Donc, généralisons un peu ce que nous avons appris dans la
vidéo précédente.
Disons que j'emprunte P dollars.
P dollars, c'est ce que j'ai emprunté donc c'est mon
capital de départ.
Donc voilà le capital.
r est le taux, le taux d’intérêt auquel
j'emprunte.
On peut aussi écrire ça comme 100r% ok ?
Et je vais l'emprunter pour --je ne
sais pas-- disons t années.
Voyons si nous pouvons arriver à des équations pour comprendre.
Combien vais-je devoir à la fin de t années en utilisant soit
les intérêts simple, soit les intérêts composés .
Commençons par les intérêts simple en premier, car c'est simple.
Donc au temps 0 --faisons un axe du temps-- combien
je vais devoir ?
Eh bien, c'est juste après l'avoir emprunter, donc si je le
rembourse immédiatement, je devrais seulement P, ok ?
Au bout d'un an, je devrai P plus les intérêts, vous pouvez
le voir comme le "loyer de l'argent", et c'est r fois P.
Dans l'exemple de la vidéo précédente
le taux d’intérêts était à 10%.
P était 100, donc je devais payer 10$ pour emprunter cet argent pour
un an, et je devais rembourser 110$.
Et ça, c'est la même chose que P fois 1+r, ok ?
Car on peut utiliser 1P plus rP.
Et après 2 ans, combien doit-on ?
Eh bien, chaque année, on paye juste un autre rP, ok ?
Dans l'exemple précédent, on ajoutait 10$.
Donc si c'est 10%, chaque année on paye 10% de
notre capital de départ.
Donc après 2 ans, nous devons P plus rP --c'est ce qu'on devait pour
1 an-- et un autre rP, donc c'est égal à
P plus 1+2r.
On sort le P, on obtient 1+r+r
donc 1+2r.
Ensuite pour la 3e année, on doit ce que l'on devait lors de la 2e année.
Donc P plus rP plus rP, et ensuite on paye un autre rP,
--r peut être 10%, ou 50% de votre capital de départ--
et on obtient P fois 1+3r.
Donc après t années, combien devons-nous ?
Nous devrons notre capital de départ fois
1+tr.
Donc on peut distribuer ça , car chaque année on paye Pr,
et il y en aura plus t années.
Donc c'est pour cela que cette formule est correcte.
Disons que j'emprunte --manipulons
quelques nombres.
Vous pouvez travailler de cette manière, et je vous le recommande.
Vous ne devriez pas juste mémoriser des formules--
Si j'emprunte 50$ avec 15% d’intérêt simple pendant 15 -- ou
plutôt 20 ans, à la fin des 20 ans, je devrais
50$ fois 1 plus 20*0.15, ok ?
Et c'est égal à 50$ fois 1 plus --combien font 20*0.15?
C'est 3 non ?
C'est ça.
Donc ça fait 50 fois 4, ce qui nous donne 200$ pour
un emprunt du 20 ans.
Donc 50$ a 15% pendant 20 ans nous donne un
paiement final de 200$.
On parlait des intérêts simples, et ceci
est la formule pour ce calcul.
Voyons voir si nous pouvons faire la même chose avec les intérêts composés.
J'efface tout ça.
C'est pas comme ça que je voulais l'effacer.
Voilà.
Alors, avec les intérêts composés, pour la première année, c'est la même chose
qu'avec les intérêts simples, nous avons vu ça
dans la vidéo précédente.
Je dois P plus, et maintenant le taux fois P, et c'est égal à
P fois 1+r.
Normal.
Maintenant la 2e année, où les intérêts simples et composés se différencies.
Pour les intérêts simples on payerait juste un autre rP, et
cela deviendrait 1+2r.
Avec les intérêts composés, ceci devient le nouveau
capital, ok ?
Donc, si c'est le nouveau capital, nous allons devoir payer
1 plus r fois ça, ok ?
Notre capital de départ était P.
Après un an, on paye 1 plus r fois le capital de départ
ok ? fois 1 plus r de taux.
Donc pour 2 ans, nous allons payer ce que nous devions à
la fin de la première année, c'est à dire P fois 1+r et ensuite nous allons
augmenter ça par r%.
Donc on va multiplier ça encore par 1+r.
Ce qui nous donne P fois 1+r au carré.
Donc on peut le voir comme ça, avec les intérêts simples
chaque année on ajoute Pr.
Avec les intérêts simple, on ajoute +Pr chaque année
Donc si ceci est 50$ et ceci est 15%, chaque année on ajoute
3$ -- on ajoute-- c'était quoi ça ?
50%
On ajoute 7.50$ d’intérêts, où P est le capital,
r est le taux d’intérêt.
Avec les interets composés, chaque année on multiplie le
capital par 1 plus le taux, ok ?
Donc si on va jusqu'à la 3e année, on va multiplier
ceci par 1+r.
Donc après 3 ans c'est P fois 1+r au cube.
Donc pour t années, ce sera : le capital fois 1 plus
r exposant t.
Donc avec cet exemple.
Avec les intérêts simple nous devons 200$ dans cet exemple
Voyons voir ce que nous devons avec des intérêts composés.
Le capital est de 50$
1 plus -- quel est le taux ?
0.15.
Et nous empruntons pour 20 ans.
Donc c'est égal à 50 fois 1.15 exposant 20.
Je sais que vous ne pouvez pas lire ça, mais laissez moi voir ce que je peux
faire pour cet exposant 20.
Je vais utiliser mon Excel et effacer tout ça.
En fait, je devrais utiliser ma souris plutôt que le crayon
pour tout effacer.
Ok, laissez moi juste choisir un endroit au hasard.
Donc je veux juste-- plus 1.15 exposant 20, et vous
pouvez utiliser votre calculette: 16.37 disons.
Donc c'est égal à 50 fois 16.37
Et donc 50 fois ça nous donne ?
ça nous donne 818$.
Donc maintenant vous réalisez que si quelqu’un vous fait un prêt et
dit "bien sûr, je vais te dépanner, tu veux un prêt sur 20 ans ?
je te le fait avec des intérêts à 15%"
C'est plutôt important de clarifier si le taux
à 15% est en intérêts simples ou
en intérêts composés.
Car avec les intérêts composés, vous allez payer--
enfin regardez : juste pour emprunter 50$ vous allez
payer 618$ de plus qu'en intérêts simples.
Malheureusement, dans le monde réel, la plupart
sont des intérêts composés.
Et non seulement c'est composé, mais pas seulement
chaque année, pas seulement tout les 6 mois,
mais continuellement.
Donc vous devriez regarder les prochaines vidéos sur
les intérêts continuellement composés, et vous pourrez
commencez à apprendre la magie du e.
Bref, je vous retrouve dans la prochaine vidéo.