1 00:00:01,170 --> 00:00:03,364 Καλώς ήρθατε στο βίντεο για τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη (ΜΚΔ) 2 00:00:03,364 --> 00:00:06,020 ή τον μέγιστο κοινό παράγοντα. 3 00:00:06,030 --> 00:00:09,548 Για να το ξεκαθαρίσουμε από την αρχή, όταν κάποιος σας ζητήσει... 4 00:00:09,548 --> 00:00:16,520 ποιος είναι ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης του 12 και του 8... 5 00:00:16,530 --> 00:00:22,758 ή αν σας ρωτήσουν ποιος είναι ο μέγιστος κοινός παράγοντας του 12 και του 8... 6 00:00:22,758 --> 00:00:25,130 Αυτό είναι ένα C που γράφω εδώ για τη λέξη Common (που σημαίνει "κοινός" στα αγγλικά)... 7 00:00:25,140 --> 00:00:26,590 δεν ξέρω γιατί βγήκε έτσι... 8 00:00:26,600 --> 00:00:27,563 Όπως και να σας το πούνε λοιπόν, σας ζητάνε το ίδιο πράγμα. 9 00:00:27,563 --> 00:00:31,014 Ένας διαιρέτης είναι απλώς ένας αριθμός που μπορεί να διαιρέσει κάποιον άλλον, 10 00:00:31,014 --> 00:00:34,167 και ένας παράγοντας... κι αυτός είναι ένας αριθμός που μπορεί να διαιρέσει κάποιον άλλον. 11 00:00:34,180 --> 00:00:37,130 Άρα ο διαιρέτης και ο παράγοντας είναι ουσιαστικά το ίδιο πράγμα. 12 00:00:37,140 --> 00:00:39,769 Αφού το ξεκαθαρίσαμε αυτό λοιπόν... 13 00:00:39,769 --> 00:00:41,620 ας βρούμε ποιος είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης... 14 00:00:41,620 --> 00:00:43,890 ή ο μέγιστος κοινός παράγοντας των αριθμών 12 και 8. 15 00:00:43,890 --> 00:00:45,960 Αυτό που κάνουμε είναι σχετικά απλό. 16 00:00:45,970 --> 00:00:48,930 Πρώτα βρίσκουμε τους παράγοντες κάθε αριθμού. 17 00:00:48,930 --> 00:00:52,350 Άρα πρώτα γράφουμε όλους τους παράγοντες του αριθμού 12. 18 00:00:52,360 --> 00:00:57,250 Το 1 είναι ένας παράγοντας. Το 2 χωρά στο 12 ακριβώς. 19 00:00:57,250 --> 00:00:59,090 Το 3 χωρά στο 12 ακριβώς. 20 00:00:59,100 --> 00:01:00,770 Το 4 χωρά στο 12 ακριβώς. 21 00:01:00,780 --> 00:01:03,950 Το 5 δεν χωρά ακριβώς στο 12. 22 00:01:03,960 --> 00:01:06,700 Το έξι χωρά ακριβώς στο 12 γιατί 2 x 6 = 12. 23 00:01:06,700 --> 00:01:10,220 Και μετά, το 12 χωρά φυσικά ακριβώς στο 12... 24 00:01:10,230 --> 00:01:11,070 1 x 12. 25 00:01:11,070 --> 00:01:12,920 Αυτοί είναι λοιπόν οι παράγοντες του 12. 26 00:01:12,930 --> 00:01:15,430 Ας γράψουμε τώρα τους παράγοντες του 8. 27 00:01:15,430 --> 00:01:17,600 Το 1 χωρά ακριβώς στο 8. 28 00:01:17,600 --> 00:01:18,940 Το 2 χωρά ακριβώς στο 8. 29 00:01:18,950 --> 00:01:20,630 Το 3 δεν χωρά ακριβώς στο 8. 30 00:01:20,640 --> 00:01:22,930 Το 4 χωρά ακριβώς στο 8. 31 00:01:22,930 --> 00:01:27,830 Και τέλος, ο μεγαλύτερος παράγοντας, που πολλαπλασιάζεται με το 1 για να μας δώσει τον αριθμό μας, είναι το 8. 32 00:01:27,840 --> 00:01:31,090 Τώρα λοιπόν έχουμε γράψει όλους τους παράγοντες του 12 και του 8. 33 00:01:31,090 --> 00:01:34,570 Ας βρούμε λοιπόν ποιοι είναι οι κοινοί παράγοντες του 12 και του 8. 34 00:01:34,570 --> 00:01:37,000 Έχουν και οι δύο κοινό παράγοντα το 1. 35 00:01:37,010 --> 00:01:38,380 Αλλά αυτό δεν είναι και τόσο ιδιαίτερο. 36 00:01:38,390 --> 00:01:40,324 Κάθε ακέραιος αριθμός... 37 00:01:40,324 --> 00:01:43,490 έχει παράγοντα το 1. 38 00:01:43,500 --> 00:01:47,499 Και οι δύο έχουν ως κοινό παράγοντα το 2, 39 00:01:47,499 --> 00:01:51,070 και μετά και οι δύο έχουν ως κοινό παράγοντα το 4. 40 00:01:51,070 --> 00:01:54,589 Όμως δεν θέλουμε να βρούμε απλώς έναν κοινό παράγοντα... 41 00:01:54,589 --> 00:01:57,380 θέλουμε να βρούμε τον μεγαλύτερο, τον μέγιστο κοινό παράγοντα. 42 00:01:57,390 --> 00:02:00,200 Έτσι εδώ οι κοινοί παράγοντες είναι το 1, το 2 και το 4. 43 00:02:00,200 --> 00:02:01,580 Ποιος είναι ο μεγαλύτερος απ' αυτούς; 44 00:02:01,590 --> 00:02:02,820 Είναι εύκολο. 45 00:02:02,820 --> 00:02:03,890 Είναι το 4. 46 00:02:03,900 --> 00:02:07,230 Άρα, ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας του 12 και του 8 είναι το 4. 47 00:02:07,230 --> 00:02:09,520 Ας το γράψω για μεγαλύτερη έμφαση. 48 00:02:09,530 --> 00:02:14,650 Ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας του 12 και του 8 είναι το 4. 49 00:02:14,660 --> 00:02:16,940 Και βεβαίως, θα μπορούσαμε το ίδιο εύκολα να πούμε... 50 00:02:16,940 --> 00:02:23,500 ότι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης του 12 και του 8 είναι το 4. 51 00:02:23,500 --> 00:02:27,718 Μερικές φορές είναι λίγο αστείο. 52 00:02:27,718 --> 00:02:30,929 Ας δούμε ένα άλλο πρόβλημα. 53 00:02:30,929 --> 00:02:41,891 Ποιος είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του 25 και του 20; 54 00:02:41,900 --> 00:02:44,170 Ας το κάνουμε με τον ίδιο τρόπο. 55 00:02:44,170 --> 00:02:47,050 Ποιοι είναι οι παράγοντες του 25; 56 00:02:47,060 --> 00:02:48,430 Είναι το 1. 57 00:02:48,430 --> 00:02:49,390 Το 2 δεν χωρά ακριβώς. 58 00:02:49,400 --> 00:02:50,150 Το 3 δεν χωρά ακριβώς. 59 00:02:50,150 --> 00:02:51,420 Το 4 δεν χωρά ακριβώς. 60 00:02:51,430 --> 00:02:52,352 Το 5 χωρά ακριβώς. 61 00:02:52,352 --> 00:02:54,270 Ουσιαστικά είναι 5 x 5. 62 00:02:54,280 --> 00:02:57,130 Και μετά το 25. 63 00:02:57,130 --> 00:02:59,560 Είναι ενδιαφέρον ότι αυτός ο αριθμός έχει μόνο 3 παράγοντες. 64 00:02:59,560 --> 00:03:02,322 Θα σας αφήσω να σκεφτείτε το γιατί αυτός ο αριθμός έχει μόνο 3 παράγοντες... 65 00:03:02,322 --> 00:03:07,958 και άλλοι αριθμοί τείνουν να έχουν ζυγό αριθμό παραγόντων. 66 00:03:07,958 --> 00:03:12,782 Και τώρα, να δούμε τους παράγοντες του 20. 67 00:03:12,782 --> 00:03:21,025 Οι παράγοντες του 20 είναι οι 1, 2, 4, 5, 10 και 20. 68 00:03:21,025 --> 00:03:22,977 Και αν τους δούμε, θα παρατηρήσουμε... 69 00:03:22,977 --> 00:03:25,050 ότι και οι δύο έχουν κοινό παράγοντα το 1, αλλά αυτό δεν είναι τίποτα σπουδαίο. 70 00:03:25,060 --> 00:03:28,110 Αλλά έχουν και έναν άλλο κοινό παράγοντα! 71 00:03:28,110 --> 00:03:30,550 Το βρήκατε - το 5! 72 00:03:30,560 --> 00:03:35,638 Άρα ο μέγιστος κοινός διαιρέτης ή ο μέγιστος κοινός παράγοντας ... 73 00:03:35,638 --> 00:03:41,030 του 25 και του 20 είναι το 5. 74 00:03:41,030 --> 00:03:44,895 Ας κάνουμε ακόμα ένα πρόβλημα. 75 00:03:44,895 --> 00:03:54,687 Ποιος είναι ο μέγιστος κοινός παράγοντας του 5 και του 20; 76 00:03:54,690 --> 00:03:56,420 Ποιοι είναι λοιπόν οι παράγοντες του 5; 77 00:03:56,430 --> 00:03:57,330 Είναι εύκολο. 78 00:03:57,330 --> 00:03:59,340 Το 1 και το 5. 79 00:03:59,340 --> 00:04:00,283 Κι αυτό γιατί το 5 είναι πρώτος αριθμός. 80 00:04:00,283 --> 00:04:03,378 Δεν έχει άλλους παράγοντες από το 1 και τον εαυτό του. 81 00:04:03,393 --> 00:04:05,370 Ποιο είναι λοιπόν οι παράγοντες του 12; 82 00:04:05,370 --> 00:04:06,170 Το 12 έχει πολλούς παράγοντες. 83 00:04:06,180 --> 00:04:14,270 Έχει τους 1, 3, 4, 6 και 12. 84 00:04:14,270 --> 00:04:20,520 Άρα φαίνεται ότι ο μόνος κοινός παράγοντας που έχουν είναι το 1. 85 00:04:20,520 --> 00:04:23,360 Αυτό μας απογοητεύει κάπως... 86 00:04:23,370 --> 00:04:28,750 Πάντως, ο μέγιστος κοινός παράγοντας του 5 και του 12 είναι το 1. 87 00:04:28,750 --> 00:04:31,500 Και θα σας πω και λίγη ορολογία εδώ. 88 00:04:31,500 --> 00:04:35,476 Όταν δύο αριθμοί έχουν μέγιστο κοινό παράγοντα το 1... 89 00:04:35,476 --> 00:04:37,292 τότε λέγονται "σχετικοί πρώτοι". 90 00:04:37,292 --> 00:04:39,992 Και αυτό βγάζει νόημα, γιατί ο πρώτος αριθμός... 91 00:04:39,992 --> 00:04:42,880 είναι ένας αριθμός που έχει ως παράγοντες μόνο το 1 και τον εαυτό του. 92 00:04:42,880 --> 00:04:45,161 Και 2 σχετικά πρώτοι αριθμοί... 93 00:04:45,161 --> 00:04:50,190 είναι αριθμοί που έχουν το 1 ως τον μέγιστο κοινό τους παράγοντα. 94 00:04:50,190 --> 00:04:51,680 Ελπίζω να μην σας μπέρδεψα. 95 00:04:51,680 --> 00:04:56,744 Ας κάνουμε ένα άλλο πρόβλημα. 96 00:04:56,744 --> 00:05:04,567 Ας βρούμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη του 6 και του 12. 97 00:05:04,570 --> 00:05:05,670 Ξέρω ότι βάζω συχνά το 12. 98 00:05:05,680 --> 00:05:08,810 Θα προσπαθήσω να είμαι πιο δημιουργικός όταν σκέφτομαι αριθμούς στο μέλλον. 99 00:05:08,810 --> 00:05:11,040 Ποιος είναι όμως ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του 6 και του 12; 100 00:05:11,050 --> 00:05:12,920 Έχουμε τους παράγοντες του 6... 101 00:05:12,920 --> 00:05:17,760 που είναι οι 1, 2, 3 και 6. 102 00:05:17,760 --> 00:05:22,788 Και έχουμε και τους παράγοντες του 12: 1, 2, 3... 103 00:05:22,788 --> 00:05:24,384 σχεδόν τους έχουμε μάθει απ' έξω μέχρι τώρα... 104 00:05:24,384 --> 00:05:29,060 το 3, το 4, το 6 και το 12. 105 00:05:29,060 --> 00:05:33,935 Απ' ό,τι φαίνεται το 1 είναι κοινός παράγοντας... 106 00:05:33,935 --> 00:05:36,350 το 2 είναι επίσης κοινός παράγοντας... 107 00:05:36,350 --> 00:05:39,540 το 3 είναι κοινός παράγοντας... 108 00:05:39,550 --> 00:05:42,100 και το 6 είναι κοινός παράγοντας. 109 00:05:42,100 --> 00:05:43,910 Άρα, ποιος είναι ο μέγιστος κοινός παράγοντας; 110 00:05:43,920 --> 00:05:46,048 Είναι το 6. 111 00:05:46,048 --> 00:05:46,770 Κι αυτό είναι ενδιαφέρον. 112 00:05:46,770 --> 00:05:49,518 Σ' αυτή την περίπτωση λοιπόν, ο μέγιστος κοινός διαιρέτης... 113 00:05:49,518 --> 00:05:52,600 και ζητώ συγγνώμη που πότε λέω "διαιρέτης" και πότε "παράγοντας'. 114 00:05:52,600 --> 00:05:55,175 Η μαθηματική κοινότητα πρέπει να διαλέξει ένα από τους δύο όρους. 115 00:05:55,175 --> 00:06:00,210 Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του 6 και του 12 είναι το 6. 116 00:06:00,220 --> 00:06:01,670 Άρα είναι ένας από τους 2 αριθμούς. 117 00:06:01,680 --> 00:06:02,906 Και αυτό βγάζει νόημα... 118 00:06:02,906 --> 00:06:07,710 γιατί το 6 στην πραγματικότητα διαιρεί ακριβώς το 12. 119 00:06:07,720 --> 00:06:08,930 Αυτά λοιπόν προς το παρόν. 120 00:06:08,930 --> 00:06:11,630 Ελπίζω ότι είστε έτοιμοι να κάνετε προβλήματα με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη... 121 00:06:11,640 --> 00:06:12,810 ή με παράγοντες. 122 00:06:12,810 --> 00:06:14,940 Νομίζω ότι θα φτιάξω κι άλλο βίντεο σύντομα... 123 00:06:14,950 --> 00:06:18,155 για να σας δώσω και άλλα παραδείγματα από προβλήματα.