0:00:10.374,0:00:14.374
Недавно моя подруга рассказала мне,[br]что её шестилетний сын

0:00:14.374,0:00:17.604
пришёл домой из школы и сказал,[br]что ненавидит математику.

0:00:18.314,0:00:21.884
Мне было больно это слышать,[br]потому что я математику обожаю.

0:00:22.374,0:00:26.675
Красота и сила математического[br]мышления изменили мою жизнь.

0:00:26.675,0:00:29.845
Но я знаю, что далеко[br]не все со мной согласятся.

0:00:30.005,0:00:33.276
Занятия математикой могут быть[br]как лучшим, так и худшим временем,

0:00:33.506,0:00:36.606
захватывающим путешествием в мир открытий

0:00:36.606,0:00:41.796
или же падением в пропасть[br]скуки, разочарования и отчаяния.

0:00:43.518,0:00:47.798
Математическая необразованность[br]так привычна, что мы её едва замечаем.

0:00:48.088,0:00:50.137
Практически мы считаем урок математики

0:00:50.139,0:00:55.291
повторением и запоминанием[br]бессвязных технических правил.

0:00:55.601,0:00:58.198
И мы не удивляемся тому,[br]что у учеников нет мотивации,

0:00:58.198,0:01:00.331
что они не любят математику,[br]оканчивая школу,

0:01:00.334,0:01:03.179
и даже пытаются её избегать[br]на протяжении всей жизни.

0:01:04.179,0:01:08.508
Без математической грамотности[br]их карьерные возможности сужаются.

0:01:09.028,0:01:12.738
Они становятся лёгкой добычей[br]для кредитных компаний,

0:01:12.738,0:01:15.182
финансовых предложений,[br]лотерейного бизнеса

0:01:16.104,0:01:17.374
(Смех)

0:01:17.667,0:01:21.407
и вообще любого, кто захочет[br]ослепить их статистикой.

0:01:21.696,0:01:25.496
Вам известно, что если вы добавите[br]в утверждение какую-то статистику,

0:01:25.496,0:01:29.946
вероятность того, что люди поверят[br]вам на слово, возрастёт на 92 процента?

0:01:29.946,0:01:32.656
(Смех)

0:01:33.736,0:01:36.211
На самом деле я это выдумал.

0:01:36.211,0:01:37.356
(Смех)

0:01:37.356,0:01:42.866
Но 92 процента имеют вес,[br]хотя и полностью сфабрикованы.

0:01:43.036,0:01:44.500
Так оно и работает.

0:01:44.500,0:01:46.350
Когда у нас проблемы с математикой,

0:01:46.350,0:01:49.100
мы не признаём за числами авторитета.

0:01:51.534,0:01:56.014
Но последствия[br]математической недостаточности —

0:01:56.014,0:01:58.104
это лишь половина дела.

0:01:58.104,0:02:02.599
Прямо сейчас мы упускаем шанс[br]прикоснуться к жизни после жизни

0:02:02.599,0:02:06.337
с помощью красоты и могущества[br]математического мышления.

0:02:06.597,0:02:10.861
Недавно я вёл семинар по этой теме,[br]и в конце одна женщина подняла руку

0:02:10.861,0:02:14.141
и сказала, что этот урок заставил[br]её почувствовать себя, цитирую:

0:02:14.451,0:02:16.001
«богиней».

0:02:16.271,0:02:17.861
(Смех)

0:02:19.121,0:02:22.021
Это, пожалуй, наилучшее описание того,

0:02:22.021,0:02:24.761
как ощущается математическое мышление,

0:02:25.878,0:02:28.368
так давайте попробуем выяснить,[br]на что оно похоже.

0:02:28.528,0:02:29.876
Хорошим началом

0:02:29.876,0:02:33.088
являются слова философа[br]и математика Рене Декарта,

0:02:33.088,0:02:37.107
который произнёс знаменитую фразу:[br]«Я мыслю — значит существую».

0:02:37.594,0:02:41.056
Но Декарт ещё глубже смотрел[br]на природу человеческих мыслей.

0:02:41.056,0:02:44.026
Когда он определил себя[br]как сущность, которая думает,

0:02:44.026,0:02:47.162
он продолжил:[br]«А что такое думающая сущность?»

0:02:47.892,0:02:52.122
Это сущность, которая сомневается,[br]понимает, предполагает,

0:02:52.122,0:02:55.832
которая подтверждает и отвергает,[br]решает и отказывается,

0:02:55.832,0:02:57.756
которая также воображает

0:02:57.756,0:02:59.926
и воспринимает информацию.

0:03:00.457,0:03:05.697
Именно такое мышление нужно[br]на каждом уроке математики.

0:03:06.372,0:03:11.002
И если вы учитель, или родитель,[br]или кто-то, заинтересованный в обучении,

0:03:11.322,0:03:13.381
я предлагаю вам пять принципов,

0:03:13.384,0:03:18.410
приглашая вас вдумываться[br]в математику и дома и в школе.

0:03:21.384,0:03:24.214
Принцип первый: начинайте с вопроса.

0:03:24.864,0:03:28.280
Обычный урок математики[br]начинается с ответов

0:03:28.280,0:03:30.370
и никогда не доходит[br]до настоящего вопроса.

0:03:30.370,0:03:32.182
«Умножать нужно так. Повторите.

0:03:32.182,0:03:33.814
Делить нужно так. Повторите.

0:03:33.814,0:03:35.899
Мы изучили материал, двигаемся дальше».

0:03:35.899,0:03:39.053
В таком методе важно[br]запоминание шагов и правил.

0:03:39.313,0:03:44.152
В нём нет места для сомнений,[br]гипотез и несогласия,

0:03:44.892,0:03:46.872
он не требует мыслительного процесса.

0:03:48.230,0:03:50.845
А что будет, если мы начнём с вопроса?

0:03:51.495,0:03:55.015
Например, здесь представлены[br]числа от единицы до 20.

0:03:55.015,0:03:57.605
В этой картинке скрывается вопрос,

0:03:58.285,0:04:00.345
он прячется на самом видном месте.

0:04:00.855,0:04:03.072
К чему здесь эти цвета?

0:04:04.592,0:04:07.142
Интуитивно нам кажется,[br]что есть некая связь

0:04:07.142,0:04:09.622
между числами и цветами.

0:04:09.622,0:04:13.830
Пожалуй, даже можно расширить[br]эти цвета на большее количество чисел.

0:04:15.140,0:04:18.890
В то же самое время значения[br]цветов здесь непонятны.

0:04:19.540,0:04:20.890
Это действительно загадка.

0:04:21.470,0:04:25.700
Поэтому здесь естественно[br]напрашивается вопрос.

0:04:26.900,0:04:31.120
И подобно большинству[br]настоящих математических вопросов

0:04:31.418,0:04:36.668
на него есть ответ, который и красив,[br]и приносит полное удовлетворение.

0:04:38.658,0:04:41.448
Но я вам его, конечно же, не скажу.

0:04:41.448,0:04:43.698
(Смех)

0:04:44.690,0:04:47.164
Я не считаю себя жестоким человеком,

0:04:47.164,0:04:50.544
но я намерен лишить вас того,[br]что вы так хотите узнать.

0:04:50.544,0:04:52.074
(Смех)

0:04:52.074,0:04:55.654
Так как знаю, что если поспешу с ответом,

0:04:55.654,0:04:58.855
я украду у вас возможность[br]самостоятельно узнать это.

0:04:59.705,0:05:03.475
Мы мыслим только в те моменты, когда[br]бьёмся над задачей в поисках решения.

0:05:04.735,0:05:06.675
И это второй принцип.

0:05:07.738,0:05:10.868
Нет ничего необычного в том,[br]что ученики, окончившие школу,

0:05:10.868,0:05:15.778
считают, что любую математическую задачу[br]можно решить за 30 секунд и меньше,

0:05:15.778,0:05:19.262
а если они не находят ответ, значит,[br]математика просто не их предмет.

0:05:19.512,0:05:21.792
Это недостаток системы образования.

0:05:21.792,0:05:25.662
Мы должны учить детей быть[br]настойчивыми и решительными,

0:05:25.662,0:05:28.312
проявлять упорство,[br]сталкиваясь с трудностями.

0:05:28.652,0:05:30.911
Единственный способ[br]научить детей упорству —

0:05:30.911,0:05:36.381
это давать им время подумать[br]и побороться с реальными проблемами.

0:05:37.200,0:05:40.480
Недавно я показал эту картинку в классе,

0:05:40.480,0:05:43.050
и нам потребовалось время,[br]чтобы решить эту проблему.

0:05:43.050,0:05:47.400
И чем дольше мы искали ответ,[br]тем активнее ученики размышляли.

0:05:47.720,0:05:49.380
Они выдвигали гипотезы,

0:05:49.380,0:05:51.000
задавали вопросы.

0:05:51.000,0:05:52.140
Например:

0:05:52.140,0:05:55.890
«Почему у чисел в последнем столбце[br]всегда есть оранжевый и голубой цвет?

0:05:56.304,0:06:00.795
Значит ли что-то, что зелёные цвета[br]всегда расположены диагонально?

0:06:01.205,0:06:03.655
Что происходит с теми[br]мелкими белыми числами

0:06:03.655,0:06:05.185
в красных сегментах?

0:06:05.185,0:06:07.915
Важно ли то, что они всегда нечётные?»

0:06:09.147,0:06:11.647
В попытках ответить на трудный вопрос

0:06:11.647,0:06:16.477
ученики углубляют любознательность[br]и усиливают наблюдательность.

0:06:17.139,0:06:23.189
Они также развивают[br]способность пойти на риск.

0:06:25.257,0:06:28.297
Некоторые ученики замечали[br]у всех чётных чисел оранжевый цвет,

0:06:28.297,0:06:30.157
и они заявляли:

0:06:30.157,0:06:32.467
«Оранжевый должен означать чётный».

0:06:33.007,0:06:35.829
А потом они спрашивали: «Это правильно?»

0:06:35.829,0:06:37.239
(Смех)

0:06:37.641,0:06:41.161
Эта ситуация может показаться[br]пугающей для учителя.

0:06:41.161,0:06:44.411
К вам подходит ученик[br]с оригинальной идеей.

0:06:45.392,0:06:47.392
А что, если вы не знаете ответ?

0:06:49.335,0:06:53.805
Итак, это третий принцип:[br]вы не являетесь ключом к ответам.

0:06:55.402,0:06:59.782
Учителя, ученики вправе задавать вам[br]вопросы, на которые вы не знаете ответа.

0:06:59.782,0:07:02.150
Это может ощущаться как угроза.

0:07:02.150,0:07:04.380
Но вы не ключ к ответам.

0:07:05.542,0:07:07.942
Наличие любознательных учеников —

0:07:07.942,0:07:10.212
это прекрасно для вашего класса.

0:07:10.212,0:07:12.292
И если вы можете ответить им:

0:07:12.902,0:07:15.782
«Я не знаю, давайте разберёмся»,

0:07:16.262,0:07:18.832
математика становится приключением.

0:07:19.882,0:07:22.652
Родители, вас это тоже касается.

0:07:22.652,0:07:25.642
Когда вы занимаетесь[br]математикой со своими детьми,

0:07:25.642,0:07:28.242
вы не обязаны знать ответы на все вопросы.

0:07:28.652,0:07:31.522
Вы можете попросить ребёнка[br]объяснить вам математику

0:07:31.522,0:07:34.002
или попробовать разобраться вместе.

0:07:35.551,0:07:39.501
Учите их тому, что незнание[br]не является неудачей.

0:07:40.411,0:07:42.980
Это первый шаг к пониманию.

0:07:44.242,0:07:49.892
И когда ученики спрашивали меня,[br]значит ли оранжевый, что число чётное,

0:07:49.892,0:07:51.972
я не обязан был давать им ответ.

0:07:52.242,0:07:54.562
Я даже не обязан был знать ответ.

0:07:54.912,0:07:58.722
Я мог попросить одного из них[br]объяснить мне, почему он так считает.

0:07:59.342,0:08:02.232
Или же мы могли предложить эту идею[br]на рассмотрение классу.

0:08:02.952,0:08:05.732
Потому что они знают,[br]что от меня ответа не получат.

0:08:05.732,0:08:09.192
Они должны рассуждать сами[br]и убеждать друг друга,

0:08:09.192,0:08:10.912
чтобы установить правду.

0:08:10.912,0:08:14.302
Итак, один говорит: «Смотрите:[br]два, четыре, шесть, восемь, 10, 12.

0:08:14.302,0:08:15.922
Я проверил все чётные числа.

0:08:15.922,0:08:17.312
У каждого есть оранжевый.

0:08:17.312,0:08:18.782
Чего вам не хватает?»

0:08:18.782,0:08:21.132
А другой ему отвечает:[br]«Так, погоди минутку,

0:08:21.132,0:08:22.372
я вижу, к чему ты клонишь,

0:08:22.372,0:08:24.932
но у каких-то из тех чисел[br]один оранжевый сегмент,

0:08:24.932,0:08:27.092
а у некоторых — два или три.

0:08:27.092,0:08:28.912
Например, посмотри на число 48.

0:08:29.492,0:08:31.632
У него есть четыре оранжевых сегмента.

0:08:31.632,0:08:35.762
Ты хочешь сказать, что число 48[br]в четыре раза более чётное, чем 46?

0:08:36.232,0:08:38.782
Тут должно быть что-то ещё».

0:08:39.482,0:08:41.517
Отказываясь от роли ключа с ответами,

0:08:41.517,0:08:45.977
вы создаёте ученикам пространство[br]для математической беседы и дебатов.

0:08:45.977,0:08:51.497
И этот процесс затягивает каждого,[br]ведь мы любим смотреть, как люди спорят.

0:08:52.267,0:08:57.087
В конце концов, где ещё вы можете[br]увидеть, как люди мыслят вслух?

0:08:57.087,0:09:00.970
Ученики сомневаются, утверждают,[br]отрицают, понимают.

0:09:02.180,0:09:06.390
Всё, что вы должны делать как учитель, —[br]не быть ключом для ответов,

0:09:06.390,0:09:08.910
а соглашаться с их предположениями.

0:09:11.050,0:09:13.100
Это принцип номер четыре.

0:09:13.950,0:09:15.990
И он непростой.

0:09:16.140,0:09:19.360
Что, если к вам подойдёт ученик[br]и скажет, что два плюс два равно 12?

0:09:20.180,0:09:21.850
Вам придётся его поправить, верно?

0:09:21.850,0:09:25.200
И это правильно, ведь мы же хотим,[br]чтобы ученики знали основные факты

0:09:25.200,0:09:26.730
и понимали, как их использовать.

0:09:27.140,0:09:31.420
Но сказать «да» не то же самое,[br]что сказать: «Ты прав».

0:09:31.910,0:09:35.700
Можно принять на рассмотрение[br]даже неправильную идею

0:09:35.700,0:09:37.960
и сказать «да», разрешая ученикам

0:09:37.960,0:09:41.740
участвовать в процессе[br]математических рассуждений.

0:09:42.840,0:09:48.290
Отказ от рассмотрения идеи[br]без вопросов вселяет неуверенность.

0:09:48.593,0:09:53.243
А её принятие, изучение и отмена[br]оказываются признаками уважения.

0:09:53.853,0:09:57.673
При этом гораздо убедительнее[br]выявлять ошибку в среде равных,

0:09:57.673,0:10:00.023
чем если учитель скажет, что вы неправы.

0:10:01.293,0:10:03.933
Но позвольте мне зайти ещё немного дальше.

0:10:04.873,0:10:08.353
Почему вы так уж уверены,[br]что два плюс два не равно 12?

0:10:09.263,0:10:11.573
Что произойдёт, если мы[br]скажем «да» этой идее?

0:10:12.703,0:10:13.943
Я не знаю.

0:10:14.213,0:10:15.643
Давайте выясним.

0:10:17.643,0:10:20.263
Итак, если два плюс два равно 12,

0:10:20.583,0:10:25.143
то два плюс один должно быть[br]на единицу меньше, значит будет 11.

0:10:25.592,0:10:29.382
Тогда получится, что два плюс ноль,[br]то есть просто два, равно 10.

0:10:29.995,0:10:32.885
Но если два — это 10,[br]то один — это девять,

0:10:32.885,0:10:34.595
а ноль — это восемь.

0:10:35.175,0:10:37.475
И я вынужден признать,[br]что это выглядит плохо.

0:10:38.515,0:10:40.815
Мы будто сломали математику.

0:10:41.575,0:10:45.035
Но зато теперь я понимаю, почему[br]это не может быть правдой.

0:10:45.555,0:10:47.335
Просто если думать о том,

0:10:47.335,0:10:50.845
что мы находимся на числовой прямой,

0:10:51.255,0:10:54.045
и когда я стою в нуле, восемь —[br]это восемь шагов вправо,

0:10:54.045,0:10:56.485
то я никак не смогу сделать восемь шагов

0:10:56.485,0:10:58.565
и вернуться в исходную точку.

0:11:01.198,0:11:02.738
Если только...

0:11:03.188,0:11:04.418
(Смех)

0:11:04.918,0:11:07.388
что, если бы это была не числовая прямая?

0:11:08.408,0:11:10.748
Что, если бы это была числовая окружность?

0:11:11.496,0:11:14.602
Тогда я мог бы сделать восемь шагов[br]и вернуться в исходную точку.

0:11:14.602,0:11:16.042
Восемь стало бы нулём.

0:11:16.042,0:11:19.792
Вообще, все бесконечные числа[br]на реальной прямой поместились бы

0:11:19.792,0:11:22.152
в эту восьмиместную окружность.

0:11:22.972,0:11:25.332
И мы оказываемся в новом мире.

0:11:27.348,0:11:29.808
Но здесь мы просто играем, ведь так?

0:11:31.744,0:11:34.444
А ведь новую математику[br]изобретают именно так.

0:11:36.341,0:11:40.471
На самом деле математики довольно[br]давно изучают числовые окружности.

0:11:40.471,0:11:42.741
У этой науки есть даже[br]своё забавное название:

0:11:42.741,0:11:44.711
модульная арифметика.

0:11:45.151,0:11:47.341
И ею занимается не только математика,

0:11:47.341,0:11:49.491
она оказывается полезной во многих сферах,

0:11:49.491,0:11:52.381
таких как криптография и информатика.

0:11:52.381,0:11:55.011
И на самом деле не будет[br]преувеличением сказать,

0:11:55.011,0:11:58.381
что номер вашей кредитки в сети защищён,

0:11:58.381,0:12:00.231
потому что кому-то пришла мысль:

0:12:00.231,0:12:03.781
«А что, если цифры расположить[br]на числовой окружности, а не на линии?»

0:12:05.085,0:12:09.475
Так что да, мы должны учить тому,[br]что два плюс два равно четырём.

0:12:10.310,0:12:14.250
Но мы также должны говорить «да»[br]идеям и предположениям учеников

0:12:14.550,0:12:17.700
и формировать в них решительность,[br]которой мы от них так ждём.

0:12:18.240,0:12:21.330
Нужна смелость, чтобы сказать:[br]«Что, если два плюс два будет 12?»

0:12:21.330,0:12:24.020
и исследовать последствия[br]такого предположения.

0:12:25.057,0:12:27.127
Нужна смелость, чтобы сказать:

0:12:27.127,0:12:31.057
«Что, если сумма углов в треугольнике[br]не была равна 180 градусам?»

0:12:31.470,0:12:34.450
или: «Что, если бы был квадратный[br]корень из числа минус один?»

0:12:34.710,0:12:38.250
или: «Что, если существуют[br]различные размеры бесконечности?»

0:12:39.309,0:12:41.999
Ведь эта смелость и эти вопросы

0:12:42.669,0:12:46.199
приводили к некоторым величайшим[br]прорывам в истории науки.

0:12:46.999,0:12:49.779
Всё, что нужно, — это желание поиграть.

0:12:51.409,0:12:53.649
Это принцип номер пять.

0:12:55.269,0:12:58.039
Математика — это не следование правилам.

0:12:58.492,0:12:59.892
Это скорее игра,

0:13:00.332,0:13:03.112
исследование, борьба[br]и поиск ключей к разгадке.

0:13:03.112,0:13:05.068
А иногда даже разрушение стандартов.

0:13:05.638,0:13:09.188
Эйнштейн называл игру[br]наивысшей формой исследования.

0:13:09.578,0:13:14.408
И преподаватель, который позволяет[br]ученикам играть с математикой,

0:13:14.408,0:13:17.608
дарит им владение этой наукой.

0:13:18.888,0:13:20.332
Игры с математикой похожи

0:13:20.332,0:13:22.968
на бег по густому лесу в детстве.

0:13:22.968,0:13:26.838
Даже если ты стоишь на тропинке,[br]кажется, что весь лес принадлежит тебе.

0:13:27.909,0:13:30.559
Родители, если вы хотите знать,

0:13:30.559,0:13:33.519
как воспитать в детях[br]математические инстинкты,

0:13:33.519,0:13:35.429
то вот вам ответ — игра.

0:13:36.001,0:13:39.141
Суть книг — чтение,[br]суть математики — игра.

0:13:39.551,0:13:43.351
И дом, наполненный кубиками,[br]головоломками, играми и игрой —

0:13:43.841,0:13:47.161
это дом, где в ребёнке расцветает[br]математическое мышление.

0:13:48.816,0:13:54.476
Я верю, что мы в силах помочь расцвету[br]математического мышления повсюду.

0:13:55.754,0:14:00.744
Нельзя использовать математику, просто[br]создавая пассивных исполнителей правил.

0:14:01.163,0:14:04.193
Математика должна стать[br]нашим величайшим вкладом

0:14:04.193,0:14:07.593
в подготовку следующего поколения[br]к тому, чтобы встретить будущее

0:14:07.593,0:14:11.633
смело, любознательно и творчески.

0:14:12.516,0:14:15.476
И если все ученики получат возможность

0:14:15.478,0:14:19.636
почувствовать красоту и мощь[br]настоящего математического мышления,

0:14:20.856,0:14:24.876
может, не будут звучать[br]так уж странно их слова:

0:14:25.871,0:14:27.261
«Математика?

0:14:28.241,0:14:30.711
Вообще-то, математика мне нравится».

0:14:31.783,0:14:32.973
Спасибо.

0:14:32.973,0:14:35.633
(Аплодисменты)