0:00:00.680,0:00:04.000
Дадена е матрицата А, която[br]искам да преобразувам в

0:00:04.000,0:00:05.450
ешелонна форма.

0:00:05.450,0:00:07.160
Правили сме го много пъти.

0:00:07.160,0:00:09.670
Просто извършваш различни[br]операции по редове.

0:00:09.670,0:00:13.410
Но сега искам да ти покажа,[br]че тези операции по редове

0:00:13.410,0:00:16.520
са еквивалентни на[br]линейни трансформации на

0:00:16.520,0:00:19.450
вектор-стълбовете на А.

0:00:19.450,0:00:21.490
Ще ти го покажа с[br]един пример.

0:00:21.490,0:00:24.450
Ако просто искам да преобразувам [br]матрицата А в ешелонна форма,

0:00:24.450,0:00:26.860
първата стъпка, която [br]бих искал да направя, е

0:00:26.860,0:00:32.480
да нулирам тези елементи ето тук – [br]ще го направя директно тук –

0:00:32.480,0:00:34.890
като ще запазим [br]първия елемент същия.

0:00:34.890,0:00:36.830
За всички тези вектор-стълбове[br]ще запазим

0:00:36.830,0:00:38.010
първите елементи непроменени.

0:00:38.010,0:00:41.590
Ще останат 1, –1, –1.

0:00:41.590,0:00:45.790
Всъщност паралелно ще конструирам [br]нашата трансформация.

0:00:45.800,0:00:48.340
Значи първата операция, [br]която ще извърша,

0:00:48.340,0:00:51.690
е еквивалентна на[br]линейна трансформация

0:00:51.690,0:00:52.630
на вектор-стълба.

0:00:52.630,0:00:55.160
Това ще бъде [br]трансформация, която

0:00:55.160,0:01:00.880
взима същия вектор-стълб,[br][а1; а2; а3].

0:01:00.880,0:01:03.130
Тя взема всеки от тези[br]вектори и ги преобразува

0:01:03.130,0:01:05.239
по линеен начин.

0:01:05.239,0:01:07.330
Това са линейни[br]трансформации.

0:01:07.330,0:01:09.470
Така че запазваме[br]първия елемент на

0:01:09.470,0:01:11.090
вектор-стълбовете[br]непроменени.

0:01:11.090,0:01:14.670
Това ще бъде просто а1.

0:01:14.670,0:01:16.330
Тук има черта.

0:01:16.330,0:01:17.250
Това ще бъде а1.

0:01:17.250,0:01:19.050
А какво можем да направим,[br]ако искаме да преобразуваме

0:01:19.050,0:01:20.780
в ешелонна форма?

0:01:20.780,0:01:22.610
Ще искаме този елемент [br]да стане 0.

0:01:22.610,0:01:26.360
Искаме да заместим втория[br]ред с втория ред плюс

0:01:26.360,0:01:30.500
първия ред, защото[br]тези елементи ще станат 0.

0:01:30.500,0:01:32.140
Ще запиша това в[br]нашата трансформация.

0:01:32.140,0:01:35.490
Ще заместя втория ред[br]с втория ред

0:01:35.490,0:01:39.090
плюс първия ред.

0:01:39.090,0:01:40.400
Ще го запиша ето тук.

0:01:40.400,0:01:43.410
Минус 1 плюс 1 е 0.

0:01:43.410,0:01:45.810
2 плюс –1 е 1.

0:01:45.810,0:01:48.950
3 плюс –1 е 2.

0:01:48.950,0:01:51.070
Искаме да получим[br]0 и тук.

0:01:51.070,0:01:54.360
Затова ще заместя третия[br]ред с третия ред

0:01:54.360,0:01:55.900
минус първия ред.

0:01:55.900,0:02:01.660
Ще заместя третия ред[br]с третия ред минус първия ред.

0:02:01.690,0:02:05.240
Значи 1 минус 1 е 0.

0:02:05.240,0:02:08.660
1 минус –1 е 2.

0:02:08.660,0:02:14.100
4 минус –1 е 5,[br]ето така.

0:02:14.100,0:02:16.790
Това е просто една[br]линейна трансформация.

0:02:16.790,0:02:19.390
Всяка линейна трансформация[br]може да се представи

0:02:19.390,0:02:22.280
като произведение на[br]матрица с вектор.

0:02:22.280,0:02:24.140
Например тази [br]трансформация може

0:02:24.140,0:02:26.150
да се представи по[br]следния начин.

0:02:26.150,0:02:28.230
За да намерим матрицата[br]на трансформацията,

0:02:28.230,0:02:32.600
ако кажем, че Т(х) е равно на...[br]не знам, да кажем, че

0:02:32.600,0:02:36.220
това е някаква матрица S по х.

0:02:36.220,0:02:37.740
Вече използвахме А[br]като означение на матрица,

0:02:37.740,0:02:40.110
затова избирам друга буква.

0:02:40.110,0:02:41.160
Как може да намерим S?

0:02:41.160,0:02:43.570
Просто прилагаме [br]трансформация към

0:02:43.570,0:02:46.370
всички вектор-стълбове, или[br]стандартни базисни вектори

0:02:46.370,0:02:47.240
на единичната матрица.

0:02:47.240,0:02:48.460
Да го направим.

0:02:48.460,0:02:50.760
Значи единичната матрица –[br]ще я направя много малка, ето така –

0:02:50.760,0:02:55.080
единичната матрица ще[br]изглежда ето така:

0:02:55.080,0:02:57.900
[1;0;0;0;1;0;0;0;1].

0:02:57.900,0:02:59.880
Ето така изглежда [br]единичната матрица.

0:02:59.880,0:03:02.580
За да намерим матрицата[br]на трансформацията, просто прилагаме

0:03:02.580,0:03:04.660
това към всеки вектор-стълб тук.

0:03:04.660,0:03:06.286
Какво ще получим?

0:03:06.286,0:03:09.270
Ще го направя малко[br]по-голямо.

0:03:09.270,0:03:11.140
Прилагаме я към всеки[br]от тези вектор-стълбове.

0:03:11.140,0:03:13.370
Но виждаме, че първият[br]ред винаги остава непроменен.

0:03:13.370,0:03:16.250
Значи първият ред винаги[br]ще остане същия.

0:03:16.250,0:03:18.850
Значи 1, 0, 0.

0:03:18.850,0:03:21.180
На практика прилагам това[br]едновременно към всички

0:03:21.180,0:03:24.290
тези вектор-стълбове, като[br]казвам, че след трансформацията

0:03:24.290,0:03:27.710
на всеки от тези вектор-стълбове[br]първите им елементи не се променят.

0:03:27.710,0:03:31.890
Вторите елементи стават[br]вторите елементи

0:03:31.890,0:03:32.910
плюс първите елементи.

0:03:32.910,0:03:35.730
Значи 0 плюс 1 е 1.

0:03:35.730,0:03:38.510
1 плюс 0 е 1.

0:03:38.510,0:03:41.350
0 плюс 0 е 0.

0:03:41.350,0:03:45.440
После третите елементи [br]заместваме с третите елементи

0:03:45.440,0:03:46.690
минус първите елементи.

0:03:46.690,0:03:49.660
Значи 0 минус 1 е –1.

0:03:49.660,0:03:52.500
0 минус 0 е 0.

0:03:52.500,0:03:54.930
1 минус 0 е 1.

0:03:54.930,0:03:58.510
Сега обърни внимание, че когато приложа[br]тази трансформация към

0:03:58.510,0:04:02.010
вектор-стълбовете на единичната[br]матрица, аз на практика

0:04:02.010,0:04:03.760
извършвам същите[br]операции по редове,

0:04:03.760,0:04:04.730
които извърших ето тук.

0:04:04.730,0:04:07.160
Извърших съвсем същите[br]операции по редове

0:04:07.160,0:04:08.330
с тази единична матрица.

0:04:08.330,0:04:10.520
Но ние знаем, че това[br]всъщност е матрица

0:04:10.520,0:04:13.980
на трансформацията, и че ако[br]умножим всеки от тези вектор-стълбове

0:04:13.980,0:04:16.769
или по всеки от тези [br]вектор-стълбове, ще получим

0:04:16.769,0:04:18.430
тези вектор-стълбове.

0:04:18.430,0:04:20.240
Така че можем да го разглеждаме [br]по следния начин.

0:04:20.240,0:04:22.990
Това ето тук е равно на S.

0:04:22.990,0:04:25.510
Това е нашата матрица[br]на трансформацията.

0:04:25.510,0:04:32.350
Можем да кажем, че ако[br]създадем една нова матрица,

0:04:32.350,0:04:39.420
чиито стълбове са S по този[br]вектор-стълб, S по [1; –1;1],

0:04:39.420,0:04:47.540
а следващият стълб ще е [br]S по – искам да го направя

0:04:47.540,0:04:54.670
с различен цвят – S [br]по този стълб [–1; 2;1].

0:04:54.670,0:05:09.180
После третият стълб ще бъде[br]S по третия вектор-стълб, по [–1; 3;4].

0:05:09.180,0:05:11.950
Знаем, че прилагаме[br]тази трансформация, това е S,

0:05:11.950,0:05:13.920
по всеки от тези[br]вектор-стълбове.

0:05:13.920,0:05:17.620
Това е матричното представяне[br]на тази трансформация.

0:05:17.630,0:05:25.070
Това ето тук [br]ще се трансформира в това тук.

0:05:25.070,0:05:30.580
Ще го направя ето тук долу.

0:05:30.580,0:05:33.670
Искам да се вижда и ето това,[br]което е тук горе.

0:05:33.670,0:05:35.310
Просто ще направя една стрелка.

0:05:35.310,0:05:36.440
Това е може би[br]най-лесното нещо.

0:05:36.440,0:05:41.430
Тази матрица ето тук[br]ще стане тази матрица тук.

0:05:41.430,0:05:43.610
Друг начин, по който можем[br]да го запишем –

0:05:43.610,0:05:44.570
това на какво е еквивалентно?

0:05:44.570,0:05:45.520
На какво е еквивалентно това?

0:05:45.520,0:05:47.900
Когато вземем една матрица[br]и я умножим по всеки

0:05:47.900,0:05:50.400
вектор-стълб, когато [br]трансформираме всеки

0:05:50.400,0:05:53.970
вектор-стълб на тази матрица,[br]това по определение е

0:05:53.970,0:05:55.270
произведение на [br]матрица с матрица.

0:05:55.270,0:05:59.440
Това е равно на нашата [br]матрица S – ще използвам розово –

0:05:59.440,0:06:09.030
това е равно на матрицата S[br]която е [1;0;0;1;1;0;–1;0;1]

0:06:09.030,0:06:22.070
по матрицата [br]А = [1;–1;1;–1;2;1;–1;3;4].

0:06:22.090,0:06:24.300
Искам да поясня това.

0:06:24.300,0:06:28.430
Това е матрицата S на[br]трансформацията.

0:06:28.430,0:06:30.440
Това е матрицата А.

0:06:30.440,0:06:37.720
След като извършим това[br]умножение, получаваме ето това тук.

0:06:37.720,0:06:40.450
Просто ще копирам[br]и поставя.

0:06:40.450,0:06:45.230
Едит, копи, поставям.

0:06:45.230,0:06:48.210
Ще получим ето това тук.

0:06:48.210,0:06:50.480
Причината да правя всичко това [br]е просто да си припомним,

0:06:50.480,0:06:53.710
че когато извършваме тези[br]операции по редове,

0:06:53.710,0:06:54.600
ние просто умножаваме.

0:06:54.600,0:06:57.170
Извършваме линейна[br]трансформация

0:06:57.170,0:06:58.090
на всеки от тези стълбове.

0:06:58.090,0:07:00.730
Това е напълно еквивалентно[br]на това просто да умножим

0:07:00.730,0:07:02.790
това по някаква матрица S.

0:07:02.790,0:07:04.710
В този случай си направихме [br]труда да установим

0:07:04.710,0:07:06.150
каква е матрицата S.

0:07:06.150,0:07:08.550
Но всяка от тези операции[br]по редове, които извършихме,

0:07:08.550,0:07:11.610
винаги може да бъде[br]представена като

0:07:11.610,0:07:16.800
умножение с матрица.

0:07:17.060,0:07:22.650
Това води до нещо[br]много интересно.

0:07:22.650,0:07:25.700
Когато преобразуваме нещо[br]в ешелонна форма –

0:07:25.700,0:07:26.950
ще го направя ето тук.

0:07:29.730,0:07:32.180
Всъщност, първо да довършим[br]това, което започнахме тук.

0:07:32.180,0:07:34.230
Да преобразуваме тази[br]матрица в ешелонна форма.

0:07:35.240,0:07:40.349
Ще нарека това S1.

0:07:40.400,0:07:46.050
Значи това тук е равно[br]на S1 по А.

0:07:46.050,0:07:47.580
Вече показахме, че[br]това е вярно.

0:07:47.580,0:07:50.040
Сега да извършим друга[br]трансформация.

0:07:50.040,0:07:53.170
Да вземем друга съвкупност[br]от операции по редове, която

0:07:53.170,0:07:55.000
да ни доведе до[br]ешелонна форма на матрицата.

0:07:55.000,0:07:58.860
Да запазим средния ред същия,[br]0, 1, 2.

0:07:58.860,0:08:02.960
Да заместим първия ред с[br]първия ред плюс втория ред,

0:08:02.960,0:08:04.630
защото искам[br]това да стане 0.

0:08:04.630,0:08:06.980
Значи 1 плюс 0 е 1.

0:08:06.980,0:08:10.310
Ще използвам различен цвят.

0:08:10.310,0:08:12.810
–1 плюс 1 е 0.

0:08:12.810,0:08:15.620
–1 плюс 2 е 1.

0:08:15.620,0:08:21.640
Сега искам да заместя третия ред с –[br]да кажем с

0:08:21.640,0:08:28.210
третия ред минус[br]2 по първия ред.

0:08:28.210,0:08:31.300
Това е 0, минус 2 по 0,[br]това е 0.

0:08:31.300,0:08:33.820
2, минус 2 по 1, е 0.

0:08:33.820,0:08:37.350
5, минус 2 по 2, е 1.

0:08:37.350,0:08:40.130
5 минус 4 е 1.

0:08:40.130,0:08:41.549
Почти сме готови.

0:08:41.549,0:08:44.870
Трябва само да нулираме[br]ето това тук.

0:08:44.870,0:08:47.220
Да видим можем ли да преобразуваме[br]тази матрица в ешелонна форма.

0:08:47.220,0:08:47.900
Какво се случи?

0:08:47.900,0:08:49.880
Просто извърших друга[br]линейна трансформаця.

0:08:49.880,0:08:50.800
Всъщност ще запиша това.

0:08:50.800,0:08:53.710
Да кажем, че това е[br]първата ни линейна трансформация,

0:08:53.710,0:08:56.660
след нея извършихме друга [br]линейна трансформация, Т2.

0:08:56.660,0:08:59.940
Ще я запиша по различен начин,[br]при който имам

0:08:59.940,0:09:04.100
някакъв вектор-стълб, [br]х1, х2, х3.

0:09:04.100,0:09:05.650
Какво направих току-що?

0:09:05.650,0:09:08.390
Каква беше трансформацията,[br]която току-що извърших?

0:09:08.390,0:09:11.530
Новият ми вектор, направих[br]горния ред да е равен на

0:09:11.530,0:09:13.325
горния ред плюс[br]втория ред.

0:09:13.325,0:09:15.690
Значи това е х1 + х2.

0:09:15.690,0:09:17.500
Запазих втория ред същия.

0:09:17.500,0:09:21.090
Третия ред заместих[br]с третия ред минус

0:09:21.090,0:09:22.920
2 по втория ред.

0:09:22.920,0:09:25.290
Това е линейната трансформация,[br]която приложих току-що.

0:09:25.290,0:09:27.450
Можем да представим тази[br]линейна трансформация като –

0:09:27.450,0:09:31.300
можем да кажем, че Т2,[br]приложена към някакъв вектор х,

0:09:31.300,0:09:36.120
е равна на някакъв вектор на[br]трансформацията S2, по нашия вектор х.

0:09:36.900,0:09:41.540
Сега можем да кажем, че това[br]е равно на...

0:09:42.140,0:09:45.340
Понеже приложихме тази[br]трансформационна матрица

0:09:45.340,0:09:48.590
към всеки от тези стълбове, което[br]е еквивалентно на това да умножим

0:09:48.590,0:09:50.940
това по тази матрица[br]на трансформацията.

0:09:50.940,0:09:53.430
Значи можем да кажем, че[br]това ето тук – още не сме разбрали

0:09:53.430,0:09:56.270
какво е това, но мисля,[br]че разбираш идеята –

0:09:56.270,0:09:59.200
тази матрица тук ще бъде[br]равна на ето това –

0:09:59.200,0:10:03.310
ще е равна на S2 по това.

0:10:03.310,0:10:04.670
А какво е това тук?

0:10:04.670,0:10:07.805
Това е равно на S1 по А.

0:10:07.805,0:10:12.510
Това е S2 по S1 по А.

0:10:12.510,0:10:13.760
Добре.

0:10:14.185,0:10:16.385
Значи това е просто S2 по S1 по А.

0:10:16.930,0:10:20.940
Можеше да дойдем направо тук,[br]ако просто бяхме умножили S2 по S1.

0:10:20.940,0:10:22.250
Това ще е някаква[br]друга матрица.

0:10:22.250,0:10:26.070
Ако просто умножим това по А,[br]ще се озовем директно тук.

0:10:26.070,0:10:26.670
Добре.

0:10:26.670,0:10:30.010
Но все още не сме преобразували[br]тази матрица в ешелонна форма.

0:10:30.010,0:10:31.220
Да се опитаме да го направим.

0:10:31.220,0:10:33.125
Свършва ми мястото отдолу, затова

0:10:33.125,0:10:35.270
трябва да отида отгоре.

0:10:35.270,0:10:39.560
Отивам отгоре.

0:10:40.320,0:10:48.790
Сега искаме да запазим[br]третия ред непроменен, 0, 0, 1.

0:10:48.790,0:10:54.700
Ще заместя втория ред[br]с втория ред минус

0:10:54.700,0:10:56.150
2 по третия ред.

0:10:56.150,0:10:59.680
Получавам 0; 1, минус 2 по 0,

0:10:59.680,0:11:02.250
и получаваме 2, минус 2 по 1.

0:11:02.250,0:11:04.100
Значи това е 0.

0:11:04.100,0:11:05.970
Да заместим първия ред с

0:11:05.970,0:11:08.280
първия ред минус третия.

0:11:08.280,0:11:10.970
Значи 1 минус 0 е 1.

0:11:10.970,0:11:13.880
0 минус 0 е 0.

0:11:13.880,0:11:18.280
1 минус 1 е 0,[br]ето така.

0:11:18.280,0:11:21.470
Сега ще запиша какво[br]представлява трансформацията.

0:11:21.470,0:11:22.686
Да я означим като Т3.

0:11:22.686,0:11:24.720
Ще използвам цикламено.

0:11:24.720,0:11:31.575
Т3 е трансформацията на[br]някакъв вектор х – ще го запиша така –

0:11:31.575,0:11:34.710
на някакъв вектор [х1; х2; х3],

0:11:36.070,0:11:37.260
което е равно на...

0:11:37.570,0:11:38.290
Какво направихме?

0:11:38.290,0:11:41.050
Заместихме първия ред[br]с първия ред минус третия ред,

0:11:41.050,0:11:44.300
х1 минус х3.

0:11:44.300,0:11:47.580
Заместихме втория ред[br]с втория ред минус

0:11:47.580,0:11:48.970
2 по третия ред.

0:11:48.970,0:11:51.870
Значи х2 минус 2 по х3.

0:11:51.870,0:11:53.960
После третият ред остана[br]непроменен.

0:11:53.960,0:11:57.510
Очевидно, това[br]също може да се представи.

0:11:57.510,0:12:01.840
Т3(х) е равно на някаква друга [br]матрица на трансформацията,

0:12:01.840,0:12:04.230
S3 по х.

0:12:04.230,0:12:07.040
Значи тази трансформация, когато[br]умножим това по всеки от тези

0:12:07.040,0:12:12.090
вектор-стълбове, е еквивалентна[br]на умножаването на този вектор

0:12:12.090,0:12:14.910
по трансформационната матрица,[br]която още не сме намерили.

0:12:14.910,0:12:15.560
Мога да запиша това.

0:12:15.560,0:12:20.430
Значи това е равно на[br]S3 по тази матрица ето тук,

0:12:20.430,0:12:27.150
която е S2 по S1 по А.

0:12:27.150,0:12:28.330
Какво имаме тук?

0:12:28.330,0:12:30.000
Получихме единичната матрица.

0:12:30.000,0:12:32.070
Преобразувахме я в [br]ешелонна форма.

0:12:32.070,0:12:33.580
Получихме единичната матрица.

0:12:33.580,0:12:36.530
Вече знаем от предишните[br]уроци, че ако ешелонната форма

0:12:36.530,0:12:38.750
на една матрица е[br]единичната матрица,

0:12:38.750,0:12:41.830
тогава това е обратима[br]трансформация или

0:12:41.830,0:12:44.140
обратима матрица.

0:12:44.140,0:12:46.350
Защото очевидно това [br]може да е трансформация

0:12:46.350,0:12:47.580
на някаква друга трансформация.

0:12:47.580,0:12:52.970
Да наречем тази трансформация –[br]не знам, използвах ли вече Т?

0:12:52.970,0:12:57.420
Да я наречем просто Т нулево –[br]това е трансформацията, приложена

0:12:57.420,0:13:00.130
към някакъв вектор х, което[br]може да е равно на А по х.

0:13:00.130,0:13:04.390
Следователно знаем, че[br]тази матрица е обратима.

0:13:04.390,0:13:06.170
Приведохме я в [br]ешелонна форма по редове.

0:13:06.170,0:13:07.850
Преобразувахме тази матрица

0:13:07.850,0:13:09.560
в ешелонна форма

0:13:09.560,0:13:11.130
и получихме единичната матрица.

0:13:11.130,0:13:12.880
Това означава, че[br]тази матрица е обратима.

0:13:12.880,0:13:14.990
Но се случи нещо[br]още по-интересно.

0:13:14.990,0:13:18.130
Стигнахме дотук с [br]операции по редове.

0:13:18.130,0:13:21.620
Казахме, че тези операции[br]по редове са напълно еквивалентни

0:13:21.620,0:13:26.080
на умножаването на тази матрица,

0:13:26.080,0:13:29.890
умножаването на оригиналната[br]трансформационна матрица

0:13:29.890,0:13:33.080
по серия от трансформационни матрици, [br]които представят операциите по редове.

0:13:33.080,0:13:37.150
И когато умножихме всичко това,[br]това беше равно на

0:13:37.150,0:13:38.990
единичната матрица.

0:13:38.990,0:13:43.930
В последното видео казахме,[br]че обратната матрица –

0:13:43.930,0:13:48.450
ако това е То (Т нулево), то То^(–1)[br]може да се представи като...

0:13:48.450,0:13:50.850
то също е линейна[br]трансформация –

0:13:50.850,0:13:54.450
може да се представи като някаква[br]обратна матрица, която нарекохме

0:13:54.450,0:13:56.070
А^(–1) по х.

0:13:56.070,0:14:02.610
Видяхме, че обратната[br]трансформационна матрица

0:14:02.610,0:14:06.580
по трансформационната матрица[br]е равно на единичната матрица.

0:14:06.580,0:14:09.540
Видяхме това в [br]предишното видео.

0:14:09.540,0:14:11.060
Аз ти го доказах.

0:14:11.060,0:14:12.710
Сега тук има нещо[br]много интересно.

0:14:12.710,0:14:16.750
Имаме серия от произведения[br]на матрици по този вектор,

0:14:16.750,0:14:20.010
по този вектор, и отново[br]получихме единичната матрица.

0:14:20.010,0:14:23.640
Значи това ето тук, тази серия [br]от произведения на матрици,

0:14:23.640,0:14:29.750
трябва да е същото нещо като[br]нашата обратна матрица, като

0:14:29.750,0:14:32.170
обратната матрица на[br]трансформацията.

0:14:32.170,0:14:35.720
Ако искаме, можем [br]да пресметнем това.

0:14:35.720,0:14:38.100
Точно както направихме преди, [br]всъщност намерихме S1.

0:14:38.100,0:14:39.560
Направихме го тук долу.

0:14:39.560,0:14:44.290
Можем да направим същото,[br]за да намерим S2 и S3,

0:14:44.290,0:14:46.370
и после да ги умножим.

0:14:46.370,0:14:50.810
Така ще конструираме А^(–1).

0:14:50.810,0:14:53.240
Но можем да направим[br]и нещо по-интересно

0:14:53.240,0:15:00.820
вместо това – ако приложим[br]тези същите произведения

0:15:00.820,0:15:05.020
на матрици към единичната[br]матрица.

0:15:05.020,0:15:06.370
Ние го правихме през [br]цялото време тук, когато

0:15:06.370,0:15:07.950
извършвахме операцията[br]с първия ред.

0:15:07.950,0:15:10.500
Значи тук имаме матрицата А.

0:15:10.500,0:15:13.120
Да кажем, че отдясно имаме[br]единичната матрица.

0:15:13.120,0:15:15.050
Да я означим като I.

0:15:15.050,0:15:17.930
Първата линейна трансформация,[br]която извършихме –

0:15:17.930,0:15:20.240
видяхме това тук – това[br]беше еквивалентно

0:15:20.240,0:15:23.910
на умножаването на S1 по А.

0:15:23.910,0:15:26.330
Първата поредица от[br]операции по редове беше това.

0:15:26.330,0:15:27.510
Това ни доведе тук.

0:15:27.510,0:15:30.520
Сега, ако извършим същите[br]операции по редове спрямо

0:15:30.520,0:15:32.630
единичната матрица, [br]какво ще получим?

0:15:32.630,0:15:35.050
Ще получим матрицата S1.

0:15:35.050,0:15:37.580
S1 по единичната матрица[br]е просто S1.

0:15:37.580,0:15:41.490
Всички стълбове на една матрица[br]по единичната по

0:15:41.490,0:15:43.760
стандартните базови вектор-стълбове,[br]са равни просто на себе си.

0:15:43.760,0:15:45.930
Така че получаваме S1.

0:15:45.930,0:15:47.820
Това е S1 по I.

0:15:47.820,0:15:49.290
Това е просто S1.

0:15:49.290,0:15:50.090
Добре.

0:15:50.090,0:15:52.310
След като извършихме[br]операциите на втория ред,

0:15:52.310,0:15:56.320
получихме S2 по S1, по А.

0:15:56.320,0:15:59.640
Ако извършим същите операции[br]по редове ето тук,

0:15:59.640,0:16:00.820
какво ще получим?

0:16:00.820,0:16:05.430
Ще получим S2 по S1,[br]по единичната матрица.

0:16:05.430,0:16:08.300
Последната операция по редове[br]можем да представим като

0:16:08.300,0:16:09.800
умножение по матрицата S3.

0:16:09.800,0:16:12.690
Умножаваме по трансформационната[br]матрица S3.

0:16:12.690,0:16:16.990
Ако направим това, [br]получаваме S3 по S2, по S1, по А.

0:16:16.990,0:16:19.550
Но ако извършим съвсем[br]същите операции по редове

0:16:19.550,0:16:26.360
ето тук, тогава получаваме[br]S3 по S2, по S1, по единичната матрица.

0:16:26.360,0:16:28.700
Когато направим това,[br]когато извършим тези операции

0:16:28.700,0:16:32.690
по редове тук, това ни дава[br]единичната матрица.

0:16:32.690,0:16:35.310
А тези какво ще дадат?

0:16:35.310,0:16:37.800
Когато извършим съвсем същите[br]операции по редове, които

0:16:37.800,0:16:40.270
извършихме спрямо А, [br]получаваме единичната матрица,

0:16:40.270,0:16:43.110
ако извършим същите операции [br]по редове на единичната матрица,

0:16:43.110,0:16:44.630
какво получаваме?

0:16:44.630,0:16:46.990
Получаваме ето това тук.

0:16:46.990,0:16:48.790
Всяко нещо, умножено по[br]единичната матрица,

0:16:48.790,0:16:50.930
е равно на самото себе си.

0:16:50.930,0:16:52.350
Така че какво е това тук?

0:16:52.350,0:16:56.370
Това е А^(–1).

0:16:56.370,0:17:00.850
Значи намерихме общ метод за [br]намиране на обратната матрица

0:17:00.850,0:17:02.630
на една трансформационна матрица.

0:17:02.630,0:17:04.819
Сега можем – да кажем, че имаме

0:17:04.819,0:17:07.160
някаква трансформационна матрица А.

0:17:07.160,0:17:09.420
Мога да направя разширена[br]матрица, в която да сложа

0:17:09.420,0:17:13.750
единичната матрица ето тук,[br]ето по този начин, и после

0:17:13.750,0:17:16.970
извършвам операции[br]по редовете.

0:17:17.670,0:17:20.060
Можем да ги представим[br]като произведения на матрици.

0:17:20.060,0:17:23.069
Извършваме операциите[br]по редове на всички тях.

0:17:23.069,0:17:25.180
Извършваме същите[br]операции върху А,

0:17:25.180,0:17:27.119
както бихме направили[br]с единичната матрица.

0:17:27.119,0:17:31.340
Когато преобразуваме А като[br]единична матрица, ние

0:17:31.340,0:17:33.250
сме преобразували А в[br]ешелонна форма.

0:17:33.250,0:17:38.950
Когато А изглежда ето така,[br]нашата единична матрица,

0:17:38.950,0:17:42.290
и сме извършили съвсем[br]същите операции с нея, това

0:17:42.290,0:17:46.300
ще бъде трансформирано в[br]обратната матрица на А.

0:17:46.300,0:17:50.340
Това е много полезен инструмент[br]за намиране на обратни матрици.

0:17:50.340,0:17:53.180
Аз обясних теоретично защо[br]това работи.

0:17:53.180,0:17:54.740
В следващото видео[br]ще решим това.

0:17:54.740,0:17:57.610
Може би ще го направим[br]за примера от началото

0:17:57.610,0:17:59.740
на това видео.