1
00:00:00,680 --> 00:00:04,000
Дадена е матрицата А, която
искам да преобразувам в

2
00:00:04,000 --> 00:00:05,450
ешелонна форма.

3
00:00:05,450 --> 00:00:07,160
Правили сме го много пъти.

4
00:00:07,160 --> 00:00:09,670
Просто извършваш различни
операции по редове.

5
00:00:09,670 --> 00:00:13,410
Но сега искам да ти покажа,
че тези операции по редове

6
00:00:13,410 --> 00:00:16,520
са еквивалентни на
линейни трансформации на

7
00:00:16,520 --> 00:00:19,450
вектор-стълбовете на А.

8
00:00:19,450 --> 00:00:21,490
Ще ти го покажа с
един пример.

9
00:00:21,490 --> 00:00:24,450
Ако просто искам да преобразувам 
матрицата А в ешелонна форма,

10
00:00:24,450 --> 00:00:26,860
първата стъпка, която 
бих искал да направя, е

11
00:00:26,860 --> 00:00:32,480
да нулирам тези елементи ето тук – 
ще го направя директно тук –

12
00:00:32,480 --> 00:00:34,890
като ще запазим 
първия елемент същия.

13
00:00:34,890 --> 00:00:36,830
За всички тези вектор-стълбове
ще запазим

14
00:00:36,830 --> 00:00:38,010
първите елементи непроменени.

15
00:00:38,010 --> 00:00:41,590
Ще останат 1, –1, –1.

16
00:00:41,590 --> 00:00:45,790
Всъщност паралелно ще конструирам 
нашата трансформация.

17
00:00:45,800 --> 00:00:48,340
Значи първата операция, 
която ще извърша,

18
00:00:48,340 --> 00:00:51,690
е еквивалентна на
линейна трансформация

19
00:00:51,690 --> 00:00:52,630
на вектор-стълба.

20
00:00:52,630 --> 00:00:55,160
Това ще бъде 
трансформация, която

21
00:00:55,160 --> 00:01:00,880
взима един вектор-стълб,
[а1; а2; а3].

22
00:01:00,880 --> 00:01:03,130
Тя взема всеки от тези
вектори и ги преобразува

23
00:01:03,130 --> 00:01:05,239
по линеен начин.

24
00:01:05,239 --> 00:01:07,330
Това са линейни
трансформации.

25
00:01:07,330 --> 00:01:09,470
Така че запазваме
първия елемент на

26
00:01:09,470 --> 00:01:11,090
вектор-стълбовете
непроменени.

27
00:01:11,090 --> 00:01:14,670
Това ще бъде просто а1.

28
00:01:14,670 --> 00:01:16,330
Тук има черта.

29
00:01:16,330 --> 00:01:17,250
Това ще бъде а1.

30
00:01:17,250 --> 00:01:19,050
А какво можем да направим,
ако искаме да преобразуваме

31
00:01:19,050 --> 00:01:20,780
в ешелонна форма?

32
00:01:20,780 --> 00:01:22,610
Ще искаме този елемент 
да стане 0.

33
00:01:22,610 --> 00:01:26,360
Искаме да заместим втория
ред с втория ред плюс

34
00:01:26,360 --> 00:01:30,500
първия ред, защото
тези елементи ще станат 0.

35
00:01:30,500 --> 00:01:32,140
Ще запиша това в
нашата трансформация.

36
00:01:32,140 --> 00:01:35,490
Ще заместя втория ред
с втория ред

37
00:01:35,490 --> 00:01:39,090
плюс първия ред.

38
00:01:39,090 --> 00:01:40,400
Ще го запиша ето тук.

39
00:01:40,400 --> 00:01:43,410
Минус 1 плюс 1 е 0.

40
00:01:43,410 --> 00:01:45,810
2 плюс –1 е 1.

41
00:01:45,810 --> 00:01:48,950
3 плюс –1 е 2.

42
00:01:48,950 --> 00:01:51,070
Искаме да получим
0 и тук.

43
00:01:51,070 --> 00:01:54,360
Затова ще заместя третия
ред с третия ред

44
00:01:54,360 --> 00:01:55,900
минус първия ред.

45
00:01:55,900 --> 00:02:01,660
Ще заместя третия ред
с третия ред минус първия ред.

46
00:02:01,690 --> 00:02:05,240
Значи 1 минус 1 е 0.

47
00:02:05,240 --> 00:02:08,660
1 минус –1 е 2.

48
00:02:08,660 --> 00:02:14,100
4 минус –1 е 5,
ето така.

49
00:02:14,100 --> 00:02:16,790
Това е просто една
линейна трансформация.

50
00:02:16,790 --> 00:02:19,390
Всяка линейна трансформация
може да се представи

51
00:02:19,390 --> 00:02:22,280
като произведение на
матрица с вектор.

52
00:02:22,280 --> 00:02:24,140
Например тази 
трансформация може

53
00:02:24,140 --> 00:02:26,150
да се представи по
следния начин.

54
00:02:26,150 --> 00:02:28,230
За да намерим матрицата
на трансформацията,

55
00:02:28,230 --> 00:02:32,600
ако кажем, че Т(х) е равно на...
не знам, да кажем, че

56
00:02:32,600 --> 00:02:36,220
това е някаква матрица S по х.

57
00:02:36,220 --> 00:02:37,740
Вече използвахме А
като означение на матрица,

58
00:02:37,740 --> 00:02:40,110
затова избирам друга буква.

59
00:02:40,110 --> 00:02:41,160
Как може да намерим S?

60
00:02:41,160 --> 00:02:43,570
Просто прилагаме 
трансформация към

61
00:02:43,570 --> 00:02:46,370
всички вектор-стълбове, или
стандартни базисни вектори

62
00:02:46,370 --> 00:02:47,240
на единичната матрица.

63
00:02:47,240 --> 00:02:48,460
Да го направим.

64
00:02:48,460 --> 00:02:50,760
Значи единичната матрица –
ще я направя много малка, ето така –

65
00:02:50,760 --> 00:02:55,080
единичната матрица ще
изглежда ето така:

66
00:02:55,080 --> 00:02:57,900
[1;0;0;0;1;0;0;0;1].

67
00:02:57,900 --> 00:02:59,880
Ето така изглежда 
единичната матрица.

68
00:02:59,880 --> 00:03:02,580
За да намерим матрицата
на трансформацията, просто прилагаме

69
00:03:02,580 --> 00:03:04,660
това към всеки вектор-стълб тук.

70
00:03:04,660 --> 00:03:06,286
Какво ще получим?

71
00:03:06,286 --> 00:03:09,270
Ще го направя малко
по-голямо.

72
00:03:09,270 --> 00:03:11,140
Прилагаме я към всеки
от тези вектор-стълбове.

73
00:03:11,140 --> 00:03:13,370
Но виждаме, че първият
ред винаги остава непроменен.

74
00:03:13,370 --> 00:03:16,250
Значи първият ред винаги
ще остане същия.

75
00:03:16,250 --> 00:03:18,850
Значи 1, 0, 0.

76
00:03:18,850 --> 00:03:21,180
На практика прилагам това
едновременно към всички

77
00:03:21,180 --> 00:03:24,290
тези вектор-стълбове, като
казвам, че след трансформацията

78
00:03:24,290 --> 00:03:27,710
на всеки от тези вектор-стълбове
първите им елементи не се променят.

79
00:03:27,710 --> 00:03:31,890
Вторите елементи стават
вторите елементи

80
00:03:31,890 --> 00:03:32,910
плюс първите елементи.

81
00:03:32,910 --> 00:03:35,730
Значи 0 плюс 1 е 1.

82
00:03:35,730 --> 00:03:38,510
1 плюс 0 е 1.

83
00:03:38,510 --> 00:03:41,350
0 плюс 0 е 0.

84
00:03:41,350 --> 00:03:45,440
После третите елементи 
заместваме с третите елементи

85
00:03:45,440 --> 00:03:46,690
минус първите елементи.

86
00:03:46,690 --> 00:03:49,660
Значи 0 минус 1 е –1.

87
00:03:49,660 --> 00:03:52,500
0 минус 0 е 0.

88
00:03:52,500 --> 00:03:54,930
1 минус 0 е 1.

89
00:03:54,930 --> 00:03:58,510
Сега обърни внимание, че когато приложа
тази трансформация към

90
00:03:58,510 --> 00:04:02,010
вектор-стълбовете на единичната
матрица, аз на практика

91
00:04:02,010 --> 00:04:03,760
извършвам същите
операции по редове,

92
00:04:03,760 --> 00:04:04,730
които извърших ето тук.

93
00:04:04,730 --> 00:04:07,160
Извърших съвсем същите
операции по редове

94
00:04:07,160 --> 00:04:08,330
с тази единична матрица.

95
00:04:08,330 --> 00:04:10,520
Но ние знаем, че това
всъщност е матрица

96
00:04:10,520 --> 00:04:13,980
на трансформацията, и че ако
умножим всеки от тези вектор-стълбове

97
00:04:13,980 --> 00:04:16,769
или по всеки от тези 
вектор-стълбове, ще получим

98
00:04:16,769 --> 00:04:18,430
тези вектор-стълбове.

99
00:04:18,430 --> 00:04:20,240
Така че можем да го разглеждаме 
по следния начин.

100
00:04:20,240 --> 00:04:22,990
Това ето тук е равно на S.

101
00:04:22,990 --> 00:04:25,510
Това е нашата матрица
на трансформацията.

102
00:04:25,510 --> 00:04:32,350
Можем да кажем, че ако
създадем една нова матрица,

103
00:04:32,350 --> 00:04:39,420
чиито стълбове са S по този
вектор-стълб, S по [1; –1;1],

104
00:04:39,420 --> 00:04:47,540
а следващият стълб ще е 
S по – искам да го направя

105
00:04:47,540 --> 00:04:54,670
с различен цвят – S 
по този стълб [–1; 2;1].

106
00:04:54,670 --> 00:05:09,180
После третият стълб ще бъде
S по третия вектор-стълб, по [–1; 3;4].

107
00:05:09,180 --> 00:05:11,950
Знаем, че прилагаме
тази трансформация, това е S,

108
00:05:11,950 --> 00:05:13,920
по всеки от тези
вектор-стълбове.

109
00:05:13,920 --> 00:05:17,620
Това е матричното представяне
на тази трансформация.

110
00:05:17,630 --> 00:05:25,070
Това ето тук 
ще се трансформира в това тук.

111
00:05:25,070 --> 00:05:30,580
Ще го направя ето тук долу.

112
00:05:30,580 --> 00:05:33,670
Искам да се вижда и ето това,
което е тук горе.

113
00:05:33,670 --> 00:05:35,310
Просто ще направя една стрелка.

114
00:05:35,310 --> 00:05:36,440
Това е може би
най-лесното нещо.

115
00:05:36,440 --> 00:05:41,430
Тази матрица ето тук
ще стане тази матрица тук.

116
00:05:41,430 --> 00:05:43,610
Друг начин, по който можем
да го запишем –

117
00:05:43,610 --> 00:05:44,570
това на какво е еквивалентно?

118
00:05:44,570 --> 00:05:45,520
На какво е еквивалентно това?

119
00:05:45,520 --> 00:05:47,900
Когато вземем една матрица
и я умножим по всеки

120
00:05:47,900 --> 00:05:50,400
вектор-стълб, когато 
трансформираме всеки

121
00:05:50,400 --> 00:05:53,970
вектор-стълб на тази матрица,
това по определение е

122
00:05:53,970 --> 00:05:55,270
произведение на 
матрица с матрица.

123
00:05:55,270 --> 00:05:59,440
Това е равно на нашата 
матрица S – ще използвам розово –

124
00:05:59,440 --> 00:06:09,030
това е равно на матрицата S
която е [1;0;0;1;1;0;–1;0;1]

125
00:06:09,030 --> 00:06:22,070
по матрицата 
А = [1;–1;1;–1;2;1;–1;3;4].

126
00:06:22,090 --> 00:06:24,300
Искам да поясня това.

127
00:06:24,300 --> 00:06:28,430
Това е матрицата S на
трансформацията.

128
00:06:28,430 --> 00:06:30,440
Това е матрицата А.

129
00:06:30,440 --> 00:06:37,720
След като извършим това
умножение, получаваме ето това тук.

130
00:06:37,720 --> 00:06:40,450
Просто ще копирам
и поставя.

131
00:06:40,450 --> 00:06:45,230
Едит, копи, поставям.

132
00:06:45,230 --> 00:06:48,210
Ще получим ето това тук.

133
00:06:48,210 --> 00:06:50,480
Причината да правя всичко това 
е просто да си припомним,

134
00:06:50,480 --> 00:06:53,710
че когато извършваме тези
операции по редове,

135
00:06:53,710 --> 00:06:54,600
ние просто умножаваме.

136
00:06:54,600 --> 00:06:57,170
Извършваме линейна
трансформация

137
00:06:57,170 --> 00:06:58,090
на всеки от тези стълбове.

138
00:06:58,090 --> 00:07:00,730
Това е напълно еквивалентно
на това просто да умножим

139
00:07:00,730 --> 00:07:02,790
това по някаква матрица S.

140
00:07:02,790 --> 00:07:04,710
В този случай си направихме 
труда да установим

141
00:07:04,710 --> 00:07:06,150
каква е матрицата S.

142
00:07:06,150 --> 00:07:08,550
Но всяка от тези операции
по редове, които извършихме,

143
00:07:08,550 --> 00:07:11,610
винаги може да бъде
представена като

144
00:07:11,610 --> 00:07:16,800
умножение с матрица.

145
00:07:17,060 --> 00:07:22,650
Това води до нещо
много интересно.

146
00:07:22,650 --> 00:07:25,700
Когато преобразуваме нещо
в ешелонна форма –

147
00:07:25,700 --> 00:07:26,950
ще го направя ето тук.

148
00:07:29,730 --> 00:07:32,180
Всъщност, първо да довършим
това, което започнахме тук.

149
00:07:32,180 --> 00:07:34,230
Да преобразуваме тази
матрица в ешелонна форма.

150
00:07:35,240 --> 00:07:40,349
Ще нарека това S1.

151
00:07:40,400 --> 00:07:46,050
Значи това тук е равно
на S1 по А.

152
00:07:46,050 --> 00:07:47,580
Вече показахме, че
това е вярно.

153
00:07:47,580 --> 00:07:50,040
Сега да извършим друга
трансформация.

154
00:07:50,040 --> 00:07:53,170
Да вземем друга съвкупност
от операции по редове, която

155
00:07:53,170 --> 00:07:55,000
да ни доведе до
ешелонна форма на матрицата.

156
00:07:55,000 --> 00:07:58,860
Да запазим средния ред същия,
0, 1, 2.

157
00:07:58,860 --> 00:08:02,960
Да заместим първия ред с
първия ред плюс втория ред,

158
00:08:02,960 --> 00:08:04,630
защото искам
това да стане 0.

159
00:08:04,630 --> 00:08:06,980
Значи 1 плюс 0 е 1.

160
00:08:06,980 --> 00:08:10,310
Ще използвам различен цвят.

161
00:08:10,310 --> 00:08:12,810
–1 плюс 1 е 0.

162
00:08:12,810 --> 00:08:15,620
–1 плюс 2 е 1.

163
00:08:15,620 --> 00:08:21,640
Сега искам да заместя третия ред с –
да кажем с

164
00:08:21,640 --> 00:08:28,210
третия ред минус
2 по първия ред.

165
00:08:28,210 --> 00:08:31,300
Това е 0, минус 2 по 0,
това е 0.

166
00:08:31,300 --> 00:08:33,820
2, минус 2 по 1, е 0.

167
00:08:33,820 --> 00:08:37,350
5, минус 2 по 2, е 1.

168
00:08:37,350 --> 00:08:40,130
5 минус 4 е 1.

169
00:08:40,130 --> 00:08:41,549
Почти сме готови.

170
00:08:41,549 --> 00:08:44,870
Трябва само да нулираме
ето това тук.

171
00:08:44,870 --> 00:08:47,220
Да видим можем ли да преобразуваме
тази матрица в ешелонна форма.

172
00:08:47,220 --> 00:08:47,900
Какво се случи?

173
00:08:47,900 --> 00:08:49,880
Просто извърших друга
линейна трансформаця.

174
00:08:49,880 --> 00:08:50,800
Всъщност ще запиша това.

175
00:08:50,800 --> 00:08:53,710
Да кажем, че това е
първата ни линейна трансформация,

176
00:08:53,710 --> 00:08:56,660
след нея извършихме друга 
линейна трансформация, Т2.

177
00:08:56,660 --> 00:08:59,940
Ще я запиша по различен начин,
при който имам

178
00:08:59,940 --> 00:09:04,100
някакъв вектор-стълб, 
х1, х2, х3.

179
00:09:04,100 --> 00:09:05,650
Какво направих току-що?

180
00:09:05,650 --> 00:09:08,390
Каква беше трансформацията,
която току-що извърших?

181
00:09:08,390 --> 00:09:11,530
Новият ми вектор, направих
горния ред да е равен на

182
00:09:11,530 --> 00:09:13,325
горния ред плюс
втория ред.

183
00:09:13,325 --> 00:09:15,690
Значи това е х1 + х2.

184
00:09:15,690 --> 00:09:17,500
Запазих втория ред същия.

185
00:09:17,500 --> 00:09:21,090
Третия ред заместих
с третия ред минус

186
00:09:21,090 --> 00:09:22,920
2 по втория ред.

187
00:09:22,920 --> 00:09:25,290
Това е линейната трансформация,
която приложих току-що.

188
00:09:25,290 --> 00:09:27,450
Можем да представим тази
линейна трансформация като –

189
00:09:27,450 --> 00:09:31,300
можем да кажем, че Т2,
приложена към някакъв вектор х,

190
00:09:31,300 --> 00:09:36,120
е равна на някакъв вектор на
трансформацията S2, по нашия вектор х.

191
00:09:36,900 --> 00:09:41,540
Сега можем да кажем, че това
е равно на...

192
00:09:42,140 --> 00:09:45,340
Понеже приложихме тази
трансформационна матрица

193
00:09:45,340 --> 00:09:48,590
към всеки от тези стълбове, което
е еквивалентно на това да умножим

194
00:09:48,590 --> 00:09:50,940
това по тази матрица
на трансформацията.

195
00:09:50,940 --> 00:09:53,430
Значи можем да кажем, че
това ето тук – още не сме разбрали

196
00:09:53,430 --> 00:09:56,270
какво е това, но мисля,
че разбираш идеята –

197
00:09:56,270 --> 00:09:59,200
тази матрица тук ще бъде
равна на ето това –

198
00:09:59,200 --> 00:10:03,310
ще е равна на S2 по това.

199
00:10:03,310 --> 00:10:04,670
А какво е това тук?

200
00:10:04,670 --> 00:10:07,805
Това е равно на S1 по А.

201
00:10:07,805 --> 00:10:12,510
Това е S2 по S1 по А.

202
00:10:12,510 --> 00:10:13,760
Добре.

203
00:10:14,185 --> 00:10:16,385
Значи това е просто S2 по S1 по А.

204
00:10:16,930 --> 00:10:20,940
Можеше да дойдем направо тук,
ако просто бяхме умножили S2 по S1.

205
00:10:20,940 --> 00:10:22,250
Това ще е някаква
друга матрица.

206
00:10:22,250 --> 00:10:26,070
Ако просто умножим това по А,
ще се озовем директно тук.

207
00:10:26,070 --> 00:10:26,670
Добре.

208
00:10:26,670 --> 00:10:30,010
Но все още не сме преобразували
тази матрица в ешелонна форма.

209
00:10:30,010 --> 00:10:31,220
Да се опитаме да го направим.

210
00:10:31,220 --> 00:10:33,125
Свършва ми мястото отдолу, затова

211
00:10:33,125 --> 00:10:35,270
трябва да отида отгоре.

212
00:10:35,270 --> 00:10:39,560
Отивам отгоре.

213
00:10:40,320 --> 00:10:48,790
Сега искаме да запазим
третия ред непроменен, 0, 0, 1.

214
00:10:48,790 --> 00:10:54,700
Ще заместя втория ред
с втория ред минус

215
00:10:54,700 --> 00:10:56,150
2 по третия ред.

216
00:10:56,150 --> 00:10:59,680
Получавам 0; 1, минус 2 по 0,

217
00:10:59,680 --> 00:11:02,250
и получаваме 2, минус 2 по 1.

218
00:11:02,250 --> 00:11:04,100
Значи това е 0.

219
00:11:04,100 --> 00:11:05,970
Да заместим първия ред с

220
00:11:05,970 --> 00:11:08,280
първия ред минус третия.

221
00:11:08,280 --> 00:11:10,970
Значи 1 минус 0 е 1.

222
00:11:10,970 --> 00:11:13,880
0 минус 0 е 0.

223
00:11:13,880 --> 00:11:18,280
1 минус 1 е 0,
ето така.

224
00:11:18,280 --> 00:11:21,470
Сега ще запиша какво
представлява трансформацията.

225
00:11:21,470 --> 00:11:22,686
Да я означим като Т3.

226
00:11:22,686 --> 00:11:24,720
Ще използвам цикламено.

227
00:11:24,720 --> 00:11:31,575
Т3 е трансформацията на
някакъв вектор х – ще го запиша така –

228
00:11:31,575 --> 00:11:34,710
на някакъв вектор [х1; х2; х3],

229
00:11:36,070 --> 00:11:37,260
което е равно на...

230
00:11:37,570 --> 00:11:38,290
Какво направихме?

231
00:11:38,290 --> 00:11:41,050
Заместихме първия ред
с първия ред минус третия ред,

232
00:11:41,050 --> 00:11:44,300
х1 минус х3.

233
00:11:44,300 --> 00:11:47,580
Заместихме втория ред
с втория ред минус

234
00:11:47,580 --> 00:11:48,970
2 по третия ред.

235
00:11:48,970 --> 00:11:51,870
Значи х2 минус 2 по х3.

236
00:11:51,870 --> 00:11:53,960
После третият ред остана
непроменен.

237
00:11:53,960 --> 00:11:57,510
Очевидно, това
също може да се представи.

238
00:11:57,510 --> 00:12:01,840
Т3(х) е равно на някаква друга 
матрица на трансформацията,

239
00:12:01,840 --> 00:12:04,230
S3 по х.

240
00:12:04,230 --> 00:12:07,040
Значи тази трансформация, когато
умножим това по всеки от тези

241
00:12:07,040 --> 00:12:12,090
вектор-стълбове, е еквивалентна
на умножаването на този вектор

242
00:12:12,090 --> 00:12:14,910
по трансформационната матрица,
която още не сме намерили.

243
00:12:14,910 --> 00:12:15,560
Мога да запиша това.

244
00:12:15,560 --> 00:12:20,430
Значи това е равно на
S3 по тази матрица ето тук,

245
00:12:20,430 --> 00:12:27,150
която е S2 по S1 по А.

246
00:12:27,150 --> 00:12:28,330
Какво имаме тук?

247
00:12:28,330 --> 00:12:30,000
Получихме единичната матрица.

248
00:12:30,000 --> 00:12:32,070
Преобразувахме я в 
ешелонна форма.

249
00:12:32,070 --> 00:12:33,580
Получихме единичната матрица.

250
00:12:33,580 --> 00:12:36,530
Вече знаем от предишните
уроци, че ако ешелонната форма

251
00:12:36,530 --> 00:12:38,750
на една матрица е
единичната матрица,

252
00:12:38,750 --> 00:12:41,830
тогава това е обратима
трансформация или

253
00:12:41,830 --> 00:12:44,140
обратима матрица.

254
00:12:44,140 --> 00:12:46,350
Защото очевидно това 
може да е трансформация

255
00:12:46,350 --> 00:12:47,580
на някаква друга трансформация.

256
00:12:47,580 --> 00:12:52,970
Да наречем тази трансформация –
не знам, използвах ли вече Т?

257
00:12:52,970 --> 00:12:57,420
Да я наречем просто Т нулево –
това е трансформацията, приложена

258
00:12:57,420 --> 00:13:00,130
към някакъв вектор х, което
може да е равно на А по х.

259
00:13:00,130 --> 00:13:04,390
Следователно знаем, че
тази матрица е обратима.

260
00:13:04,390 --> 00:13:06,170
Приведохме я в 
ешелонна форма по редове.

261
00:13:06,170 --> 00:13:07,850
Преобразувахме тази матрица

262
00:13:07,850 --> 00:13:09,560
в ешелонна форма

263
00:13:09,560 --> 00:13:11,130
и получихме единичната матрица.

264
00:13:11,130 --> 00:13:12,880
Това означава, че
тази матрица е обратима.

265
00:13:12,880 --> 00:13:14,990
Но се случи нещо
още по-интересно.

266
00:13:14,990 --> 00:13:18,130
Стигнахме дотук с 
операции по редове.

267
00:13:18,130 --> 00:13:21,620
Казахме, че тези операции
по редове са напълно еквивалентни

268
00:13:21,620 --> 00:13:26,080
на умножаването на тази матрица,

269
00:13:26,080 --> 00:13:29,890
умножаването на оригиналната
трансформационна матрица

270
00:13:29,890 --> 00:13:33,080
по серия от трансформационни матрици, 
които представят операциите по редове.

271
00:13:33,080 --> 00:13:37,150
И когато умножихме всичко това,
това беше равно на

272
00:13:37,150 --> 00:13:38,990
единичната матрица.

273
00:13:38,990 --> 00:13:43,930
В последното видео казахме,
че обратната матрица –

274
00:13:43,930 --> 00:13:48,450
ако това е То (Т нулево), то То^(–1)
може да се представи като...

275
00:13:48,450 --> 00:13:50,850
то също е линейна
трансформация –

276
00:13:50,850 --> 00:13:54,450
може да се представи като някаква
обратна матрица, която нарекохме

277
00:13:54,450 --> 00:13:56,070
А^(–1) по х.

278
00:13:56,070 --> 00:14:02,610
Видяхме, че обратната
трансформационна матрица

279
00:14:02,610 --> 00:14:06,580
по трансформационната матрица
е равно на единичната матрица.

280
00:14:06,580 --> 00:14:09,540
Видяхме това в 
предишното видео.

281
00:14:09,540 --> 00:14:11,060
Аз ти го доказах.

282
00:14:11,060 --> 00:14:12,710
Сега тук има нещо
много интересно.

283
00:14:12,710 --> 00:14:16,750
Имаме серия от произведения
на матрици по този вектор,

284
00:14:16,750 --> 00:14:20,010
по този вектор, и отново
получихме единичната матрица.

285
00:14:20,010 --> 00:14:23,640
Значи това ето тук, тази серия 
от произведения на матрици,

286
00:14:23,640 --> 00:14:29,750
трябва да е същото нещо като
нашата обратна матрица, като

287
00:14:29,750 --> 00:14:32,170
обратната матрица на
трансформацията.

288
00:14:32,170 --> 00:14:35,720
Ако искаме, можем 
да пресметнем това.

289
00:14:35,720 --> 00:14:38,100
Точно както направихме преди, 
всъщност намерихме S1.

290
00:14:38,100 --> 00:14:39,560
Направихме го тук долу.

291
00:14:39,560 --> 00:14:44,290
Можем да направим същото,
за да намерим S2 и S3,

292
00:14:44,290 --> 00:14:46,370
и после да ги умножим.

293
00:14:46,370 --> 00:14:50,810
Така ще конструираме А^(–1).

294
00:14:50,810 --> 00:14:53,240
Но можем да направим
и нещо по-интересно

295
00:14:53,240 --> 00:15:00,820
вместо това – ако приложим
тези същите произведения

296
00:15:00,820 --> 00:15:05,020
на матрици към единичната
матрица.

297
00:15:05,020 --> 00:15:06,370
Ние го правихме през 
цялото време тук, когато

298
00:15:06,370 --> 00:15:07,950
извършвахме операцията
с първия ред.

299
00:15:07,950 --> 00:15:10,500
Значи тук имаме матрицата А.

300
00:15:10,500 --> 00:15:13,120
Да кажем, че отдясно имаме
единичната матрица.

301
00:15:13,120 --> 00:15:15,050
Да я означим като I.
(У нас е прието единичната матрица
да се отбелязва с Е)

302
00:15:15,050 --> 00:15:17,930
Първата линейна трансформация,
която извършихме –

303
00:15:17,930 --> 00:15:20,240
видяхме това тук – това
беше еквивалентно

304
00:15:20,240 --> 00:15:23,910
на умножаването на S1 по А.

305
00:15:23,910 --> 00:15:26,330
Първата поредица от
операции по редове беше това.

306
00:15:26,330 --> 00:15:27,510
Това ни доведе тук.

307
00:15:27,510 --> 00:15:30,520
Сега, ако извършим същите
операции по редове спрямо

308
00:15:30,520 --> 00:15:32,630
единичната матрица, 
какво ще получим?

309
00:15:32,630 --> 00:15:35,050
Ще получим матрицата S1.

310
00:15:35,050 --> 00:15:37,580
S1 по единичната матрица
е просто S1.

311
00:15:37,580 --> 00:15:41,490
Всички стълбове на една матрица
по единичната по

312
00:15:41,490 --> 00:15:43,760
стандартните базови вектор-стълбове,
са равни просто на себе си.

313
00:15:43,760 --> 00:15:45,930
Така че получаваме S1.

314
00:15:45,930 --> 00:15:47,820
Това е S1 по I.

315
00:15:47,820 --> 00:15:49,290
Това е просто S1.

316
00:15:49,290 --> 00:15:50,090
Добре.

317
00:15:50,090 --> 00:15:52,310
След като извършихме
операциите на втория ред,

318
00:15:52,310 --> 00:15:56,320
получихме S2 по S1, по А.

319
00:15:56,320 --> 00:15:59,640
Ако извършим същите операции
по редове ето тук,

320
00:15:59,640 --> 00:16:00,820
какво ще получим?

321
00:16:00,820 --> 00:16:05,430
Ще получим S2 по S1,
по единичната матрица.

322
00:16:05,430 --> 00:16:08,300
Последната операция по редове
можем да представим като

323
00:16:08,300 --> 00:16:09,800
умножение по матрицата S3.

324
00:16:09,800 --> 00:16:12,690
Умножаваме по трансформационната
матрица S3.

325
00:16:12,690 --> 00:16:16,990
Ако направим това, 
получаваме S3 по S2, по S1, по А.

326
00:16:16,990 --> 00:16:19,550
Но ако извършим съвсем
същите операции по редове

327
00:16:19,550 --> 00:16:26,360
ето тук, тогава получаваме
S3 по S2, по S1, по единичната матрица.

328
00:16:26,360 --> 00:16:28,700
Когато направим това,
когато извършим тези операции

329
00:16:28,700 --> 00:16:32,690
по редове тук, това ни дава
единичната матрица.

330
00:16:32,690 --> 00:16:35,310
А тези какво ще дадат?

331
00:16:35,310 --> 00:16:37,800
Когато извършим съвсем същите
операции по редове, които

332
00:16:37,800 --> 00:16:40,270
извършихме спрямо А, 
получаваме единичната матрица,

333
00:16:40,270 --> 00:16:43,110
ако извършим същите операции 
по редове на единичната матрица,

334
00:16:43,110 --> 00:16:44,630
какво получаваме?

335
00:16:44,630 --> 00:16:46,990
Получаваме ето това тук.

336
00:16:46,990 --> 00:16:48,790
Всяко нещо, умножено по
единичната матрица,

337
00:16:48,790 --> 00:16:50,930
е равно на самото себе си.

338
00:16:50,930 --> 00:16:52,350
Така че какво е това тук?

339
00:16:52,350 --> 00:16:56,370
Това е А^(–1).

340
00:16:56,370 --> 00:17:00,850
Значи намерихме общ метод за 
намиране на обратната матрица

341
00:17:00,850 --> 00:17:02,630
на една трансформационна матрица.

342
00:17:02,630 --> 00:17:04,819
Сега можем – да кажем, че имаме

343
00:17:04,819 --> 00:17:07,160
някаква трансформационна матрица А.

344
00:17:07,160 --> 00:17:09,420
Мога да направя разширена
матрица, в която да сложа

345
00:17:09,420 --> 00:17:13,750
единичната матрица ето тук,
ето по този начин, и после

346
00:17:13,750 --> 00:17:16,970
извършвам операции
по редовете.

347
00:17:17,670 --> 00:17:20,060
Можем да ги представим
като произведения на матрици.

348
00:17:20,060 --> 00:17:23,069
Извършваме операциите
по редове на всички тях.

349
00:17:23,069 --> 00:17:25,180
Извършваме същите
операции върху А,

350
00:17:25,180 --> 00:17:27,119
както бихме направили
с единичната матрица.

351
00:17:27,119 --> 00:17:31,340
Когато преобразуваме А като
единична матрица, ние

352
00:17:31,340 --> 00:17:33,250
сме преобразували А в
ешелонна форма.

353
00:17:33,250 --> 00:17:38,950
Когато А изглежда ето така,
нашата единична матрица,

354
00:17:38,950 --> 00:17:42,290
и сме извършили съвсем
същите операции с нея, това

355
00:17:42,290 --> 00:17:46,300
ще бъде трансформирано в
обратната матрица на А.

356
00:17:46,300 --> 00:17:50,340
Това е много полезен инструмент
за намиране на обратни матрици.

357
00:17:50,340 --> 00:17:53,180
Аз обясних теоретично защо
това работи.

358
00:17:53,180 --> 00:17:54,740
В следващото видео
ще решим това.

359
00:17:54,740 --> 00:17:57,610
Може би ще го направим
за примера от началото

360
00:17:57,610 --> 00:17:59,740
на това видео.