Недавно моя подруга рассказала мне, что её шестилетний сын
пришёл домой из школы и сказал, что ненавидит математику.
Мне было больно это слышать, потому что я математику обожаю.
Красота и сила математического мышления изменили мою жизнь.
Но я знаю, что далеко не все со мной согласятся.
Занятия математикой могут быть как лучшим, так и худшим временем,
захватывающим путешествием в мир открытий
или же падением в пропасть скуки, разочарования и отчаяния.
Математическая необразованность так привычна, что мы её едва замечаем.
Практически мы считаем урок математики
повторением и запоминанием бессвязных технических правил.
И мы не удивляемся тому, что у учеников нет мотивации,
что они не любят математику, оканчивая школу,
и даже пытаются её избегать на протяжении всей жизни.
Без математической грамотности их карьерные возможности сужаются.
Они становятся лёгкой добычей для кредитных компаний,
финансовых предложений, лотерейного бизнеса
(Смех)
и вообще любого, кто захочет ослепить их статистикой.
Вам известно, что если вы добавите в утверждение какую-то статистику,
вероятность того, что люди поверят вам на слово, возрастёт на 92 процента?
(Смех)
На самом деле я это выдумал.
(Смех)
Но 92 процента имеют вес, хотя и полностью сфабрикованы.
Так оно и работает.
Когда у нас проблемы с математикой,
мы не признаём за числами авторитета.
Но последствия математической недостаточности —
это лишь половина дела.
Прямо сейчас мы упускаем шанс прикоснуться к жизни после жизни
с помощью красоты и могущества математического мышления.
Недавно я вёл семинар по этой теме, и в конце одна женщина подняла руку
и сказала, что этот урок заставил её почувствовать себя, цитирую:
«богиней».
(Смех)
Это, пожалуй, наилучшее описание того,
как ощущается математическое мышление,
так давайте попробуем выяснить, на что оно похоже.
Хорошим началом
являются слова философа и математика Рене Декарта,
который произнёс знаменитую фразу: «Я мыслю — значит существую».
Но Декарт ещё глубже смотрел на природу человеческих мыслей.
Когда он определил себя как сущность, которая думает,
он продолжил: «А что такое думающая сущность?»
Это сущность, которая сомневается, понимает, предполагает,
которая подтверждает и отвергает, решает и отказывается,
которая также воображает
и воспринимает информацию.
Именно такое мышление нужно на каждом уроке математики.
И если вы учитель, или родитель, или кто-то, заинтересованный в обучении,
я предлагаю вам пять принципов,
приглашая вас вдумываться в математику и дома и в школе.
Принцип первый: начинайте с вопроса.
Обычный урок математики начинается с ответов
и никогда не доходит до настоящего вопроса.
«Умножать нужно так. Повторите.
Делить нужно так. Повторите.
Мы изучили материал, двигаемся дальше».
В таком методе важно запоминание шагов и правил.
В нём нет места для сомнений, гипотез и несогласия,
он не требует мыслительного процесса.
А что будет, если мы начнём с вопроса?
Например, здесь представлены числа от единицы до 20.
В этой картинке скрывается вопрос,
он прячется на самом видном месте.
К чему здесь эти цвета?
Интуитивно нам кажется, что есть некая связь
между числами и цветами.
Пожалуй, даже можно расширить эти цвета на большее количество чисел.
В то же самое время значения цветов здесь непонятны.
Это действительно загадка.
Поэтому здесь естественно напрашивается вопрос.
И подобно большинству настоящих математических вопросов
на него есть ответ, который и красив, и приносит полное удовлетворение.
Но я вам его, конечно же, не скажу.
(Смех)
Я не считаю себя жестоким человеком,
но я намерен лишить вас того, что вы так хотите узнать.
(Смех)
Так как знаю, что если поспешу с ответом,
я украду у вас возможность самостоятельно узнать это.
Мы мыслим только в те моменты, когда бьёмся над задачей в поисках решения.
И это второй принцип.
Нет ничего необычного в том, что ученики, окончившие школу,
считают, что любую математическую задачу можно решить за 30 секунд и меньше,
а если они не находят ответ, значит, математика просто не их предмет.
Это недостаток системы образования.
Мы должны учить детей быть настойчивыми и решительными,
проявлять упорство, сталкиваясь с трудностями.
Единственный способ научить детей упорству —
это давать им время подумать и побороться с реальными проблемами.
Недавно я показал эту картинку в классе,
и нам потребовалось время, чтобы решить эту проблему.
И чем дольше мы искали ответ, тем активнее ученики размышляли.
Они выдвигали гипотезы,
задавали вопросы.
Например:
«Почему у чисел в последнем столбце всегда есть оранжевый и голубой цвет?
Значит ли что-то, что зелёные цвета всегда расположены диагонально?
Что происходит с теми мелкими белыми числами
в красных сегментах?
Важно ли то, что они всегда нечётные?»
В попытках ответить на трудный вопрос
ученики углубляют любознательность и усиливают наблюдательность.
Они также развивают способность пойти на риск.
Некоторые ученики замечали у всех чётных чисел оранжевый цвет,
и они заявляли:
«Оранжевый должен означать чётный».
А потом они спрашивали: «Это правильно?»
(Смех)
Эта ситуация может показаться пугающей для учителя.
К вам подходит ученик с оригинальной идеей.
А что, если вы не знаете ответ?
Итак, это третий принцип: вы не являетесь ключом к ответам.
Учителя, ученики вправе задавать вам вопросы, на которые вы не знаете ответа.
Это может ощущаться как угроза.
Но вы не ключ к ответам.
Наличие любознательных учеников —
это прекрасно для вашего класса.
И если вы можете ответить им:
«Я не знаю, давайте разберёмся»,
математика становится приключением.
Родители, вас это тоже касается.
Когда вы занимаетесь математикой со своими детьми,
вы не обязаны знать ответы на все вопросы.
Вы можете попросить ребёнка объяснить вам математику
или попробовать разобраться вместе.
Учите их тому, что незнание не является неудачей.
Это первый шаг к пониманию.
И когда ученики спрашивали меня, значит ли оранжевый, что число чётное,
я не обязан был давать им ответ.
Я даже не обязан был знать ответ.
Я мог попросить одного из них объяснить мне, почему он так считает.
Или же мы могли предложить эту идею на рассмотрение классу.
Потому что они знают, что от меня ответа не получат.
Они должны рассуждать сами и убеждать друг друга,
чтобы установить правду.
Итак, один говорит: «Смотрите: два, четыре, шесть, восемь, 10, 12.
Я проверил все чётные числа.
У каждого есть оранжевый.
Чего вам не хватает?»
А другой ему отвечает: «Так, погоди минутку,
я вижу, к чему ты клонишь,
но у каких-то из тех чисел один оранжевый сегмент,
а у некоторых — два или три.
Например, посмотри на число 48.
У него есть четыре оранжевых сегмента.
Ты хочешь сказать, что число 48 в четыре раза более чётное, чем 46?
Тут должно быть что-то ещё».
Отказываясь от роли ключа с ответами,
вы создаёте ученикам пространство для математической беседы и дебатов.
И этот процесс затягивает каждого, ведь мы любим смотреть, как люди спорят.
В конце концов, где ещё вы можете увидеть, как люди мыслят вслух?
Ученики сомневаются, утверждают, отрицают, понимают.
Всё, что вы должны делать как учитель, — не быть ключом для ответов,
а соглашаться с их предположениями.
Это принцип номер четыре.
И он непростой.
Что, если к вам подойдёт ученик и скажет, что два плюс два равно 12?
Вам придётся его поправить, верно?
И это правильно, ведь мы же хотим, чтобы ученики знали основные факты
и понимали, как их использовать.
Но сказать «да» не то же самое, что сказать: «Ты прав».
Можно принять на рассмотрение даже неправильную идею
и сказать «да», разрешая ученикам
участвовать в процессе математических рассуждений.
Отказ от рассмотрения идеи без вопросов вселяет неуверенность.
А её принятие, изучение и отмена оказываются признаками уважения.
При этом гораздо убедительнее выявлять ошибку в среде равных,
чем если учитель скажет, что вы неправы.
Но позвольте мне зайти ещё немного дальше.
Почему вы так уж уверены, что два плюс два не равно 12?
Что произойдёт, если мы скажем «да» этой идее?
Я не знаю.
Давайте выясним.
Итак, если два плюс два равно 12,
то два плюс один должно быть на единицу меньше, значит будет 11.
Тогда получится, что два плюс ноль, то есть просто два, равно 10.
Но если два — это 10, то один — это девять,
а ноль — это восемь.
И я вынужден признать, что это выглядит плохо.
Мы будто сломали математику.
Но зато теперь я понимаю, почему это не может быть правдой.
Просто если думать о том,
что мы находимся на числовой прямой,
и когда я стою в нуле, восемь — это восемь шагов вправо,
то я никак не смогу сделать восемь шагов
и вернуться в исходную точку.
Если только...
(Смех)
что, если бы это была не числовая прямая?
Что, если бы это была числовая окружность?
Тогда я мог бы сделать восемь шагов и вернуться в исходную точку.
Восемь стало бы нулём.
Вообще, все бесконечные числа на реальной прямой поместились бы
в эту восьмиместную окружность.
И мы оказываемся в новом мире.
Но здесь мы просто играем, ведь так?
А ведь новую математику изобретают именно так.
На самом деле математики довольно давно изучают числовые окружности.
У этой науки есть даже своё забавное название:
модульная арифметика.
И ею занимается не только математика,
она оказывается полезной во многих сферах,
таких как криптография и информатика.
И на самом деле не будет преувеличением сказать,
что номер вашей кредитки в сети защищён,
потому что кому-то пришла мысль:
«А что, если цифры расположить на числовой окружности, а не на линии?»
Так что да, мы должны учить тому, что два плюс два равно четырём.
Но мы также должны говорить «да» идеям и предположениям учеников
и формировать в них решительность, которой мы от них так ждём.
Нужна смелость, чтобы сказать: «Что, если два плюс два будет 12?»
и исследовать последствия такого предположения.
Нужна смелость, чтобы сказать:
«Что, если сумма углов в треугольнике не была равна 180 градусам?»
или: «Что, если бы был квадратный корень из числа минус один?»
или: «Что, если существуют различные размеры бесконечности?»
Ведь эта смелость и эти вопросы
приводили к некоторым величайшим прорывам в истории науки.
Всё, что нужно, — это желание поиграть.
Это принцип номер пять.
Математика — это не следование правилам.
Это скорее игра,
исследование, борьба и поиск ключей к разгадке.
А иногда даже разрушение стандартов.
Эйнштейн называл игру наивысшей формой исследования.
И преподаватель, который позволяет ученикам играть с математикой,
дарит им владение этой наукой.
Игры с математикой похожи
на бег по густому лесу в детстве.
Даже если ты стоишь на тропинке, кажется, что весь лес принадлежит тебе.
Родители, если вы хотите знать,
как воспитать в детях математические инстинкты,
то вот вам ответ — игра.
Суть книг — чтение, суть математики — игра.
И дом, наполненный кубиками, головоломками, играми и игрой —
это дом, где в ребёнке расцветает математическое мышление.
Я верю, что мы в силах помочь расцвету математического мышления повсюду.
Нельзя использовать математику, просто создавая пассивных исполнителей правил.
Математика должна стать нашим величайшим вкладом
в подготовку следующего поколения к тому, чтобы встретить будущее
смело, любознательно и творчески.
И если все ученики получат возможность
почувствовать красоту и мощь настоящего математического мышления,
может, не будут звучать так уж странно их слова:
«Математика?
Вообще-то, математика мне нравится».
Спасибо.
(Аплодисменты)