Quindi cerchiamo di generalizzare un po' quello che abbiamo imparato
nell'ultima lezione.
Diciamo che io sto prendendo in prestito "P" dollari.
P dollari, che è quello che ho preso in prestito,
è quindi il mio capitale iniziale.
Quindi questo è il capitale.
r (rate) indica al tasso, il tasso di interesse
a cui sto prendendo a prestito.
Si può anche scrivere come 100r%, giusto?
E ho intenzione di prenderlo in prestito per - beh
non so - t anni.
Vediamo se riusciamo a tirar fuori le equazioni per capire
di quanto sarò debitore, alla fine di "t" anni
utilizzando l'interesse semplice o composto.
Allora, facciamo l'interesse semplice per primo perché è semplice.
Quindi, al tempo 0 - facciamo che questo è l'asse temporale -
di quanto sarò in debito?
Beh, qui è quando l'ho preso in prestito, quindi se lo ripago
indietro subito, dovrei solo P, giusto?
Al tempo 1, devo P maggiorato degli interessi, che potete vedere come
l'affitto su quel denaro, e questo è r volte P.
E che in precedenza, nell'esempio precedente, nel
video precedente, era del 10%.
P era 100, quindi ho dovuto pagare $ 10 per prendere in prestito quel denaro per un
anno, e ho dovutorestituire $ 110.
E questa è la stessa cosa che dire P per 1 + r, giusto?
Perché si potrebbe scrivere 1P più RP.
E poi dopo due anni, quanto dobbiamo?
Bene, ogni anno, noi paghiamo un altro rP, giusto?
Nell'esempio precedente, è stato un altro $ 10.
Quindi, se questo è 10%, ogni anno si pagano solo il 10% del
il nostro capitale originario.
Così, nell'anno 2, dobbiamo P più RP - è quello che abbiamo dovuto
nell'anno 1 - e poi un altro rP,che equivale a
P + 1 + 2r.
E toglietee la P, e si ottiene un 1 + r
+ r , cioè 1 più 2r.
E poi nell'anno 3, siamo in debito di quanto dovevamo nell'anno 2.
Così P più rP più rP, e quindi noi paghiamo un altro rP - un altro
diciamo che r è del 10% o del 50% del nostro capitale originario,
più rP, e quindi è uguale a P per (1 +3r).
Così, dopo t anni, quanto dobbiamo?
Beh, è ​​il nostro capitale originalemoltiplicato 1 più
tr.
Così si può raccogliere questo fuori perché ogni anno paghiamo Pr,
e saranno t anni.
E così è per questo che ha senso.
Quindi, se dovessi dire che prendo a prestito -
facciamo alcuni numeri.
Si poteva lavorare in questo modo, e vi consiglio di farlo.
Non si deve solo memorizzare le formule.
Se dovessi prendere in prestito $ 50 al 15% di interesse semplice per 15 o
diciamo che per 20 anni, al termine dei 20 anni,
dovrei $ 50 moltiplicato -1 più 20 volte 0.15-, giusto?
E questo è uguale a $ 50 volte -1 più - cos'è 20 moltiplicato per 0,15?
E' 3, giusto?
Giusto.
Quindi è 50 per 4, che è pari a $ 200 per
prenderli in prestito per 20 anni.
Quindi $ 50 al 15% per 20 anni risulta in
un pagamento di $ 200 alla fine.
Quindi questo era l'interesse semplice , e questa era
la sua formula.
Vediamo se possiamo fare la stessa cosa con l'interesse composto.
Lasciatemi cancellare tutto questo.
Non è così che volevo cancellarlo.
Ok, andiamo.
OK, così con gli interessi composti, in 1 anno, è la stessa cosa,
davvero, come con l'interesse semplice, e l'abbiamo visto
nel video precedente.
sono in debito di P più , P volte il tasso, che è uguale
a P che moltiplica (1 + r).
Bene.
Ora, è l'anno 2, è dove l'interesse composto e semplice divergono.
Nell' interesse semplice, dovremmo pagare solo un altro rP, e
diventa 1 più 2r.
Nell' interesse composto, questo diventa il nuovo
capitale, giusto?
Quindi, se questo è il nuovo capitale, dovremo pagare
1 + r volte questo, giusto?
Il nostro capitale originale era P.
Dopo un anno, abbiamo pagato (1 più r ) per il capitale originale
moltiplicato 1 + il tasso r.
Quindi, nell'anno 2i, stiamo andando a pagare ciò che dovevamo
alla fine dell'anno 1, che è P moltiplicato (1 + r) e poi siamo
incrementato questo .dell' r%
Quindi stiamo andando a moltiplicare questo ancora per 1 + r.
Così è uguale a P che moltiplica (1 + r )al quadrato.
Si potrebbe pensare in questo modo, che nell' interesse semplice,
ogni anno abbiamo aggiunto un Pr.
Nell' interesse semplice, abbiamo aggiunto oltre Pr ogni anno.
Quindi, se questi erano 50 dollari e questo del 15%, ogni anno stiamo aggiungendo
$ 3 - se stiamo aggiungendo - cos'era?
Il 50%. !
Allora stiamo aggiungendo 7,50 dollari in interessi, dove P è sempre il capitale,
r è il tasso.
Nell' interessi composti, ogni anno stiamo moltiplicando il
capitale per uno più il tasso, giusto?
Quindi, se andiamo nell'anno 3, stiamo andando a moltiplicare
per così tante volte per 1 più r.
Così nell'anno 3 è- P moltiplicato (1 + r) alla terza.
Così nell'anno t sarà il capitale moltiplicato
(1 + r) alla potenza t-esima.
E così vediamo quello stesso esempio.
siamo in debito di $ 200 in questo esempio con interesse semplice.
Vediamo cosa dobbiamo con l'interesse composto.
il capitale è di $ 50.
1 più - e che cosa è il tasso?
0.15.
E lo stiamo prestito per 20 anni.
Quindi questo è pari a 50 moltiplicato1,15 alla 20esima potenza.
So che non riuscite a leggerlo, ma lasciatemi vedere che posso
fare per la potenza di 20.
Lasciatemi di usare il mio Excel e cancellare tutto questo.
In realtà, dovrei solo usare il mouse anziché lo strumento penna
per cancellare tutto.
OK, allora lasciatemi scegliere un punto a caso.
Quindi voglio solo... - più 1,15 alla potenza di 20 e
potreste usare qualsiasi calcolatrice: diciamo 16,37.
Quindi questo equivale a 50 moltiplicato 16,37.
E che cosa è 50 volte questo?
più 50 volte questo: $ 818.
Quindi, ora hai capito che se qualcuno sta dando un prestito e
dice dice, oh, yeah, io ti presto.. - hai bisogno di un prestito di 20 anni?
ti presto al 15%.
E 'molto importante chiarire se stanno
per addebitare gli interessi al 15% di interesse semplice o
di interesse composto.
Perché con gli interessi composti, si sta andando a finire per pagare -
Voglio dire, dare un'occhiata a questo: solo per prendere in prestito 50 dollari, si sta andando a
pagare 618 dollari di più che se fosse stato usato l'interesse semplice.
Purtroppo, nel mondo reale, per la maggior parte si usano
interessi composti.
E non solo è composto, ma non lo calcolano
composto per ogni anno e non anche solo
ogni sei mesi, effettivamente lo calcolano continuamente.
E così dovreste guardare i video successivi
sull' interesse composto continuo e poi
comincerete a comprendere a conoscere la magia di e.
Comunque, ci vediamo tutti nel prossimo video.