WEBVTT

00:00:00.680 --> 00:00:04.000
Дадена е матрицата А, която
искам да преобразувам в

00:00:04.000 --> 00:00:05.450
ешелонна форма.

00:00:05.450 --> 00:00:07.160
Правили сме го много пъти.

00:00:07.160 --> 00:00:09.670
Просто извършваш различни
операции по редове.

00:00:09.670 --> 00:00:13.410
Но сега искам да ти покажа,
че тези операции по редове

00:00:13.410 --> 00:00:16.520
са еквивалентни на
линейни трансформации на

00:00:16.520 --> 00:00:19.450
вектор-стълбовете на А.

00:00:19.450 --> 00:00:21.490
Ще ти го покажа с
един пример.

00:00:21.490 --> 00:00:24.450
Ако просто искам да преобразувам 
матрицата А в ешелонна форма,

00:00:24.450 --> 00:00:26.860
първата стъпка, която 
бих искал да направя, е

00:00:26.860 --> 00:00:32.480
да нулирам тези елементи ето тук – 
ще го направя директно тук –

00:00:32.480 --> 00:00:34.890
като ще запазим 
първия елемент същия.

00:00:34.890 --> 00:00:36.830
За всички тези вектор-стълбове
ще запазим

00:00:36.830 --> 00:00:38.010
първите елементи непроменени.

00:00:38.010 --> 00:00:41.590
Ще останат 1, –1, –1.

00:00:41.590 --> 00:00:45.790
Всъщност паралелно ще конструирам 
нашата трансформация.

00:00:45.800 --> 00:00:48.340
Значи първата операция, 
която ще извърша,

00:00:48.340 --> 00:00:51.690
е еквивалентна на
линейна трансформация

00:00:51.690 --> 00:00:52.630
на вектор-стълба.

00:00:52.630 --> 00:00:55.160
Това ще бъде 
трансформация, която

00:00:55.160 --> 00:01:00.880
взима един вектор-стълб,
[а1; а2; а3].

00:01:00.880 --> 00:01:03.130
Тя взема всеки от тези
вектори и ги преобразува

00:01:03.130 --> 00:01:05.239
по линеен начин.

00:01:05.239 --> 00:01:07.330
Това са линейни
трансформации.

00:01:07.330 --> 00:01:09.470
Така че запазваме
първия елемент на

00:01:09.470 --> 00:01:11.090
вектор-стълбовете
непроменени.

00:01:11.090 --> 00:01:14.670
Това ще бъде просто а1.

00:01:14.670 --> 00:01:16.330
Тук има черта.

00:01:16.330 --> 00:01:17.250
Това ще бъде а1.

00:01:17.250 --> 00:01:19.050
А какво можем да направим,
ако искаме да преобразуваме

00:01:19.050 --> 00:01:20.780
в ешелонна форма?

00:01:20.780 --> 00:01:22.610
Ще искаме този елемент 
да стане 0.

00:01:22.610 --> 00:01:26.360
Искаме да заместим втория
ред с втория ред плюс

00:01:26.360 --> 00:01:30.500
първия ред, защото
тези елементи ще станат 0.

00:01:30.500 --> 00:01:32.140
Ще запиша това в
нашата трансформация.

00:01:32.140 --> 00:01:35.490
Ще заместя втория ред
с втория ред

00:01:35.490 --> 00:01:39.090
плюс първия ред.

00:01:39.090 --> 00:01:40.400
Ще го запиша ето тук.

00:01:40.400 --> 00:01:43.410
Минус 1 плюс 1 е 0.

00:01:43.410 --> 00:01:45.810
2 плюс –1 е 1.

00:01:45.810 --> 00:01:48.950
3 плюс –1 е 2.

00:01:48.950 --> 00:01:51.070
Искаме да получим
0 и тук.

00:01:51.070 --> 00:01:54.360
Затова ще заместя третия
ред с третия ред

00:01:54.360 --> 00:01:55.900
минус първия ред.

00:01:55.900 --> 00:02:01.660
Ще заместя третия ред
с третия ред минус първия ред.

00:02:01.690 --> 00:02:05.240
Значи 1 минус 1 е 0.

00:02:05.240 --> 00:02:08.660
1 минус –1 е 2.

00:02:08.660 --> 00:02:14.100
4 минус –1 е 5,
ето така.

00:02:14.100 --> 00:02:16.790
Това е просто една
линейна трансформация.

00:02:16.790 --> 00:02:19.390
Всяка линейна трансформация
може да се представи

00:02:19.390 --> 00:02:22.280
като произведение на
матрица с вектор.

00:02:22.280 --> 00:02:24.140
Например тази 
трансформация може

00:02:24.140 --> 00:02:26.150
да се представи по
следния начин.

00:02:26.150 --> 00:02:28.230
За да намерим матрицата
на трансформацията,

00:02:28.230 --> 00:02:32.600
ако кажем, че Т(х) е равно на...
не знам, да кажем, че

00:02:32.600 --> 00:02:36.220
това е някаква матрица S по х.

00:02:36.220 --> 00:02:37.740
Вече използвахме А
като означение на матрица,

00:02:37.740 --> 00:02:40.110
затова избирам друга буква.

00:02:40.110 --> 00:02:41.160
Как може да намерим S?

00:02:41.160 --> 00:02:43.570
Просто прилагаме 
трансформация към

00:02:43.570 --> 00:02:46.370
всички вектор-стълбове, или
стандартни базисни вектори

00:02:46.370 --> 00:02:47.240
на единичната матрица.

00:02:47.240 --> 00:02:48.460
Да го направим.

00:02:48.460 --> 00:02:50.760
Значи единичната матрица –
ще я направя много малка, ето така –

00:02:50.760 --> 00:02:55.080
единичната матрица ще
изглежда ето така:

00:02:55.080 --> 00:02:57.900
[1;0;0;0;1;0;0;0;1].

00:02:57.900 --> 00:02:59.880
Ето така изглежда 
единичната матрица.

00:02:59.880 --> 00:03:02.580
За да намерим матрицата
на трансформацията, просто прилагаме

00:03:02.580 --> 00:03:04.660
това към всеки вектор-стълб тук.

00:03:04.660 --> 00:03:06.286
Какво ще получим?

00:03:06.286 --> 00:03:09.270
Ще го направя малко
по-голямо.

00:03:09.270 --> 00:03:11.140
Прилагаме я към всеки
от тези вектор-стълбове.

00:03:11.140 --> 00:03:13.370
Но виждаме, че първият
ред винаги остава непроменен.

00:03:13.370 --> 00:03:16.250
Значи първият ред винаги
ще остане същия.

00:03:16.250 --> 00:03:18.850
Значи 1, 0, 0.

00:03:18.850 --> 00:03:21.180
На практика прилагам това
едновременно към всички

00:03:21.180 --> 00:03:24.290
тези вектор-стълбове, като
казвам, че след трансформацията

00:03:24.290 --> 00:03:27.710
на всеки от тези вектор-стълбове
първите им елементи не се променят.

00:03:27.710 --> 00:03:31.890
Вторите елементи стават
вторите елементи

00:03:31.890 --> 00:03:32.910
плюс първите елементи.

00:03:32.910 --> 00:03:35.730
Значи 0 плюс 1 е 1.

00:03:35.730 --> 00:03:38.510
1 плюс 0 е 1.

00:03:38.510 --> 00:03:41.350
0 плюс 0 е 0.

00:03:41.350 --> 00:03:45.440
После третите елементи 
заместваме с третите елементи

00:03:45.440 --> 00:03:46.690
минус първите елементи.

00:03:46.690 --> 00:03:49.660
Значи 0 минус 1 е –1.

00:03:49.660 --> 00:03:52.500
0 минус 0 е 0.

00:03:52.500 --> 00:03:54.930
1 минус 0 е 1.

00:03:54.930 --> 00:03:58.510
Сега обърни внимание, че когато приложа
тази трансформация към

00:03:58.510 --> 00:04:02.010
вектор-стълбовете на единичната
матрица, аз на практика

00:04:02.010 --> 00:04:03.760
извършвам същите
операции по редове,

00:04:03.760 --> 00:04:04.730
които извърших ето тук.

00:04:04.730 --> 00:04:07.160
Извърших съвсем същите
операции по редове

00:04:07.160 --> 00:04:08.330
с тази единична матрица.

00:04:08.330 --> 00:04:10.520
Но ние знаем, че това
всъщност е матрица

00:04:10.520 --> 00:04:13.980
на трансформацията, и че ако
умножим всеки от тези вектор-стълбове

00:04:13.980 --> 00:04:16.769
или по всеки от тези 
вектор-стълбове, ще получим

00:04:16.769 --> 00:04:18.430
тези вектор-стълбове.

00:04:18.430 --> 00:04:20.240
Така че можем да го разглеждаме 
по следния начин.

00:04:20.240 --> 00:04:22.990
Това ето тук е равно на S.

00:04:22.990 --> 00:04:25.510
Това е нашата матрица
на трансформацията.

00:04:25.510 --> 00:04:32.350
Можем да кажем, че ако
създадем една нова матрица,

00:04:32.350 --> 00:04:39.420
чиито стълбове са S по този
вектор-стълб, S по [1; –1;1],

00:04:39.420 --> 00:04:47.540
а следващият стълб ще е 
S по – искам да го направя

00:04:47.540 --> 00:04:54.670
с различен цвят – S 
по този стълб [–1; 2;1].

00:04:54.670 --> 00:05:09.180
После третият стълб ще бъде
S по третия вектор-стълб, по [–1; 3;4].

00:05:09.180 --> 00:05:11.950
Знаем, че прилагаме
тази трансформация, това е S,

00:05:11.950 --> 00:05:13.920
по всеки от тези
вектор-стълбове.

00:05:13.920 --> 00:05:17.620
Това е матричното представяне
на тази трансформация.

00:05:17.630 --> 00:05:25.070
Това ето тук 
ще се трансформира в това тук.

00:05:25.070 --> 00:05:30.580
Ще го направя ето тук долу.

00:05:30.580 --> 00:05:33.670
Искам да се вижда и ето това,
което е тук горе.

00:05:33.670 --> 00:05:35.310
Просто ще направя една стрелка.

00:05:35.310 --> 00:05:36.440
Това е може би
най-лесното нещо.

00:05:36.440 --> 00:05:41.430
Тази матрица ето тук
ще стане тази матрица тук.

00:05:41.430 --> 00:05:43.610
Друг начин, по който можем
да го запишем –

00:05:43.610 --> 00:05:44.570
това на какво е еквивалентно?

00:05:44.570 --> 00:05:45.520
На какво е еквивалентно това?

00:05:45.520 --> 00:05:47.900
Когато вземем една матрица
и я умножим по всеки

00:05:47.900 --> 00:05:50.400
вектор-стълб, когато 
трансформираме всеки

00:05:50.400 --> 00:05:53.970
вектор-стълб на тази матрица,
това по определение е

00:05:53.970 --> 00:05:55.270
произведение на 
матрица с матрица.

00:05:55.270 --> 00:05:59.440
Това е равно на нашата 
матрица S – ще използвам розово –

00:05:59.440 --> 00:06:09.030
това е равно на матрицата S
която е [1;0;0;1;1;0;–1;0;1]

00:06:09.030 --> 00:06:22.070
по матрицата 
А = [1;–1;1;–1;2;1;–1;3;4].

00:06:22.090 --> 00:06:24.300
Искам да поясня това.

00:06:24.300 --> 00:06:28.430
Това е матрицата S на
трансформацията.

00:06:28.430 --> 00:06:30.440
Това е матрицата А.

00:06:30.440 --> 00:06:37.720
След като извършим това
умножение, получаваме ето това тук.

00:06:37.720 --> 00:06:40.450
Просто ще копирам
и поставя.

00:06:40.450 --> 00:06:45.230
Едит, копи, поставям.

00:06:45.230 --> 00:06:48.210
Ще получим ето това тук.

00:06:48.210 --> 00:06:50.480
Причината да правя всичко това 
е просто да си припомним,

00:06:50.480 --> 00:06:53.710
че когато извършваме тези
операции по редове,

00:06:53.710 --> 00:06:54.600
ние просто умножаваме.

00:06:54.600 --> 00:06:57.170
Извършваме линейна
трансформация

00:06:57.170 --> 00:06:58.090
на всеки от тези стълбове.

00:06:58.090 --> 00:07:00.730
Това е напълно еквивалентно
на това просто да умножим

00:07:00.730 --> 00:07:02.790
това по някаква матрица S.

00:07:02.790 --> 00:07:04.710
В този случай си направихме 
труда да установим

00:07:04.710 --> 00:07:06.150
каква е матрицата S.

00:07:06.150 --> 00:07:08.550
Но всяка от тези операции
по редове, които извършихме,

00:07:08.550 --> 00:07:11.610
винаги може да бъде
представена като

00:07:11.610 --> 00:07:16.800
умножение с матрица.

00:07:17.060 --> 00:07:22.650
Това води до нещо
много интересно.

00:07:22.650 --> 00:07:25.700
Когато преобразуваме нещо
в ешелонна форма –

00:07:25.700 --> 00:07:26.950
ще го направя ето тук.

00:07:29.730 --> 00:07:32.180
Всъщност, първо да довършим
това, което започнахме тук.

00:07:32.180 --> 00:07:34.230
Да преобразуваме тази
матрица в ешелонна форма.

00:07:35.240 --> 00:07:40.349
Ще нарека това S1.

00:07:40.400 --> 00:07:46.050
Значи това тук е равно
на S1 по А.

00:07:46.050 --> 00:07:47.580
Вече показахме, че
това е вярно.

00:07:47.580 --> 00:07:50.040
Сега да извършим друга
трансформация.

00:07:50.040 --> 00:07:53.170
Да вземем друга съвкупност
от операции по редове, която

00:07:53.170 --> 00:07:55.000
да ни доведе до
ешелонна форма на матрицата.

00:07:55.000 --> 00:07:58.860
Да запазим средния ред същия,
0, 1, 2.

00:07:58.860 --> 00:08:02.960
Да заместим първия ред с
първия ред плюс втория ред,

00:08:02.960 --> 00:08:04.630
защото искам
това да стане 0.

00:08:04.630 --> 00:08:06.980
Значи 1 плюс 0 е 1.

00:08:06.980 --> 00:08:10.310
Ще използвам различен цвят.

00:08:10.310 --> 00:08:12.810
–1 плюс 1 е 0.

00:08:12.810 --> 00:08:15.620
–1 плюс 2 е 1.

00:08:15.620 --> 00:08:21.640
Сега искам да заместя третия ред с –
да кажем с

00:08:21.640 --> 00:08:28.210
третия ред минус
2 по първия ред.

00:08:28.210 --> 00:08:31.300
Това е 0, минус 2 по 0,
това е 0.

00:08:31.300 --> 00:08:33.820
2, минус 2 по 1, е 0.

00:08:33.820 --> 00:08:37.350
5, минус 2 по 2, е 1.

00:08:37.350 --> 00:08:40.130
5 минус 4 е 1.

00:08:40.130 --> 00:08:41.549
Почти сме готови.

00:08:41.549 --> 00:08:44.870
Трябва само да нулираме
ето това тук.

00:08:44.870 --> 00:08:47.220
Да видим можем ли да преобразуваме
тази матрица в ешелонна форма.

00:08:47.220 --> 00:08:47.900
Какво се случи?

00:08:47.900 --> 00:08:49.880
Просто извърших друга
линейна трансформаця.

00:08:49.880 --> 00:08:50.800
Всъщност ще запиша това.

00:08:50.800 --> 00:08:53.710
Да кажем, че това е
първата ни линейна трансформация,

00:08:53.710 --> 00:08:56.660
след нея извършихме друга 
линейна трансформация, Т2.

00:08:56.660 --> 00:08:59.940
Ще я запиша по различен начин,
при който имам

00:08:59.940 --> 00:09:04.100
някакъв вектор-стълб, 
х1, х2, х3.

00:09:04.100 --> 00:09:05.650
Какво направих току-що?

00:09:05.650 --> 00:09:08.390
Каква беше трансформацията,
която току-що извърших?

00:09:08.390 --> 00:09:11.530
Новият ми вектор, направих
горния ред да е равен на

00:09:11.530 --> 00:09:13.325
горния ред плюс
втория ред.

00:09:13.325 --> 00:09:15.690
Значи това е х1 + х2.

00:09:15.690 --> 00:09:17.500
Запазих втория ред същия.

00:09:17.500 --> 00:09:21.090
Третия ред заместих
с третия ред минус

00:09:21.090 --> 00:09:22.920
2 по втория ред.

00:09:22.920 --> 00:09:25.290
Това е линейната трансформация,
която приложих току-що.

00:09:25.290 --> 00:09:27.450
Можем да представим тази
линейна трансформация като –

00:09:27.450 --> 00:09:31.300
можем да кажем, че Т2,
приложена към някакъв вектор х,

00:09:31.300 --> 00:09:36.120
е равна на някакъв вектор на
трансформацията S2, по нашия вектор х.

00:09:36.900 --> 00:09:41.540
Сега можем да кажем, че това
е равно на...

00:09:42.140 --> 00:09:45.340
Понеже приложихме тази
трансформационна матрица

00:09:45.340 --> 00:09:48.590
към всеки от тези стълбове, което
е еквивалентно на това да умножим

00:09:48.590 --> 00:09:50.940
това по тази матрица
на трансформацията.

00:09:50.940 --> 00:09:53.430
Значи можем да кажем, че
това ето тук – още не сме разбрали

00:09:53.430 --> 00:09:56.270
какво е това, но мисля,
че разбираш идеята –

00:09:56.270 --> 00:09:59.200
тази матрица тук ще бъде
равна на ето това –

00:09:59.200 --> 00:10:03.310
ще е равна на S2 по това.

00:10:03.310 --> 00:10:04.670
А какво е това тук?

00:10:04.670 --> 00:10:07.805
Това е равно на S1 по А.

00:10:07.805 --> 00:10:12.510
Това е S2 по S1 по А.

00:10:12.510 --> 00:10:13.760
Добре.

00:10:14.185 --> 00:10:16.385
Значи това е просто S2 по S1 по А.

00:10:16.930 --> 00:10:20.940
Можеше да дойдем направо тук,
ако просто бяхме умножили S2 по S1.

00:10:20.940 --> 00:10:22.250
Това ще е някаква
друга матрица.

00:10:22.250 --> 00:10:26.070
Ако просто умножим това по А,
ще се озовем директно тук.

00:10:26.070 --> 00:10:26.670
Добре.

00:10:26.670 --> 00:10:30.010
Но все още не сме преобразували
тази матрица в ешелонна форма.

00:10:30.010 --> 00:10:31.220
Да се опитаме да го направим.

00:10:31.220 --> 00:10:33.125
Свършва ми мястото отдолу, затова

00:10:33.125 --> 00:10:35.270
трябва да отида отгоре.

00:10:35.270 --> 00:10:39.560
Отивам отгоре.

00:10:40.320 --> 00:10:48.790
Сега искаме да запазим
третия ред непроменен, 0, 0, 1.

00:10:48.790 --> 00:10:54.700
Ще заместя втория ред
с втория ред минус

00:10:54.700 --> 00:10:56.150
2 по третия ред.

00:10:56.150 --> 00:10:59.680
Получавам 0; 1, минус 2 по 0,

00:10:59.680 --> 00:11:02.250
и получаваме 2, минус 2 по 1.

00:11:02.250 --> 00:11:04.100
Значи това е 0.

00:11:04.100 --> 00:11:05.970
Да заместим първия ред с

00:11:05.970 --> 00:11:08.280
първия ред минус третия.

00:11:08.280 --> 00:11:10.970
Значи 1 минус 0 е 1.

00:11:10.970 --> 00:11:13.880
0 минус 0 е 0.

00:11:13.880 --> 00:11:18.280
1 минус 1 е 0,
ето така.

00:11:18.280 --> 00:11:21.470
Сега ще запиша какво
представлява трансформацията.

00:11:21.470 --> 00:11:22.686
Да я означим като Т3.

00:11:22.686 --> 00:11:24.720
Ще използвам цикламено.

00:11:24.720 --> 00:11:31.575
Т3 е трансформацията на
някакъв вектор х – ще го запиша така –

00:11:31.575 --> 00:11:34.710
на някакъв вектор [х1; х2; х3],

00:11:36.070 --> 00:11:37.260
което е равно на...

00:11:37.570 --> 00:11:38.290
Какво направихме?

00:11:38.290 --> 00:11:41.050
Заместихме първия ред
с първия ред минус третия ред,

00:11:41.050 --> 00:11:44.300
х1 минус х3.

00:11:44.300 --> 00:11:47.580
Заместихме втория ред
с втория ред минус

00:11:47.580 --> 00:11:48.970
2 по третия ред.

00:11:48.970 --> 00:11:51.870
Значи х2 минус 2 по х3.

00:11:51.870 --> 00:11:53.960
После третият ред остана
непроменен.

00:11:53.960 --> 00:11:57.510
Очевидно, това
също може да се представи.

00:11:57.510 --> 00:12:01.840
Т3(х) е равно на някаква друга 
матрица на трансформацията,

00:12:01.840 --> 00:12:04.230
S3 по х.

00:12:04.230 --> 00:12:07.040
Значи тази трансформация, когато
умножим това по всеки от тези

00:12:07.040 --> 00:12:12.090
вектор-стълбове, е еквивалентна
на умножаването на този вектор

00:12:12.090 --> 00:12:14.910
по трансформационната матрица,
която още не сме намерили.

00:12:14.910 --> 00:12:15.560
Мога да запиша това.

00:12:15.560 --> 00:12:20.430
Значи това е равно на
S3 по тази матрица ето тук,

00:12:20.430 --> 00:12:27.150
която е S2 по S1 по А.

00:12:27.150 --> 00:12:28.330
Какво имаме тук?

00:12:28.330 --> 00:12:30.000
Получихме единичната матрица.

00:12:30.000 --> 00:12:32.070
Преобразувахме я в 
ешелонна форма.

00:12:32.070 --> 00:12:33.580
Получихме единичната матрица.

00:12:33.580 --> 00:12:36.530
Вече знаем от предишните
уроци, че ако ешелонната форма

00:12:36.530 --> 00:12:38.750
на една матрица е
единичната матрица,

00:12:38.750 --> 00:12:41.830
тогава това е обратима
трансформация или

00:12:41.830 --> 00:12:44.140
обратима матрица.

00:12:44.140 --> 00:12:46.350
Защото очевидно това 
може да е трансформация

00:12:46.350 --> 00:12:47.580
на някаква друга трансформация.

00:12:47.580 --> 00:12:52.970
Да наречем тази трансформация –
не знам, използвах ли вече Т?

00:12:52.970 --> 00:12:57.420
Да я наречем просто Т нулево –
това е трансформацията, приложена

00:12:57.420 --> 00:13:00.130
към някакъв вектор х, което
може да е равно на А по х.

00:13:00.130 --> 00:13:04.390
Следователно знаем, че
тази матрица е обратима.

00:13:04.390 --> 00:13:06.170
Приведохме я в 
ешелонна форма по редове.

00:13:06.170 --> 00:13:07.850
Преобразувахме тази матрица

00:13:07.850 --> 00:13:09.560
в ешелонна форма

00:13:09.560 --> 00:13:11.130
и получихме единичната матрица.

00:13:11.130 --> 00:13:12.880
Това означава, че
тази матрица е обратима.

00:13:12.880 --> 00:13:14.990
Но се случи нещо
още по-интересно.

00:13:14.990 --> 00:13:18.130
Стигнахме дотук с 
операции по редове.

00:13:18.130 --> 00:13:21.620
Казахме, че тези операции
по редове са напълно еквивалентни

00:13:21.620 --> 00:13:26.080
на умножаването на тази матрица,

00:13:26.080 --> 00:13:29.890
умножаването на оригиналната
трансформационна матрица

00:13:29.890 --> 00:13:33.080
по серия от трансформационни матрици, 
които представят операциите по редове.

00:13:33.080 --> 00:13:37.150
И когато умножихме всичко това,
това беше равно на

00:13:37.150 --> 00:13:38.990
единичната матрица.

00:13:38.990 --> 00:13:43.930
В последното видео казахме,
че обратната матрица –

00:13:43.930 --> 00:13:48.450
ако това е То (Т нулево), то То^(–1)
може да се представи като...

00:13:48.450 --> 00:13:50.850
то също е линейна
трансформация –

00:13:50.850 --> 00:13:54.450
може да се представи като някаква
обратна матрица, която нарекохме

00:13:54.450 --> 00:13:56.070
А^(–1) по х.

00:13:56.070 --> 00:14:02.610
Видяхме, че обратната
трансформационна матрица

00:14:02.610 --> 00:14:06.580
по трансформационната матрица
е равно на единичната матрица.

00:14:06.580 --> 00:14:09.540
Видяхме това в 
предишното видео.

00:14:09.540 --> 00:14:11.060
Аз ти го доказах.

00:14:11.060 --> 00:14:12.710
Сега тук има нещо
много интересно.

00:14:12.710 --> 00:14:16.750
Имаме серия от произведения
на матрици по този вектор,

00:14:16.750 --> 00:14:20.010
по този вектор, и отново
получихме единичната матрица.

00:14:20.010 --> 00:14:23.640
Значи това ето тук, тази серия 
от произведения на матрици,

00:14:23.640 --> 00:14:29.750
трябва да е същото нещо като
нашата обратна матрица, като

00:14:29.750 --> 00:14:32.170
обратната матрица на
трансформацията.

00:14:32.170 --> 00:14:35.720
Ако искаме, можем 
да пресметнем това.

00:14:35.720 --> 00:14:38.100
Точно както направихме преди, 
всъщност намерихме S1.

00:14:38.100 --> 00:14:39.560
Направихме го тук долу.

00:14:39.560 --> 00:14:44.290
Можем да направим същото,
за да намерим S2 и S3,

00:14:44.290 --> 00:14:46.370
и после да ги умножим.

00:14:46.370 --> 00:14:50.810
Така ще конструираме А^(–1).

00:14:50.810 --> 00:14:53.240
Но можем да направим
и нещо по-интересно

00:14:53.240 --> 00:15:00.820
вместо това – ако приложим
тези същите произведения

00:15:00.820 --> 00:15:05.020
на матрици към единичната
матрица.

00:15:05.020 --> 00:15:06.370
Ние го правихме през 
цялото време тук, когато

00:15:06.370 --> 00:15:07.950
извършвахме операцията
с първия ред.

00:15:07.950 --> 00:15:10.500
Значи тук имаме матрицата А.

00:15:10.500 --> 00:15:13.120
Да кажем, че отдясно имаме
единичната матрица.

00:15:13.120 --> 00:15:15.050
Да я означим като I.
(У нас е прието единичната матрица
да се отбелязва с Е)

00:15:15.050 --> 00:15:17.930
Първата линейна трансформация,
която извършихме –

00:15:17.930 --> 00:15:20.240
видяхме това тук – това
беше еквивалентно

00:15:20.240 --> 00:15:23.910
на умножаването на S1 по А.

00:15:23.910 --> 00:15:26.330
Първата поредица от
операции по редове беше това.

00:15:26.330 --> 00:15:27.510
Това ни доведе тук.

00:15:27.510 --> 00:15:30.520
Сега, ако извършим същите
операции по редове спрямо

00:15:30.520 --> 00:15:32.630
единичната матрица, 
какво ще получим?

00:15:32.630 --> 00:15:35.050
Ще получим матрицата S1.

00:15:35.050 --> 00:15:37.580
S1 по единичната матрица
е просто S1.

00:15:37.580 --> 00:15:41.490
Всички стълбове на една матрица
по единичната по

00:15:41.490 --> 00:15:43.760
стандартните базови вектор-стълбове,
са равни просто на себе си.

00:15:43.760 --> 00:15:45.930
Така че получаваме S1.

00:15:45.930 --> 00:15:47.820
Това е S1 по I.

00:15:47.820 --> 00:15:49.290
Това е просто S1.

00:15:49.290 --> 00:15:50.090
Добре.

00:15:50.090 --> 00:15:52.310
След като извършихме
операциите на втория ред,

00:15:52.310 --> 00:15:56.320
получихме S2 по S1, по А.

00:15:56.320 --> 00:15:59.640
Ако извършим същите операции
по редове ето тук,

00:15:59.640 --> 00:16:00.820
какво ще получим?

00:16:00.820 --> 00:16:05.430
Ще получим S2 по S1,
по единичната матрица.

00:16:05.430 --> 00:16:08.300
Последната операция по редове
можем да представим като

00:16:08.300 --> 00:16:09.800
умножение по матрицата S3.

00:16:09.800 --> 00:16:12.690
Умножаваме по трансформационната
матрица S3.

00:16:12.690 --> 00:16:16.990
Ако направим това, 
получаваме S3 по S2, по S1, по А.

00:16:16.990 --> 00:16:19.550
Но ако извършим съвсем
същите операции по редове

00:16:19.550 --> 00:16:26.360
ето тук, тогава получаваме
S3 по S2, по S1, по единичната матрица.

00:16:26.360 --> 00:16:28.700
Когато направим това,
когато извършим тези операции

00:16:28.700 --> 00:16:32.690
по редове тук, това ни дава
единичната матрица.

00:16:32.690 --> 00:16:35.310
А тези какво ще дадат?

00:16:35.310 --> 00:16:37.800
Когато извършим съвсем същите
операции по редове, които

00:16:37.800 --> 00:16:40.270
извършихме спрямо А, 
получаваме единичната матрица,

00:16:40.270 --> 00:16:43.110
ако извършим същите операции 
по редове на единичната матрица,

00:16:43.110 --> 00:16:44.630
какво получаваме?

00:16:44.630 --> 00:16:46.990
Получаваме ето това тук.

00:16:46.990 --> 00:16:48.790
Всяко нещо, умножено по
единичната матрица,

00:16:48.790 --> 00:16:50.930
е равно на самото себе си.

00:16:50.930 --> 00:16:52.350
Така че какво е това тук?

00:16:52.350 --> 00:16:56.370
Това е А^(–1).

00:16:56.370 --> 00:17:00.850
Значи намерихме общ метод за 
намиране на обратната матрица

00:17:00.850 --> 00:17:02.630
на една трансформационна матрица.

00:17:02.630 --> 00:17:04.819
Сега можем – да кажем, че имаме

00:17:04.819 --> 00:17:07.160
някаква трансформационна матрица А.

00:17:07.160 --> 00:17:09.420
Мога да направя разширена
матрица, в която да сложа

00:17:09.420 --> 00:17:13.750
единичната матрица ето тук,
ето по този начин, и после

00:17:13.750 --> 00:17:16.970
извършвам операции
по редовете.

00:17:17.670 --> 00:17:20.060
Можем да ги представим
като произведения на матрици.

00:17:20.060 --> 00:17:23.069
Извършваме операциите
по редове на всички тях.

00:17:23.069 --> 00:17:25.180
Извършваме същите
операции върху А,

00:17:25.180 --> 00:17:27.119
както бихме направили
с единичната матрица.

00:17:27.119 --> 00:17:31.340
Когато преобразуваме А като
единична матрица, ние

00:17:31.340 --> 00:17:33.250
сме преобразували А в
ешелонна форма.

00:17:33.250 --> 00:17:38.950
Когато А изглежда ето така,
нашата единична матрица,

00:17:38.950 --> 00:17:42.290
и сме извършили съвсем
същите операции с нея, това

00:17:42.290 --> 00:17:46.300
ще бъде трансформирано в
обратната матрица на А.

00:17:46.300 --> 00:17:50.340
Това е много полезен инструмент
за намиране на обратни матрици.

00:17:50.340 --> 00:17:53.180
Аз обясних теоретично защо
това работи.

00:17:53.180 --> 00:17:54.740
В следващото видео
ще решим това.

00:17:54.740 --> 00:17:57.610
Може би ще го направим
за примера от началото

00:17:57.610 --> 00:17:59.740
на това видео.