1
00:00:01,170 --> 00:00:03,364
Parlons du plus grand commun diviseur.

2
00:00:03,364 --> 00:00:06,020
Ou plus grand facteur commun.

3
00:00:06,030 --> 00:00:09,548
Il faut que vous sachiez que quand on vous demande

4
00:00:09,548 --> 00:00:16,520
quel est le PGCD (plus grand commun diviseur) de 12 et 8,

5
00:00:16,530 --> 00:00:22,758
c'est comme si on vous demandait
quel est le PGFC (plus grand facteur commun) de 12 et 8.

6
00:00:22,758 --> 00:00:25,130
C'est un "C" pour "commun".

7
00:00:25,140 --> 00:00:26,590
Je ne sais pas pourquoi il est si moche.

8
00:00:26,600 --> 00:00:27,563
C'est donc la même question.

9
00:00:27,563 --> 00:00:31,014
En fait, un diviseur est un nombre par lequel on peut diviser,

10
00:00:31,014 --> 00:00:34,167
et un facteur...
c'est aussi un nombre par lequel on peut diviser.

11
00:00:34,180 --> 00:00:37,130
Donc, un diviseur et un facteur
sont sensiblement la même chose.

12
00:00:37,140 --> 00:00:39,769
Maintenant que ceci est réglé,

13
00:00:39,769 --> 00:00:41,620
quel est le PGCD,

14
00:00:41,620 --> 00:00:43,890
ou le PGFC, de 12 et 8 ?

15
00:00:43,890 --> 00:00:45,960
La méthode est assez simple :

16
00:00:45,970 --> 00:00:48,930
on détermine d'abord les facteurs de ces deux nombres.

17
00:00:48,930 --> 00:00:52,350
Quels sont les facteurs de 12 ?

18
00:00:52,360 --> 00:00:57,250
1 est un facteur.
2 est aussi un facteur de 12.

19
00:00:57,250 --> 00:00:59,090
3 est un facteur de 12.

20
00:00:59,100 --> 00:01:00,770
4 est un facteur de 12.

21
00:01:00,780 --> 00:01:03,950
5 n'est pas un facteur de 12.

22
00:01:03,960 --> 00:01:06,700
6 est un facteur de 12. : 12 = 2 x 6.

23
00:01:06,700 --> 00:01:10,220
Et, évidemment, 12 est un facteur de 12..

24
00:01:10,230 --> 00:01:11,070
1 x 12 = 12.

25
00:01:11,070 --> 00:01:12,920
Voici la liste des facteurs de 12.

26
00:01:12,930 --> 00:01:15,430
Quels sont les facteurs de 8 ?

27
00:01:15,430 --> 00:01:17,600
1 est un facteur de 8.

28
00:01:17,600 --> 00:01:18,940
2 est un facteur de 8.

29
00:01:18,950 --> 00:01:20,630
3 n'est pas un facteur de 8.

30
00:01:20,640 --> 00:01:22,930
4 est un facteur de 8.

31
00:01:22,930 --> 00:01:27,830
Et le dernier facteur, qui accompagne le 1, est le 8.

32
00:01:27,840 --> 00:01:31,090
Nous avons donc la liste des facteurs de 12 et de 8.

33
00:01:31,090 --> 00:01:34,570
Quels sont les facteurs communs à 12 et à 8 ?

34
00:01:34,570 --> 00:01:37,000
1 est un facteur commun.

35
00:01:37,010 --> 00:01:38,380
Ce qui n'est pas vraiment remarquable.

36
00:01:38,390 --> 00:01:40,324
Tous les nombres entiers,

37
00:01:40,324 --> 00:01:43,490
tous les entiers naturels ont en commun le facteur 1.

38
00:01:43,500 --> 00:01:47,499
Ils ont en commun le facteur 2

39
00:01:47,499 --> 00:01:51,070
et ils ont en commun le facteur 4.

40
00:01:51,070 --> 00:01:54,589
Mais nous ne voulons pas seulement
trouver un facteur commun,

41
00:01:54,589 --> 00:01:57,380
nous voulons trouver le plus grand facteur commun.

42
00:01:57,390 --> 00:02:00,200
Les facteurs communs sont 1 ; 2 et 4.

43
00:02:00,200 --> 00:02:01,580
Quel est le plus grand d'entre eux ?

44
00:02:01,590 --> 00:02:02,820
C'est assez évident :

45
00:02:02,820 --> 00:02:03,890
c'est 4.

46
00:02:03,900 --> 00:02:07,230
Le PGFC de 12 et 8 est donc 4.

47
00:02:07,230 --> 00:02:09,520
Je l'écris, pour bien insister :

48
00:02:09,530 --> 00:02:14,650
Le PGFC de 12 et 8 est 4.

49
00:02:14,660 --> 00:02:16,940
On peut aussi formuler ça différemment :

50
00:02:16,940 --> 00:02:23,500
le PGCD de 12 et 8 est 4.

51
00:02:23,500 --> 00:02:27,718
Ce logiciel fait des siennes.

52
00:02:27,718 --> 00:02:30,929
Prenons un autre exemple.

53
00:02:30,929 --> 00:02:41,891
Quel est le plus grand commun diviseur de 25 et 20 ?

54
00:02:41,900 --> 00:02:44,170
Utilisons la même méthode.

55
00:02:44,170 --> 00:02:47,050
Quels sont les facteurs de 25 ?

56
00:02:47,060 --> 00:02:48,430
Il y a le 1.

57
00:02:48,430 --> 00:02:49,390
2 n'est pas un facteur.

58
00:02:49,400 --> 00:02:50,150
3 n'est pas un facteur.

59
00:02:50,150 --> 00:02:51,420
4 n'est pas un facteur.

60
00:02:51,430 --> 00:02:52,352
5 est un facteur.

61
00:02:52,352 --> 00:02:54,270
25 = 5 x 5.

62
00:02:54,280 --> 00:02:57,130
Et 25 est un facteur.

63
00:02:57,130 --> 00:02:59,560
On remarque qu'il n'a que trois facteurs.

64
00:02:59,560 --> 00:03:02,322
Je vous laisse réfléchir au fait qu'il n'a que trois facteurs,

65
00:03:02,322 --> 00:03:07,958
alors que la plupart des nombres
ont un nombre pair de facteurs.

66
00:03:07,958 --> 00:03:12,782
Faisons maintenant la liste des facteurs de 20.

67
00:03:12,782 --> 00:03:21,025
Les facteurs de 20 sont 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 et 20.

68
00:03:21,025 --> 00:03:22,977
Et si on regarde ça de plus près,

69
00:03:22,977 --> 00:03:25,050
on voit que 1 est commun, ce qui est normal.

70
00:03:25,060 --> 00:03:28,110
Ils ont également comme facteur commun...

71
00:03:28,110 --> 00:03:30,550
Vous l'avez trouvé : 5.

72
00:03:30,560 --> 00:03:35,638
Donc, le PGCD, ou PGFC,

73
00:03:35,638 --> 00:03:41,030
de 25 et 20 est le 5.

74
00:03:41,030 --> 00:03:44,895
Prenons un autre exemple.

75
00:03:44,895 --> 00:03:54,687
Quel est le plus grand facteur commun de 5 et 12 ?

76
00:03:54,690 --> 00:03:56,420
Quels sont les facteurs de 5 ?

77
00:03:56,430 --> 00:03:57,330
C'est facile :

78
00:03:57,330 --> 00:03:59,340
1 et 5,

79
00:03:59,340 --> 00:04:00,283
parce que c'est un nombre premier.

80
00:04:00,283 --> 00:04:03,378
Il n'a que deux facteurs : 1 et lui-même.

81
00:04:03,393 --> 00:04:05,370
Quels sont les facteurs de 12 ?

82
00:04:05,370 --> 00:04:06,170
12 a beaucoup de facteurs :

83
00:04:06,180 --> 00:04:14,270
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12.

84
00:04:14,270 --> 00:04:20,520
Le seul facteur qu'ils ont en commun est donc le 1.

85
00:04:20,520 --> 00:04:23,360
Voilà qui est plutôt décevant...

86
00:04:23,370 --> 00:04:28,750
Le PGFC de 5 et 12 est 1.

87
00:04:28,750 --> 00:04:31,500
Je vais vous apprendre un terme technique :

88
00:04:31,500 --> 00:04:35,476
quand le PGFC de deux nombres est 1,

89
00:04:35,476 --> 00:04:37,292
ils sont premiers entre eux.

90
00:04:37,292 --> 00:04:39,992
Ce qui est plutôt logique,

91
00:04:39,992 --> 00:04:42,880
puisqu'un nombre premier n'a que 1 et lui-même
comme facteurs.

92
00:04:42,880 --> 00:04:45,161
Et deux nombres premiers entre eux,

93
00:04:45,161 --> 00:04:50,190
sont des nombres dont le PGFC est 1.

94
00:04:50,190 --> 00:04:51,680
J'espère que c'est clair.

95
00:04:51,680 --> 00:04:56,744
Prenons un autre exemple.

96
00:04:56,744 --> 00:05:04,567
Quel est le plus grand commun diviseur de 6 et 12 ?

97
00:05:04,570 --> 00:05:05,670
Je sais que j'utilise beaucoup 12,

98
00:05:05,680 --> 00:05:08,810
je vais essayer d'avoir plus d'imagination à l'avenir.

99
00:05:08,810 --> 00:05:11,040
Donc, quel est le PGCD de 6 et 12 ?

100
00:05:11,050 --> 00:05:12,920
Quels sont les facteurs de 6 ?

101
00:05:12,920 --> 00:05:17,760
1 ; 2 ; 3 et 6.

102
00:05:17,760 --> 00:05:22,788
Et les facteurs de 12 sont 1 ; 2 ; 3...

103
00:05:22,788 --> 00:05:24,384
on devrait les connaître par cœur maintenant,

104
00:05:24,384 --> 00:05:29,060
3 ; 4 ; 6 et 12.

105
00:05:29,060 --> 00:05:33,935
1 est un facteur commun aux deux nombres.

106
00:05:33,935 --> 00:05:36,350
2 est également un facteur commun.

107
00:05:36,350 --> 00:05:39,540
3 est également un facteur commun.

108
00:05:39,550 --> 00:05:42,100
Et 6 est également un facteur commun.

109
00:05:42,100 --> 00:05:43,910
Donc, quel est le PGFC ?

110
00:05:43,920 --> 00:05:46,048
C'est le 6.

111
00:05:46,048 --> 00:05:46,770
Voilà qui est intéressant.

112
00:05:46,770 --> 00:05:49,518
Dans cette situation, le PGCD...

113
00:05:49,518 --> 00:05:52,600
Je suis désolé, je passe sans cesse de PGCD à PGFC,

114
00:05:52,600 --> 00:05:55,175
la communauté des mathématiques
devrait en choisir un.

115
00:05:55,175 --> 00:06:00,210
Le PGCD de 6 et 12 est 6.

116
00:06:00,220 --> 00:06:01,670
C'est un des deux nombres en question.

117
00:06:01,680 --> 00:06:02,906
Ce qui est tout à fait logique,

118
00:06:02,906 --> 00:06:07,710
puisque 12 est divisible par 6.

119
00:06:07,720 --> 00:06:08,930
C'est tout pour aujourd'hui.

120
00:06:08,930 --> 00:06:11,630
J'espère que vous êtes prêts à attaquer les exercices

121
00:06:11,640 --> 00:06:12,810
sur le PGCD et les facteurs.

122
00:06:12,810 --> 00:06:14,940
Je pense que je ferai bientôt un autre module,

123
00:06:14,950 --> 00:06:18,155
avec davantage d'exemples.