อาร์เบกลาเริ่มรู้สึกโกรธและอับอาย

ที่เขาต้องเผชิญหน้ากับคุณและนก
ต่อหน้าพระราชา

เขาจึงเดินออกจากห้องไป

แล้วไม่กี่วินาทีต่อมา เขาก็กลับมา

เขาบอกว่า กระหม่อมผิดเอง

ขออภัยด้วย

หม่อมฉันเพิ่งรู้ว่าที่ผิดคืออะไร

มีการเขียนผิดหรือพิมพ์ผิดเล็กน้อย

ในสัปดาห์แรก ตอนออกไปตลาด

ซื้อแอปเปิ้ล 2 ปอนด์กับกลัวย 1 ปอนด์

มันไม่ได้มีราคา $3

มันราคา $5

และแน่นอน เมื่อคิดว่า
เธอกับเจ้านกนี่ฉลาดแค่ไหน

เธอต้องหาได้ว่าแอปเปิ้ลราคาเท่าใด

และกล้วยราค่าเท่าใดต่อปอนด์

คุณคิดสักครู่ ตอนนี้

มันมีผลเฉลยไหม?

ลองเขียนมันโดยใช้ตัวแปรเหมือนเดิม

คุณก็บอกว่า ถ้า a คือราคาแอปเปิ้ลต่อปอนด์

และ b คือราคากล้วย เงื่อนไขแรกบอกเรา

ว่าแอปเปิ้ล 2 ปอนด์จะมีราคา 2a

เพราะมันเท่ากับ a ดอลล่าร์ต่อปอนด์

และกล้วยหนึ่งปอนด์จะ

ราคา b ดอลล่าร์เพราะมันคือ 1 ปอนด์คูณ

b ดอลล่าร์ต่อปอนด์ ตอนนี้ราคา $5

นี่คือจำนวนที่แก้แล้ว

และอย่างที่เราเห็นในครั้งที่แล้ว

ข้อมูลนี้ยังไม่เปลี่ยนไป

แอปเปิ้ล 6 ปอนด์จะมีราคา 6a

6 ปอนด์คูณ a ดอลล่าร์ต่อปอนด์

และกล้วย 3 ปอนด์ราคา 3b คือ 3 ปอนด์

คูณ b ดอลล่าร์ต่อปอนด์

ราคารวมของแอปเปิ้ลกับกล้วย

ในแถวนี้ เขาให้มาเป็น $15

เหมือนเดิม คุณบอกว่า อืม ขอฉัน

ลองแก้โดยการกำจัดแล้วกัน

เหมือนเดิม คุณบอกว่า ลองกำจัด a กัน

ฉันมี 2a ตรงนี้

ฉันมี 6a ตรงนี้

ถ้าผมคูณ 2a ด้วยลบ 3

แล้วอันนี้กลายเป็นลบ 6a

และมันตัดกับตัวนั้น

คุณก็ทำไป

คุณคูณสมการนี้ทั้งสมการ

คุณคูณเทอมเดียวไม่ได้

คุณต้องคูณทั้งสมการด้วยลบ 3

ถ้าคุณอยากให้สมการนี้เป็นจริง

และเราก็คูณมันด้วยลบ 3

2a คูณลบ 3 จึงเท่ากับลบ 6a

b คูณลบ 3 เท่ากับลบ 3b

แล้ว 5 คูณลบ 3 เป็นลบ 15

และตอนนี้เรื่องประหลาดก็เริ่ม

ปรากฎขึ้น

เพราะเมื่อคุณบวกทางซ้าย

ของสมการสีฟ้า หรือสมการสีม่วงนี้

กับสีเขียว คุณจะได้ 0

ทั้งหมดนี่ตรงนี้หักล้างกัน

และทางขวามือ 15 ลบ 15

มันเท่ากับ 0 เช่นกัน

คุณได้ 0 เท่ากับ 0 ซึ่งดูดีกว่า

ครั้งที่แล้วที่คุณคิด

ครั้งก่อนเราได้ 0 เท่ากับ 6

แต่ 0 เท่ากับ 0 ไม่ได้บอกว่า x กับ y

คืออะไร

อันนี้เป็นจริง

อันนี้เป็นจริงแน่นอน ว่า 0 เท่ากับ 0

แต่มันไม่ได้บอกอะไรเราเกี่ยวกับ x และ y

แล้ว นกก็กระซิบข้างหูพระราชา

พระราชาก็บอกว่า เจ้านก

บอกว่า เจ้าควรวาดกราฟเพื่อหา

ว่าเกิดอะไรขึ้น

แล้วคุณรู้ว่า การฟังนก

นั้นเป็นเรื่องดี

คุณก็ลองวาดกราฟเงื่อนไขทั้งสองนี้

ลองทำแบบเดียวกัน

เรามีแกน b

นั่นคือแกน b ของเรา

และเรามีแกน a

ขอผมทำรอยขีดตรงนี้นะ -- 1, 2, 3, 4,

5 และ 1, 2, 3, 4, 5

สมการแรกนี่ตรงนี้

ถ้าเราลบ 2a จากทั้งสองด้าน

ผมจะเขียนมันในรูปความชัน ค่าตัดแกน

คุณได้ b เท่ากับลบ 2a บวก 5

ที่ผมทำคือลบ 2a จากทั้งสองด้าน

และถ้าผมวาดกราฟมัน ค่าตัดแกน b เมื่อ

a เท่ากับ 0, b เท่ากับ 5

นั่นก็คือตรงนั้น

ความชันของเราก็คือลบ 2

ทุกครั้งที่คุณบวก 1 กับ a -- 
ถ้า a เพิ่มจาก 0 เป็น 1 --

b จะลดลง 2

ลดลงไป 2, ลงไป 2

สมการสีขาวอันแรกนี้เป็นแบบนี้

ถ้าเราวาดกราฟเซตผลเฉลย

พวกนี้คือราคาของกล้วยกับแอปเปิ้ลทั้งหมด

ที่ตรงตามเงื่อนไขนี้

ทีนี้ลองวาดกราฟสมการที่สองนี้กัน

ถ้าเราลบ 6a จากทั้งสองด้าน

เราได้ 3b เท่ากับลบ 6a บวก 15

แล้วเราหารทั้งสองดข้างด้วย 3 ได้

หารทุกอย่างด้วย 3

เราเหลือ b เท่ากับลบ 2a บวก 5

อันนี้น่าสนใจ

อันนี้ดูคล้ายกันมาก หรือมันเหมือนกันเลย

ค่าตัดแกน b ของเราคือ 5 
และความชันคือลบ 2a

นี่ก็คือเส้นตรงเดียวกัน

พวกนี้ก็คือเงื่อนไขเดียวกัน

คุณก็เริ่มสับสน

แล้วคุณบอกว่า โอเค ฉันเห็นแล้วว่า
ทำไมเราจึงได้ 0 เท่ากับ 0

เพราะมันมีผลเฉลยจำนวนนับไม่ถ้วน

คุณเลือก x ใดๆ กับ y ใดๆ ที่คู่กัน

ในนี้ จะเป็นผลเฉลย

ของทั้งสองสมการ

มันจึงมีผลเฉลยจำนวนนับไม่ถ้วน

แต่คุณเริ่มสงสัยว่า ทำไมถึงเป็นเช่นนี้?

เจ้านกก็กระซิบข้างหูพระราชาอีกครั้ง

และพระราชากล่าวว่า นกบอกว่า

นี่เป็นเพราะการเดินทางไปตลาดทั้งสองครั้ง

อัตราส่วนของแอปเปิ้ลกับกล้วย
ที่ซื้อมานั้นเท่ากัน

ทั้งครั้งสีเขียวและครั้งสีขาว

คุณซื้อแอปเปิ้ลมากเป็นสามเท่า ซื้อ

กล้วยมากเป็นสามเท่า และราคาเพิ่มสามเท่า

ในกรณีใดๆ ไมว่าราคา
แอปเปิ้ลกับกล้วยต่อปอนด์

เป็นเท่าใด ถ้าคุณซื้อแอปเปิ้ลมาก

เป็นสามเท่า กล้วยมากเป็นสามเท่า

และราคามากเป็นสามเท่า

มันเป็นจริงสำหรับราคาใดๆ

ที่จริงแล้วระบบนี้เรียกว่าระบบสอดคล้อง 
(consistent)

เราบอกไม่ได้ว่า อาร์เบกลาหลอกเรา

แต่ข้อมูลแค่ไม่พอ

นี่คือสิ่งที่เราเรียก นี่เรียกว่าระบบที่สองคล้อง

มันมีข้อมูลที่สอดคล้องกันตรงนี้

ขอผมเขียนอันนี้ลงไปนะะ

อันนี้สอดคล้องกัน

และมันสอดคล้อง 0 เท่ากับ 0

มันไม่มีอะไรผิดตรงนี้

ข้อมูลแค่ไม่พอ

ระบบสมการนี้ไม่ได้เป็นอิสระ

มันขึ้นต่อกัน

และคุณได้ผลเฉลยจำนวนนับไม่ถ้วน

จุดใดๆ บนเส้นตรงนี้แสดงผลเฉลย

คุณจึงบอกอาร์เบกลาว่า ถ้าเธอ

อยากให้เราแก้ปัญหานี้ได้ เธอต้อง

บอกข้อมูลมากกว่านี้

ถ้าจะดี ต้องซื้อแอปเปิ้ลกับกล้วย
ด้วยอัตราต่างกัน