WEBVTT

00:00:01.170 --> 00:00:03.364
Parlons du plus grand commun diviseur.

00:00:03.364 --> 00:00:06.020
Ou plus grand facteur commun.

00:00:06.030 --> 00:00:09.548
Il faut que vous sachiez que quand on vous demande

00:00:09.548 --> 00:00:16.520
quel est le PGCD (plus grand commun diviseur) de 12 et 8,

00:00:16.530 --> 00:00:22.758
c'est comme si on vous demandait
quel est le PGFC (plus grand facteur commun) de 12 et 8.

00:00:22.758 --> 00:00:25.130
C'est un "C" pour "commun".

00:00:25.140 --> 00:00:26.590
Je ne sais pas pourquoi il est si moche.

00:00:26.600 --> 00:00:27.563
C'est donc la même question.

00:00:27.563 --> 00:00:31.014
En fait, un diviseur est un nombre par lequel on peut diviser,

00:00:31.014 --> 00:00:34.167
et un facteur...
c'est aussi un nombre par lequel on peut diviser.

00:00:34.180 --> 00:00:37.130
Donc, un diviseur et un facteur
sont sensiblement la même chose.

00:00:37.140 --> 00:00:39.769
Maintenant que ceci est réglé,

00:00:39.769 --> 00:00:41.620
quel est le PGCD,

00:00:41.620 --> 00:00:43.890
ou le PGFC, de 12 et 8 ?

00:00:43.890 --> 00:00:45.960
La méthode est assez simple :

00:00:45.970 --> 00:00:48.930
on détermine d'abord les facteurs de ces deux nombres.

00:00:48.930 --> 00:00:52.350
Quels sont les facteurs de 12 ?

00:00:52.360 --> 00:00:57.250
1 est un facteur.
2 est aussi un facteur de 12.

00:00:57.250 --> 00:00:59.090
3 est un facteur de 12.

00:00:59.100 --> 00:01:00.770
4 est un facteur de 12.

00:01:00.780 --> 00:01:03.950
5 n'est pas un facteur de 12.

00:01:03.960 --> 00:01:06.700
6 est un facteur de 12. : 12 = 2 x 6.

00:01:06.700 --> 00:01:10.220
Et, évidemment, 12 est un facteur de 12..

00:01:10.230 --> 00:01:11.070
1 x 12 = 12.

00:01:11.070 --> 00:01:12.920
Voici la liste des facteurs de 12.

00:01:12.930 --> 00:01:15.430
Quels sont les facteurs de 8 ?

00:01:15.430 --> 00:01:17.600
1 est un facteur de 8.

00:01:17.600 --> 00:01:18.940
2 est un facteur de 8.

00:01:18.950 --> 00:01:20.630
3 n'est pas un facteur de 8.

00:01:20.640 --> 00:01:22.930
4 est un facteur de 8.

00:01:22.930 --> 00:01:27.830
Et le dernier facteur, qui accompagne le 1, est le 8.

00:01:27.840 --> 00:01:31.090
Nous avons donc la liste des facteurs de 12 et de 8.

00:01:31.090 --> 00:01:34.570
Quels sont les facteurs communs à 12 et à 8 ?

00:01:34.570 --> 00:01:37.000
1 est un facteur commun.

00:01:37.010 --> 00:01:38.380
Ce qui n'est pas vraiment remarquable.

00:01:38.390 --> 00:01:40.324
Tous les nombres entiers,

00:01:40.324 --> 00:01:43.490
tous les entiers naturels ont en commun le facteur 1.

00:01:43.500 --> 00:01:47.499
Ils ont en commun le facteur 2

00:01:47.499 --> 00:01:51.070
et ils ont en commun le facteur 4.

00:01:51.070 --> 00:01:54.589
Mais nous ne voulons pas seulement
trouver un facteur commun,

00:01:54.589 --> 00:01:57.380
nous voulons trouver le plus grand facteur commun.

00:01:57.390 --> 00:02:00.200
Les facteurs communs sont 1 ; 2 et 4.

00:02:00.200 --> 00:02:01.580
Quel est le plus grand d'entre eux ?

00:02:01.590 --> 00:02:02.820
C'est assez évident :

00:02:02.820 --> 00:02:03.890
c'est 4.

00:02:03.900 --> 00:02:07.230
Le PGFC de 12 et 8 est donc 4.

00:02:07.230 --> 00:02:09.520
Je l'écris, pour bien insister :

00:02:09.530 --> 00:02:14.650
Le PGFC de 12 et 8 est 4.

00:02:14.660 --> 00:02:16.940
On peut aussi formuler ça différemment :

00:02:16.940 --> 00:02:23.500
le PGCD de 12 et 8 est 4.

00:02:23.500 --> 00:02:27.718
Ce logiciel fait des siennes.

00:02:27.718 --> 00:02:30.929
Prenons un autre exemple.

00:02:30.929 --> 00:02:41.891
Quel est le plus grand commun diviseur de 25 et 20 ?

00:02:41.900 --> 00:02:44.170
Utilisons la même méthode.

00:02:44.170 --> 00:02:47.050
Quels sont les facteurs de 25 ?

00:02:47.060 --> 00:02:48.430
Il y a le 1.

00:02:48.430 --> 00:02:49.390
2 n'est pas un facteur.

00:02:49.400 --> 00:02:50.150
3 n'est pas un facteur.

00:02:50.150 --> 00:02:51.420
4 n'est pas un facteur.

00:02:51.430 --> 00:02:52.352
5 est un facteur.

00:02:52.352 --> 00:02:54.270
25 = 5 x 5.

00:02:54.280 --> 00:02:57.130
Et 25 est un facteur.

00:02:57.130 --> 00:02:59.560
On remarque qu'il n'a que trois facteurs.

00:02:59.560 --> 00:03:02.322
Je vous laisse réfléchir au fait qu'il n'a que trois facteurs,

00:03:02.322 --> 00:03:07.958
alors que la plupart des nombres
ont un nombre pair de facteurs.

00:03:07.958 --> 00:03:12.782
Faisons maintenant la liste des facteurs de 20.

00:03:12.782 --> 00:03:21.025
Les facteurs de 20 sont 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 et 20.

00:03:21.025 --> 00:03:22.977
Et si on regarde ça de plus près,

00:03:22.977 --> 00:03:25.050
on voit que 1 est commun, ce qui est normal.

00:03:25.060 --> 00:03:28.110
Ils ont également comme facteur commun...

00:03:28.110 --> 00:03:30.550
Vous l'avez trouvé : 5.

00:03:30.560 --> 00:03:35.638
Donc, le PGCD, ou PGFC,

00:03:35.638 --> 00:03:41.030
de 25 et 20 est le 5.

00:03:41.030 --> 00:03:44.895
Prenons un autre exemple.

00:03:44.895 --> 00:03:54.687
Quel est le plus grand facteur commun de 5 et 12 ?

00:03:54.690 --> 00:03:56.420
Quels sont les facteurs de 5 ?

00:03:56.430 --> 00:03:57.330
C'est facile :

00:03:57.330 --> 00:03:59.340
1 et 5,

00:03:59.340 --> 00:04:00.283
parce que c'est un nombre premier.

00:04:00.283 --> 00:04:03.378
Il n'a que deux facteurs : 1 et lui-même.

00:04:03.393 --> 00:04:05.370
Quels sont les facteurs de 12 ?

00:04:05.370 --> 00:04:06.170
12 a beaucoup de facteurs :

00:04:06.180 --> 00:04:14.270
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12.

00:04:14.270 --> 00:04:20.520
Le seul facteur qu'ils ont en commun est donc le 1.

00:04:20.520 --> 00:04:23.360
Voilà qui est plutôt décevant...

00:04:23.370 --> 00:04:28.750
Le PGFC de 5 et 12 est 1.

00:04:28.750 --> 00:04:31.500
Je vais vous apprendre un terme technique :

00:04:31.500 --> 00:04:35.476
quand le PGFC de deux nombres est 1,

00:04:35.476 --> 00:04:37.292
ils sont premiers entre eux.

00:04:37.292 --> 00:04:39.992
Ce qui est plutôt logique,

00:04:39.992 --> 00:04:42.880
puisqu'un nombre premier n'a que 1 et lui-même
comme facteurs.

00:04:42.880 --> 00:04:45.161
Et deux nombres premiers entre eux,

00:04:45.161 --> 00:04:50.190
sont des nombres dont le PGFC est 1.

00:04:50.190 --> 00:04:51.680
J'espère que c'est clair.

00:04:51.680 --> 00:04:56.744
Prenons un autre exemple.

00:04:56.744 --> 00:05:04.567
Quel est le plus grand commun diviseur de 6 et 12 ?

00:05:04.570 --> 00:05:05.670
Je sais que j'utilise beaucoup 12,

00:05:05.680 --> 00:05:08.810
je vais essayer d'avoir plus d'imagination à l'avenir.

00:05:08.810 --> 00:05:11.040
Donc, quel est le PGCD de 6 et 12 ?

00:05:11.050 --> 00:05:12.920
Quels sont les facteurs de 6 ?

00:05:12.920 --> 00:05:17.760
1 ; 2 ; 3 et 6.

00:05:17.760 --> 00:05:22.788
Et les facteurs de 12 sont 1 ; 2 ; 3...

00:05:22.788 --> 00:05:24.384
on devrait les connaître par cœur maintenant,

00:05:24.384 --> 00:05:29.060
3 ; 4 ; 6 et 12.

00:05:29.060 --> 00:05:33.935
1 est un facteur commun aux deux nombres.

00:05:33.935 --> 00:05:36.350
2 est également un facteur commun.

00:05:36.350 --> 00:05:39.540
3 est également un facteur commun.

00:05:39.550 --> 00:05:42.100
Et 6 est également un facteur commun.

00:05:42.100 --> 00:05:43.910
Donc, quel est le PGFC ?

00:05:43.920 --> 00:05:46.048
C'est le 6.

00:05:46.048 --> 00:05:46.770
Voilà qui est intéressant.

00:05:46.770 --> 00:05:49.518
Dans cette situation, le PGCD...

00:05:49.518 --> 00:05:52.600
Je suis désolé, je passe sans cesse de PGCD à PGFC,

00:05:52.600 --> 00:05:55.175
la communauté des mathématiques
devrait en choisir un.

00:05:55.175 --> 00:06:00.210
Le PGCD de 6 et 12 est 6.

00:06:00.220 --> 00:06:01.670
C'est un des deux nombres en question.

00:06:01.680 --> 00:06:02.906
Ce qui est tout à fait logique,

00:06:02.906 --> 00:06:07.710
puisque 12 est divisible par 6.

00:06:07.720 --> 00:06:08.930
C'est tout pour aujourd'hui.

00:06:08.930 --> 00:06:11.630
J'espère que vous êtes prêts à attaquer les exercices

00:06:11.640 --> 00:06:12.810
sur le PGCD et les facteurs.

00:06:12.810 --> 00:06:14.940
Je pense que je ferai bientôt un autre module,

00:06:14.950 --> 00:06:18.155
avec davantage d'exemples.