0:00:01.170,0:00:03.364
Parlons du plus grand commun diviseur.

0:00:03.364,0:00:06.020
Ou plus grand facteur commun.

0:00:06.030,0:00:09.548
Il faut que vous sachiez que quand on vous demande

0:00:09.548,0:00:16.520
quel est le PGCD (plus grand commun diviseur) de 12 et 8,

0:00:16.530,0:00:22.758
c'est comme si on vous demandait[br]quel est le PGFC (plus grand facteur commun) de 12 et 8.

0:00:22.758,0:00:25.130
C'est un "C" pour "commun".

0:00:25.140,0:00:26.590
Je ne sais pas pourquoi il est si moche.

0:00:26.600,0:00:27.563
C'est donc la même question.

0:00:27.563,0:00:31.014
En fait, un diviseur est un nombre par lequel on peut diviser,

0:00:31.014,0:00:34.167
et un facteur...[br]c'est aussi un nombre par lequel on peut diviser.

0:00:34.180,0:00:37.130
Donc, un diviseur et un facteur[br]sont sensiblement la même chose.

0:00:37.140,0:00:39.769
Maintenant que ceci est réglé,

0:00:39.769,0:00:41.620
quel est le PGCD,

0:00:41.620,0:00:43.890
ou le PGFC, de 12 et 8 ?

0:00:43.890,0:00:45.960
La méthode est assez simple :

0:00:45.970,0:00:48.930
on détermine d'abord les facteurs de ces deux nombres.

0:00:48.930,0:00:52.350
Quels sont les facteurs de 12 ?

0:00:52.360,0:00:57.250
1 est un facteur.[br]2 est aussi un facteur de 12.

0:00:57.250,0:00:59.090
3 est un facteur de 12.

0:00:59.100,0:01:00.770
4 est un facteur de 12.

0:01:00.780,0:01:03.950
5 n'est pas un facteur de 12.

0:01:03.960,0:01:06.700
6 est un facteur de 12. : 12 = 2 x 6.

0:01:06.700,0:01:10.220
Et, évidemment, 12 est un facteur de 12..

0:01:10.230,0:01:11.070
1 x 12 = 12.

0:01:11.070,0:01:12.920
Voici la liste des facteurs de 12.

0:01:12.930,0:01:15.430
Quels sont les facteurs de 8 ?

0:01:15.430,0:01:17.600
1 est un facteur de 8.

0:01:17.600,0:01:18.940
2 est un facteur de 8.

0:01:18.950,0:01:20.630
3 n'est pas un facteur de 8.

0:01:20.640,0:01:22.930
4 est un facteur de 8.

0:01:22.930,0:01:27.830
Et le dernier facteur, qui accompagne le 1, est le 8.

0:01:27.840,0:01:31.090
Nous avons donc la liste des facteurs de 12 et de 8.

0:01:31.090,0:01:34.570
Quels sont les facteurs communs à 12 et à 8 ?

0:01:34.570,0:01:37.000
1 est un facteur commun.

0:01:37.010,0:01:38.380
Ce qui n'est pas vraiment remarquable.

0:01:38.390,0:01:40.324
Tous les nombres entiers,

0:01:40.324,0:01:43.490
tous les entiers naturels ont en commun le facteur 1.

0:01:43.500,0:01:47.499
Ils ont en commun le facteur 2

0:01:47.499,0:01:51.070
et ils ont en commun le facteur 4.

0:01:51.070,0:01:54.589
Mais nous ne voulons pas seulement[br]trouver un facteur commun,

0:01:54.589,0:01:57.380
nous voulons trouver le plus grand facteur commun.

0:01:57.390,0:02:00.200
Les facteurs communs sont 1 ; 2 et 4.

0:02:00.200,0:02:01.580
Quel est le plus grand d'entre eux ?

0:02:01.590,0:02:02.820
C'est assez évident :

0:02:02.820,0:02:03.890
c'est 4.

0:02:03.900,0:02:07.230
Le PGFC de 12 et 8 est donc 4.

0:02:07.230,0:02:09.520
Je l'écris, pour bien insister :

0:02:09.530,0:02:14.650
Le PGFC de 12 et 8 est 4.

0:02:14.660,0:02:16.940
On peut aussi formuler ça différemment :

0:02:16.940,0:02:23.500
le PGCD de 12 et 8 est 4.

0:02:23.500,0:02:27.718
Ce logiciel fait des siennes.

0:02:27.718,0:02:30.929
Prenons un autre exemple.

0:02:30.929,0:02:41.891
Quel est le plus grand commun diviseur de 25 et 20 ?

0:02:41.900,0:02:44.170
Utilisons la même méthode.

0:02:44.170,0:02:47.050
Quels sont les facteurs de 25 ?

0:02:47.060,0:02:48.430
Il y a le 1.

0:02:48.430,0:02:49.390
2 n'est pas un facteur.

0:02:49.400,0:02:50.150
3 n'est pas un facteur.

0:02:50.150,0:02:51.420
4 n'est pas un facteur.

0:02:51.430,0:02:52.352
5 est un facteur.

0:02:52.352,0:02:54.270
25 = 5 x 5.

0:02:54.280,0:02:57.130
Et 25 est un facteur.

0:02:57.130,0:02:59.560
On remarque qu'il n'a que trois facteurs.

0:02:59.560,0:03:02.322
Je vous laisse réfléchir au fait qu'il n'a que trois facteurs,

0:03:02.322,0:03:07.958
alors que la plupart des nombres[br]ont un nombre pair de facteurs.

0:03:07.958,0:03:12.782
Faisons maintenant la liste des facteurs de 20.

0:03:12.782,0:03:21.025
Les facteurs de 20 sont 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 et 20.

0:03:21.025,0:03:22.977
Et si on regarde ça de plus près,

0:03:22.977,0:03:25.050
on voit que 1 est commun, ce qui est normal.

0:03:25.060,0:03:28.110
Ils ont également comme facteur commun...

0:03:28.110,0:03:30.550
Vous l'avez trouvé : 5.

0:03:30.560,0:03:35.638
Donc, le PGCD, ou PGFC,

0:03:35.638,0:03:41.030
de 25 et 20 est le 5.

0:03:41.030,0:03:44.895
Prenons un autre exemple.

0:03:44.895,0:03:54.687
Quel est le plus grand facteur commun de 5 et 12 ?

0:03:54.690,0:03:56.420
Quels sont les facteurs de 5 ?

0:03:56.430,0:03:57.330
C'est facile :

0:03:57.330,0:03:59.340
1 et 5,

0:03:59.340,0:04:00.283
parce que c'est un nombre premier.

0:04:00.283,0:04:03.378
Il n'a que deux facteurs : 1 et lui-même.

0:04:03.393,0:04:05.370
Quels sont les facteurs de 12 ?

0:04:05.370,0:04:06.170
12 a beaucoup de facteurs :

0:04:06.180,0:04:14.270
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12.

0:04:14.270,0:04:20.520
Le seul facteur qu'ils ont en commun est donc le 1.

0:04:20.520,0:04:23.360
Voilà qui est plutôt décevant...

0:04:23.370,0:04:28.750
Le PGFC de 5 et 12 est 1.

0:04:28.750,0:04:31.500
Je vais vous apprendre un terme technique :

0:04:31.500,0:04:35.476
quand le PGFC de deux nombres est 1,

0:04:35.476,0:04:37.292
ils sont premiers entre eux.

0:04:37.292,0:04:39.992
Ce qui est plutôt logique,

0:04:39.992,0:04:42.880
puisqu'un nombre premier n'a que 1 et lui-même[br]comme facteurs.

0:04:42.880,0:04:45.161
Et deux nombres premiers entre eux,

0:04:45.161,0:04:50.190
sont des nombres dont le PGFC est 1.

0:04:50.190,0:04:51.680
J'espère que c'est clair.

0:04:51.680,0:04:56.744
Prenons un autre exemple.

0:04:56.744,0:05:04.567
Quel est le plus grand commun diviseur de 6 et 12 ?

0:05:04.570,0:05:05.670
Je sais que j'utilise beaucoup 12,

0:05:05.680,0:05:08.810
je vais essayer d'avoir plus d'imagination à l'avenir.

0:05:08.810,0:05:11.040
Donc, quel est le PGCD de 6 et 12 ?

0:05:11.050,0:05:12.920
Quels sont les facteurs de 6 ?

0:05:12.920,0:05:17.760
1 ; 2 ; 3 et 6.

0:05:17.760,0:05:22.788
Et les facteurs de 12 sont 1 ; 2 ; 3...

0:05:22.788,0:05:24.384
on devrait les connaître par cœur maintenant,

0:05:24.384,0:05:29.060
3 ; 4 ; 6 et 12.

0:05:29.060,0:05:33.935
1 est un facteur commun aux deux nombres.

0:05:33.935,0:05:36.350
2 est également un facteur commun.

0:05:36.350,0:05:39.540
3 est également un facteur commun.

0:05:39.550,0:05:42.100
Et 6 est également un facteur commun.

0:05:42.100,0:05:43.910
Donc, quel est le PGFC ?

0:05:43.920,0:05:46.048
C'est le 6.

0:05:46.048,0:05:46.770
Voilà qui est intéressant.

0:05:46.770,0:05:49.518
Dans cette situation, le PGCD...

0:05:49.518,0:05:52.600
Je suis désolé, je passe sans cesse de PGCD à PGFC,

0:05:52.600,0:05:55.175
la communauté des mathématiques[br]devrait en choisir un.

0:05:55.175,0:06:00.210
Le PGCD de 6 et 12 est 6.

0:06:00.220,0:06:01.670
C'est un des deux nombres en question.

0:06:01.680,0:06:02.906
Ce qui est tout à fait logique,

0:06:02.906,0:06:07.710
puisque 12 est divisible par 6.

0:06:07.720,0:06:08.930
C'est tout pour aujourd'hui.

0:06:08.930,0:06:11.630
J'espère que vous êtes prêts à attaquer les exercices

0:06:11.640,0:06:12.810
sur le PGCD et les facteurs.

0:06:12.810,0:06:14.940
Je pense que je ferai bientôt un autre module,

0:06:14.950,0:06:18.155
avec davantage d'exemples.