.885 --> 00:10:34.595
а ноль — это восемь.

00:10:35.175 --> 00:10:37.475
И я вынужден признать,
что это выглядит плохо.

00:10:38.515 --> 00:10:40.815
Мы будто сломали математику.

00:10:41.575 --> 00:10:45.035
Но зато теперь я понимаю, почему
это не может быть правдой.

NOTE Paragraph

00:10:45.555 --> 00:10:47.335
Просто если думать о том,

00:10:47.335 --> 00:10:50.845
что мы находимся на числовой прямой,

00:10:51.255 --> 00:10:54.045
и когда я стою в нуле, восемь —
это восемь шагов вправо,

00:10:54.045 --> 00:10:56.485
то я никак не смогу сделать восемь шагов

00:10:56.485 --> 00:10:58.565
и вернуться в исходную точку.

00:11:01.198 --> 00:11:02.738
Если только...

00:11:03.188 --> 00:11:04.418
(Смех)

00:11:04.918 --> 00:11:07.388
что, если бы это была не числовая прямая?

00:11:08.408 --> 00:11:10.748
Что, если бы это была числовая окружность?

00:11:11.496 --> 00:11:14.602
Тогда я мог бы сделать восемь шагов
и вернуться в исходную точку.

00:11:14.602 --> 00:11:16.042
Восемь стало бы нулём.

00:11:16.042 --> 00:11:19.792
Вообще, все бесконечные числа
на реальной прямой поместились бы

00:11:19.792 --> 00:11:22.152
в эту восьмиместную окружность.

00:11:22.972 --> 00:11:25.332
И мы оказываемся в новом мире.

00:11:27.348 --> 00:11:29.808
Но здесь мы просто играем, ведь так?

00:11:31.744 --> 00:11:34.444
А ведь новую математику
изобретают именно так.

00:11:36.341 --> 00:11:40.471
На самом деле математики довольно
давно изучают числовые окружности.

00:11:40.471 --> 00:11:42.741
У этой науки есть даже
своё забавное название:

00:11:42.741 --> 00:11:44.711
модульная арифметика.

00:11:45.151 --> 00:11:47.341
И ею занимается не только математика,

00:11:47.341 --> 00:11:49.491
она оказывается полезной во многих сферах,

00:11:49.491 --> 00:11:52.381
таких как криптография и информатика.

00:11:52.381 --> 00:11:55.011
И на самом деле не будет
преувеличением сказать,

00:11:55.011 --> 00:11:58.381
что номер вашей кредитки в сети защищён,

00:11:58.381 --> 00:12:00.231
потому что кому-то пришла мысль:

00:12:00.231 --> 00:12:03.781
«А что, если цифры расположить
на числовой окружности, а не на линии?»

00:12:05.085 --> 00:12:09.475
Так что да, мы должны учить тому,
что два плюс два равно четырём.

00:12:10.310 --> 00:12:14.250
Но мы также должны говорить «да»
идеям и предположениям учеников

00:12:14.550 --> 00:12:17.700
и формировать в них решительность,
которой мы от них так ждём.

00:12:18.240 --> 00:12:21.330
Нужна смелость, чтобы сказать:
«Что, если два плюс два будет 12?»

00:12:21.330 --> 00:12:24.020
и исследовать последствия
такого предположения.

00:12:25.057 --> 00:12:27.127
Нужна смелость, чтобы сказать:

00:12:27.127 --> 00:12:31.057
«Что, если сумма углов в треугольнике
не была равна 180 градусам?»

00:12:31.470 --> 00:12:34.450
или: «Что, если бы был квадратный
корень из числа минус один?»

00:12:34.710 --> 00:12:38.250
или: «Что, если существуют
различные размеры бесконечности?»

00:12:39.309 --> 00:12:41.999
Ведь эта смелость и эти вопросы

00:12:42.669 --> 00:12:46.199
приводили к некоторым величайшим
прорывам в истории науки.

00:12:46.999 --> 00:12:49.779
Всё, что нужно, — это желание поиграть.

00:12:51.409 --> 00:12:53.649
Это принцип номер пять.

00:12:55.269 --> 00:12:58.039
Математика — это не следование правилам.

00:12:58.492 --> 00:12:59.892
Это скорее игра,

00:13:00.332 --> 00:13:03.112
исследование, борьба
и поиск ключей к разгадке.

00:13:03.112 --> 00:13:05.068
А иногда даже разрушение стандартов.

00:13:05.638 --> 00:13:09.188
Эйнштейн называл игру
наивысшей формой исследования.

00:13:09.578 --> 00:13:14.408
И преподаватель, который позволяет
ученикам играть с математикой,

00:13:14.408 --> 00:13:17.608
дарит им владение этой наукой.

00:13:18.888 --> 00:13:20.332
Игры с математикой похожи

00:13:20.332 --> 00:13:22.968
на бег по густому лесу в детстве.

00:13:22.968 --> 00:13:26.838
Даже если ты стоишь на тропинке,
кажется, что весь лес принадлежит тебе.

00:13:27.909 --> 00:13:30.559
Родители, если вы хотите знать,

00:13:30.559 --> 00:13:33.519
как воспитать в детях
математические инстинкты,

00:13:33.519 --> 00:13:35.429
то вот вам ответ — игра.

00:13:36.001 --> 00:13:39.141
Суть книг — чтение,
суть математики — игра.

00:13:39.551 --> 00:13:43.351
И дом, наполненный кубиками,
головоломками, играми и игрой —

00:13:43.841 --> 00:13:47.161
это дом, где в ребёнке расцветает
математическое мышление.

00:13:48.816 --> 00:13:54.476
Я верю, что мы в силах помочь расцвету
математического мышления повсюду.

00:13:55.754 --> 00:14:00.744
Нельзя использовать математику, просто
создавая пассивных исполнителей правил.

00:14:01.163 --> 00:14:04.193
Математика должна стать
нашим величайшим вкладом

00:14:04.193 --> 00:14:07.593
в подготовку следующего поколения
к тому, чтобы встретить будущее

00:14:07.593 --> 00:14:11.633
смело, любознательно и творчески.

00:14:12.516 --> 00:14:15.476
И если все ученики получат возможность

00:14:15.478 --> 00:14:19.636
почувствовать красоту и мощь
настоящего математического мышления,

00:14:20.856 --> 00:14:24.876
может, не будут звучать
так уж странно их слова:

00:14:25.871 --> 00:14:27.261
«Математика?

00:14:28.241 --> 00:14:30.711
Вообще-то, математика мне нравится».

00:14:31.783 --> 00:14:32.973
Спасибо.

00:14:32.973 --> 00:14:35.633
(Аплодисменты)