1
00:00:10,374 --> 00:00:14,374
Недавно моя подруга рассказала мне,
что её шестилетний сын

2
00:00:14,374 --> 00:00:17,604
пришёл домой из школы и сказал,
что ненавидит математику.

3
00:00:18,314 --> 00:00:21,884
Мне было больно это слышать,
потому что я математику обожаю.

4
00:00:22,374 --> 00:00:26,675
Красота и сила математического
мышления изменили мою жизнь.

5
00:00:26,675 --> 00:00:29,845
Но я знаю, что далеко
не все со мной согласятся.

6
00:00:30,005 --> 00:00:33,276
Занятия математикой могут быть
как лучшим, так и худшим временем,

7
00:00:33,506 --> 00:00:36,606
захватывающим путешествием в мир открытий

8
00:00:36,606 --> 00:00:41,796
или же падением в пропасть
скуки, разочарования и отчаяния.

9
00:00:43,518 --> 00:00:47,798
Математическая необразованность
так привычна, что мы её едва замечаем.

10
00:00:48,088 --> 00:00:50,137
Практически мы считаем урок математики

11
00:00:50,139 --> 00:00:55,291
повторением и запоминанием
бессвязных технических правил.

12
00:00:55,601 --> 00:00:58,198
И мы не удивляемся тому,
что у учеников нет мотивации,

13
00:00:58,198 --> 00:01:00,331
что они не любят математику,
оканчивая школу,

14
00:01:00,334 --> 00:01:03,179
и даже пытаются её избегать
на протяжении всей жизни.

15
00:01:04,179 --> 00:01:08,508
Без математической грамотности
их карьерные возможности сужаются.

16
00:01:09,028 --> 00:01:12,738
Они становятся лёгкой добычей
для кредитных компаний,

17
00:01:12,738 --> 00:01:15,182
финансовых предложений,
лотерейного бизнеса

18
00:01:16,104 --> 00:01:17,374
(Смех)

19
00:01:17,667 --> 00:01:21,407
и вообще любого, кто захочет
ослепить их статистикой.

20
00:01:21,696 --> 00:01:25,496
Вам известно, что если вы добавите
в утверждение какую-то статистику,

21
00:01:25,496 --> 00:01:29,946
вероятность того, что люди поверят
вам на слово, возрастёт на 92 процента?

22
00:01:29,946 --> 00:01:32,656
(Смех)

23
00:01:33,736 --> 00:01:36,211
На самом деле я это выдумал.

24
00:01:36,211 --> 00:01:37,356
(Смех)

25
00:01:37,356 --> 00:01:42,866
Но 92 процента имеют вес,
хотя и полностью сфабрикованы.

26
00:01:43,036 --> 00:01:44,500
Так оно и работает.

27
00:01:44,500 --> 00:01:46,350
Когда у нас проблемы с математикой,

28
00:01:46,350 --> 00:01:49,100
мы не признаём за числами авторитета.

29
00:01:51,534 --> 00:01:56,014
Но последствия
математической недостаточности —

30
00:01:56,014 --> 00:01:58,104
это лишь половина дела.

31
00:01:58,104 --> 00:02:02,599
Прямо сейчас мы упускаем шанс
прикоснуться к жизни после жизни

32
00:02:02,599 --> 00:02:06,337
с помощью красоты и могущества
математического мышления.

33
00:02:06,597 --> 00:02:10,861
Недавно я вёл семинар по этой теме,
и в конце одна женщина подняла руку

34
00:02:10,861 --> 00:02:14,141
и сказала, что этот урок заставил
её почувствовать себя, цитирую:

35
00:02:14,451 --> 00:02:16,001
«богиней».

36
00:02:16,271 --> 00:02:17,861
(Смех)

37
00:02:19,121 --> 00:02:22,021
Это, пожалуй, наилучшее описание того,

38
00:02:22,021 --> 00:02:24,761
как ощущается математическое мышление,

39
00:02:25,878 --> 00:02:28,368
так давайте попробуем выяснить,
на что оно похоже.

40
00:02:28,528 --> 00:02:29,876
Хорошим началом

41
00:02:29,876 --> 00:02:33,088
являются слова философа
и математика Рене Декарта,

42
00:02:33,088 --> 00:02:37,107
который произнёс знаменитую фразу:
«Я мыслю — значит существую».

43
00:02:37,594 --> 00:02:41,056
Но Декарт ещё глубже смотрел
на природу человеческих мыслей.

44
00:02:41,056 --> 00:02:44,026
Когда он определил себя
как сущность, которая думает,

45
00:02:44,026 --> 00:02:47,162
он продолжил:
«А что такое думающая сущность?»

46
00:02:47,892 --> 00:02:52,122
Это сущность, которая сомневается,
понимает, предполагает,

47
00:02:52,122 --> 00:02:55,832
которая подтверждает и отвергает,
решает и отказывается,

48
00:02:55,832 --> 00:02:57,756
которая также воображает

49
00:02:57,756 --> 00:02:59,926
и воспринимает информацию.

50
00:03:00,457 --> 00:03:05,697
Именно такое мышление нужно
на каждом уроке математики.

51
00:03:06,372 --> 00:03:11,002
И если вы учитель, или родитель,
или кто-то, заинтересованный в обучении,

52
00:03:11,322 --> 00:03:13,381
я предлагаю вам пять принципов,

53
00:03:13,384 --> 00:03:18,410
приглашая вас вдумываться
в математику и дома и в школе.

54
00:03:21,384 --> 00:03:24,214
Принцип первый: начинайте с вопроса.

55
00:03:24,864 --> 00:03:28,280
Обычный урок математики
начинается с ответов

56
00:03:28,280 --> 00:03:30,370
и никогда не доходит
до настоящего вопроса.

57
00:03:30,370 --> 00:03:32,182
«Умножать нужно так. Повторите.

58
00:03:32,182 --> 00:03:33,814
Делить нужно так. Повторите.

59
00:03:33,814 --> 00:03:35,899
Мы изучили материал, двигаемся дальше».

60
00:03:35,899 --> 00:03:39,053
В таком методе важно
запоминание шагов и правил.

61
00:03:39,313 --> 00:03:44,152
В нём нет места для сомнений,
гипотез и несогласия,

62
00:03:44,892 --> 00:03:46,872
он не требует мыслительного процесса.

63
00:03:48,230 --> 00:03:50,845
А что будет, если мы начнём с вопроса?

64
00:03:51,495 --> 00:03:55,015
Например, здесь представлены
числа от единицы до 20.

65
00:03:55,015 --> 00:03:57,605
В этой картинке скрывается вопрос,

66
00:03:58,285 --> 00:04:00,345
он прячется на самом видном месте.

67
00:04:00,855 --> 00:04:03,072
К чему здесь эти цвета?

68
00:04:04,592 --> 00:04:07,142
Интуитивно нам кажется,
что есть некая связь

69
00:04:07,142 --> 00:04:09,622
между числами и цветами.

70
00:04:09,622 --> 00:04:13,830
Пожалуй, даже можно расширить
эти цвета на большее количество чисел.

71
00:04:15,140 --> 00:04:18,890
В то же самое время значения
цветов здесь непонятны.

72
00:04:19,540 --> 00:04:20,890
Это действительно загадка.

73
00:04:21,470 --> 00:04:25,700
Поэтому здесь естественно
напрашивается вопрос.

74
00:04:26,900 --> 00:04:31,120
И подобно большинству
настоящих математических вопросов

75
00:04:31,418 --> 00:04:36,668
на него есть ответ, который и красив,
и приносит полное удовлетворение.

76
00:04:38,658 --> 00:04:41,448
Но я вам его, конечно же, не скажу.

77
00:04:41,448 --> 00:04:43,698
(Смех)

78
00:04:44,690 --> 00:04:47,164
Я не считаю себя жестоким человеком,

79
00:04:47,164 --> 00:04:50,544
но я намерен лишить вас того,
что вы так хотите узнать.

80
00:04:50,544 --> 00:04:52,074
(Смех)

81
00:04:52,074 --> 00:04:55,654
Так как знаю, что если поспешу с ответом,

82
00:04:55,654 --> 00:04:58,855
я украду у вас возможность
самостоятельно узнать это.

83
00:04:59,705 --> 00:05:03,475
Мы мыслим только в те моменты, когда
бьёмся над задачей в поисках решения.

84
00:05:04,735 --> 00:05:06,675
И это второй принцип.

85
00:05:07,738 --> 00:05:10,868
Нет ничего необычного в том,
что ученики, окончившие школу,

86
00:05:10,868 --> 00:05:15,778
считают, что любую математическую задачу
можно решить за 30 секунд и меньше,

87
00:05:15,778 --> 00:05:19,262
а если они не находят ответ, значит,
математика просто не их предмет.

88
00:05:19,512 --> 00:05:21,792
Это недостаток системы образования.

89
00:05:21,792 --> 00:05:25,662
Мы должны учить детей быть
настойчивыми и решительными,

90
00:05:25,662 --> 00:05:28,312
проявлять упорство,
сталкиваясь с трудностями.

91
00:05:28,652 --> 00:05:30,911
Единственный способ
научить детей упорству —

92
00:05:30,911 --> 00:05:36,381
это давать им время подумать
и побороться с реальными проблемами.

93
00:05:37,200 --> 00:05:40,480
Недавно я показал эту картинку в классе,

94
00:05:40,480 --> 00:05:43,050
и нам потребовалось время,
чтобы решить эту проблему.

95
00:05:43,050 --> 00:05:47,400
И чем дольше мы искали ответ,
тем активнее ученики размышляли.

96
00:05:47,720 --> 00:05:49,380
Они выдвигали гипотезы,

97
00:05:49,380 --> 00:05:51,000
задавали вопросы.

98
00:05:51,000 --> 00:05:52,140
Например:

99
00:05:52,140 --> 00:05:55,890
«Почему у чисел в последнем столбце
всегда есть оранжевый и голубой цвет?

100
00:05:56,304 --> 00:06:00,795
Значит ли что-то, что зелёные цвета
всегда расположены диагонально?

101
00:06:01,205 --> 00:06:03,655
Что происходит с теми
мелкими белыми числами

102
00:06:03,655 --> 00:06:05,185
в красных сегментах?

103
00:06:05,185 --> 00:06:07,915
Важно ли то, что они всегда нечётные?»

104
00:06:09,147 --> 00:06:11,647
В попытках ответить на трудный вопрос

105
00:06:11,647 --> 00:06:16,477
ученики углубляют любознательность
и усиливают наблюдательность.

106
00:06:17,139 --> 00:06:23,189
Они также развивают
способность пойти на риск.

107
00:06:25,257 --> 00:06:28,297
Некоторые ученики замечали
у всех чётных чисел оранжевый цвет,

108
00:06:28,297 --> 00:06:30,157
и они заявляли:

109
00:06:30,157 --> 00:06:32,467
«Оранжевый должен означать чётный».

110
00:06:33,007 --> 00:06:35,829
А потом они спрашивали: «Это правильно?»

111
00:06:35,829 --> 00:06:37,239
(Смех)

112
00:06:37,641 --> 00:06:41,161
Эта ситуация может показаться
пугающей для учителя.

113
00:06:41,161 --> 00:06:44,411
К вам подходит ученик
с оригинальной идеей.

114
00:06:45,392 --> 00:06:47,392
А что, если вы не знаете ответ?

115
00:06:49,335 --> 00:06:53,805
Итак, это третий принцип:
вы не являетесь ключом к ответам.

116
00:06:55,402 --> 00:06:59,782
Учителя, ученики вправе задавать вам
вопросы, на которые вы не знаете ответа.

117
00:06:59,782 --> 00:07:02,150
Это может ощущаться как угроза.

118
00:07:02,150 --> 00:07:04,380
Но вы не ключ к ответам.

119
00:07:05,542 --> 00:07:07,942
Наличие любознательных учеников —

120
00:07:07,942 --> 00:07:10,212
это прекрасно для вашего класса.

121
00:07:10,212 --> 00:07:12,292
И если вы можете ответить им:

122
00:07:12,902 --> 00:07:15,782
«Я не знаю, давайте разберёмся»,

123
00:07:16,262 --> 00:07:18,832
математика становится приключением.

124
00:07:19,882 --> 00:07:22,652
Родители, вас это тоже касается.

125
00:07:22,652 --> 00:07:25,642
Когда вы занимаетесь
математикой со своими детьми,

126
00:07:25,642 --> 00:07:28,242
вы не обязаны знать ответы на все вопросы.

127
00:07:28,652 --> 00:07:31,522
Вы можете попросить ребёнка
объяснить вам математику

128
00:07:31,522 --> 00:07:34,002
или попробовать разобраться вместе.

129
00:07:35,551 --> 00:07:39,501
Учите их тому, что незнание
не является неудачей.

130
00:07:40,411 --> 00:07:42,980
Это первый шаг к пониманию.

131
00:07:44,242 --> 00:07:49,892
И когда ученики спрашивали меня,
значит ли оранжевый, что число чётное,

132
00:07:49,892 --> 00:07:51,972
я не обязан был давать им ответ.

133
00:07:52,242 --> 00:07:54,562
Я даже не обязан был знать ответ.

134
00:07:54,912 --> 00:07:58,722
Я мог попросить одного из них
объяснить мне, почему он так считает.

135
00:07:59,342 --> 00:08:02,232
Или же мы могли предложить эту идею
на рассмотрение классу.

136
00:08:02,952 --> 00:08:05,732
Потому что они знают,
что от меня ответа не получат.

137
00:08:05,732 --> 00:08:09,192
Они должны рассуждать сами
и убеждать друг друга,

138
00:08:09,192 --> 00:08:10,912
чтобы установить правду.

139
00:08:10,912 --> 00:08:14,302
Итак, один говорит: «Смотрите:
два, четыре, шесть, восемь, 10, 12.

140
00:08:14,302 --> 00:08:15,922
Я проверил все чётные числа.

141
00:08:15,922 --> 00:08:17,312
У каждого есть оранжевый.

142
00:08:17,312 --> 00:08:18,782
Чего вам не хватает?»

143
00:08:18,782 --> 00:08:21,132
А другой ему отвечает:
«Так, погоди минутку,

144
00:08:21,132 --> 00:08:22,372
я вижу, к чему ты клонишь,

145
00:08:22,372 --> 00:08:24,932
но у каких-то из тех чисел
один оранжевый сегмент,

146
00:08:24,932 --> 00:08:27,092
а у некоторых — два или три.

147
00:08:27,092 --> 00:08:28,912
Например, посмотри на число 48.

148
00:08:29,492 --> 00:08:31,632
У него есть четыре оранжевых сегмента.

149
00:08:31,632 --> 00:08:35,762
Ты хочешь сказать, что число 48
в четыре раза более чётное, чем 46?

150
00:08:36,232 --> 00:08:38,782
Тут должно быть что-то ещё».

151
00:08:39,482 --> 00:08:41,517
Отказываясь от роли ключа с ответами,

152
00:08:41,517 --> 00:08:45,977
вы создаёте ученикам пространство
для математической беседы и дебатов.

153
00:08:45,977 --> 00:08:51,497
И этот процесс затягивает каждого,
ведь мы любим смотреть, как люди спорят.

154
00:08:52,267 --> 00:08:57,087
В конце концов, где ещё вы можете
увидеть, как люди мыслят вслух?

155
00:08:57,087 --> 00:09:00,970
Ученики сомневаются, утверждают,
отрицают, понимают.

156
00:09:02,180 --> 00:09:06,390
Всё, что вы должны делать как учитель, —
не быть ключом для ответов,

157
00:09:06,390 --> 00:09:08,910
а соглашаться с их предположениями.

158
00:09:11,050 --> 00:09:13,100
Это принцип номер четыре.

159
00:09:13,950 --> 00:09:15,990
И он непростой.

160
00:09:16,140 --> 00:09:19,360
Что, если к вам подойдёт ученик
и скажет, что два плюс два равно 12?

161
00:09:20,180 --> 00:09:21,850
Вам придётся его поправить, верно?

162
00:09:21,850 --> 00:09:25,200
И это правильно, ведь мы же хотим,
чтобы ученики знали основные факты

163
00:09:25,200 --> 00:09:26,730
и понимали, как их использовать.

164
00:09:27,140 --> 00:09:31,420
Но сказать «да» не то же самое,
что сказать: «Ты прав».

165
00:09:31,910 --> 00:09:35,700
Можно принять на рассмотрение
даже неправильную идею

166
00:09:35,700 --> 00:09:37,960
и сказать «да», разрешая ученикам

167
00:09:37,960 --> 00:09:41,740
участвовать в процессе
математических рассуждений.

168
00:09:42,840 --> 00:09:48,290
Отказ от рассмотрения идеи
без вопросов вселяет неуверенность.

169
00:09:48,593 --> 00:09:53,243
А её принятие, изучение и отмена
оказываются признаками уважения.

170
00:09:53,853 --> 00:09:57,673
При этом гораздо убедительнее
выявлять ошибку в среде равных,

171
00:09:57,673 --> 00:10:00,023
чем если учитель скажет, что вы неправы.

172
00:10:01,293 --> 00:10:03,933
Но позвольте мне зайти ещё немного дальше.

173
00:10:04,873 --> 00:10:08,353
Почему вы так уж уверены,
что два плюс два не равно 12?

174
00:10:09,263 --> 00:10:11,573
Что произойдёт, если мы
скажем «да» этой идее?

175
00:10:12,703 --> 00:10:13,943
Я не знаю.

176
00:10:14,213 --> 00:10:15,643
Давайте выясним.

177
00:10:17,643 --> 00:10:20,263
Итак, если два плюс два равно 12,

178
00:10:20,583 --> 00:10:25,143
то два плюс один должно быть
на единицу меньше, значит будет 11.

179
00:10:25,592 --> 00:10:29,382
Тогда получится, что два плюс ноль,
то есть просто два, равно 10.

180
00:10:29,995 --> 00:10:32,885
Но если два — это 10,
то один — это девять,

181
00:10:32,885 --> 00:10:34,595
а ноль — это восемь.

182
00:10:35,175 --> 00:10:37,475
И я вынужден признать,
что это выглядит плохо.

183
00:10:38,515 --> 00:10:40,815
Мы будто сломали математику.

184
00:10:41,575 --> 00:10:45,035
Но зато теперь я понимаю, почему
это не может быть правдой.

185
00:10:45,555 --> 00:10:47,335
Просто если думать о том,

186
00:10:47,335 --> 00:10:50,845
что мы находимся на числовой прямой,

187
00:10:51,255 --> 00:10:54,045
и когда я стою в нуле, восемь —
это восемь шагов вправо,

188
00:10:54,045 --> 00:10:56,485
то я никак не смогу сделать восемь шагов

189
00:10:56,485 --> 00:10:58,565
и вернуться в исходную точку.

190
00:11:01,198 --> 00:11:02,738
Если только...

191
00:11:03,188 --> 00:11:04,418
(Смех)

192
00:11:04,918 --> 00:11:07,388
что, если бы это была не числовая прямая?

193
00:11:08,408 --> 00:11:10,748
Что, если бы это была числовая окружность?

194
00:11:11,496 --> 00:11:14,602
Тогда я мог бы сделать восемь шагов
и вернуться в исходную точку.

195
00:11:14,602 --> 00:11:16,042
Восемь стало бы нулём.

196
00:11:16,042 --> 00:11:19,792
Вообще, все бесконечные числа
на реальной прямой поместились бы

197
00:11:19,792 --> 00:11:22,152
в эту восьмиместную окружность.

198
00:11:22,972 --> 00:11:25,332
И мы оказываемся в новом мире.

199
00:11:27,348 --> 00:11:29,808
Но здесь мы просто играем, ведь так?

200
00:11:31,744 --> 00:11:34,444
А ведь новую математику
изобретают именно так.

201
00:11:36,341 --> 00:11:40,471
На самом деле математики довольно
давно изучают числовые окружности.

202
00:11:40,471 --> 00:11:42,741
У этой науки есть даже
своё забавное название:

203
00:11:42,741 --> 00:11:44,711
модульная арифметика.

204
00:11:45,151 --> 00:11:47,341
И ею занимается не только математика,

205
00:11:47,341 --> 00:11:49,491
она оказывается полезной во многих сферах,

206
00:11:49,491 --> 00:11:52,381
таких как криптография и информатика.

207
00:11:52,381 --> 00:11:55,011
И на самом деле не будет
преувеличением сказать,

208
00:11:55,011 --> 00:11:58,381
что номер вашей кредитки в сети защищён,

209
00:11:58,381 --> 00:12:00,231
потому что кому-то пришла мысль:

210
00:12:00,231 --> 00:12:03,781
«А что, если цифры расположить
на числовой окружности, а не на линии?»

211
00:12:05,085 --> 00:12:09,475
Так что да, мы должны учить тому,
что два плюс два равно четырём.

212
00:12:10,310 --> 00:12:14,250
Но мы также должны говорить «да»
идеям и предположениям учеников

213
00:12:14,550 --> 00:12:17,700
и формировать в них решительность,
которой мы от них так ждём.

214
00:12:18,240 --> 00:12:21,330
Нужна смелость, чтобы сказать:
«Что, если два плюс два будет 12?»

215
00:12:21,330 --> 00:12:24,020
и исследовать последствия
такого предположения.

216
00:12:25,057 --> 00:12:27,127
Нужна смелость, чтобы сказать:

217
00:12:27,127 --> 00:12:31,057
«Что, если сумма углов в треугольнике
не была равна 180 градусам?»

218
00:12:31,470 --> 00:12:34,450
или: «Что, если бы был квадратный
корень из числа минус один?»

219
00:12:34,710 --> 00:12:38,250
или: «Что, если существуют
различные размеры бесконечности?»

220
00:12:39,309 --> 00:12:41,999
Ведь эта смелость и эти вопросы

221
00:12:42,669 --> 00:12:46,199
приводили к некоторым величайшим
прорывам в истории науки.

222
00:12:46,999 --> 00:12:49,779
Всё, что нужно, — это желание поиграть.

223
00:12:51,409 --> 00:12:53,649
Это принцип номер пять.

224
00:12:55,269 --> 00:12:58,039
Математика — это не следование правилам.

225
00:12:58,492 --> 00:12:59,892
Это скорее игра,

226
00:13:00,332 --> 00:13:03,112
исследование, борьба
и поиск ключей к разгадке.

227
00:13:03,112 --> 00:13:05,068
А иногда даже разрушение стандартов.

228
00:13:05,638 --> 00:13:09,188
Эйнштейн называл игру
наивысшей формой исследования.

229
00:13:09,578 --> 00:13:14,408
И преподаватель, который позволяет
ученикам играть с математикой,

230
00:13:14,408 --> 00:13:17,608
дарит им владение этой наукой.

231
00:13:18,888 --> 00:13:20,332
Игры с математикой похожи

232
00:13:20,332 --> 00:13:22,968
на бег по густому лесу в детстве.

233
00:13:22,968 --> 00:13:26,838
Даже если ты стоишь на тропинке,
кажется, что весь лес принадлежит тебе.

234
00:13:27,909 --> 00:13:30,559
Родители, если вы хотите знать,

235
00:13:30,559 --> 00:13:33,519
как воспитать в детях
математические инстинкты,

236
00:13:33,519 --> 00:13:35,429
то вот вам ответ — игра.

237
00:13:36,001 --> 00:13:39,141
Суть книг — чтение,
суть математики — игра.

238
00:13:39,551 --> 00:13:43,351
И дом, наполненный кубиками,
головоломками, играми и игрой —

239
00:13:43,841 --> 00:13:47,161
это дом, где в ребёнке расцветает
математическое мышление.

240
00:13:48,816 --> 00:13:54,476
Я верю, что мы в силах помочь расцвету
математического мышления повсюду.

241
00:13:55,754 --> 00:14:00,744
Нельзя использовать математику, просто
создавая пассивных исполнителей правил.

242
00:14:01,163 --> 00:14:04,193
Математика должна стать
нашим величайшим вкладом

243
00:14:04,193 --> 00:14:07,593
в подготовку следующего поколения
к тому, чтобы встретить будущее

244
00:14:07,593 --> 00:14:11,633
смело, любознательно и творчески.

245
00:14:12,516 --> 00:14:15,476
И если все ученики получат возможность

246
00:14:15,478 --> 00:14:19,636
почувствовать красоту и мощь
настоящего математического мышления,

247
00:14:20,856 --> 00:14:24,876
может, не будут звучать
так уж странно их слова:

248
00:14:25,871 --> 00:14:27,261
«Математика?

249
00:14:28,241 --> 00:14:30,711
Вообще-то, математика мне нравится».

250
00:14:31,783 --> 00:14:32,973
Спасибо.

251
00:14:32,973 --> 00:14:35,633
(Аплодисменты)