След години експерименти,
най-сетне сте изобретили домашните любимци на бъдещето -
нано зайци!
Те са малки, те са пухкави...
и се множат по-бързо, от колкото може да види човешкото око.
Във вашата алборатория има 36 клетки,
подредени в обърната пирамида,
с осем клетки на най-горния ред.
Първата има един заек,
втората два и така нататък,
до осем заека в последната.
Останалите редове клетки са празни...
за сега.
Зайците са хермафродитни,
а всеки заек в дадена клетка ще се разножи веднъж
с всеки заек в хоризонтално съседните клетки,
репродуцирайки точно един потомък всеки път.
Новородените зайци ще паднат в клетката,
директно под двете клетки на родителите им
и след минути ще пораснат и ще се размножават на свой ред.
Всяка клетка може да съдържа 10 на 80-та степен нано зайци -
това значи 1 следвано от 80 нули -
преди да се измъкнат и да пренаселят света.
Вашите изчисления са ви изкарали 46 цифрено число
за броя зайци в най-долната клетка -
достатъчно свободно място.
Но точно докато дърпате лоста, за да започнете експеримента,
асистентът ви нахълтва с ужасни новини.
Конкурентна лаборатория е саботирала кода ви
така, че всички нули на края на резултата ви са били отрязани.
Това значи, че не знаете със сигурност
дали най-долната клетка ще може да събере всички зайци -
а репродуцирането вече е в ход!
И за да стане още по-лошо,
всичките ви устройства и калкулатори не функционират правилно,
така че имате няколко минути да изчислите на ръка.
Колко нули на края трябва да има
за броя зайци в най-долния хабитат?
И дали трябва да дръпнете ръчката за извънредно спиране?
Спрете видеото тук, ако искате сами да помислите.
Отговор след 3
Отговор след 2
Отговор след 1
Няма достатъчно време да изчислите точния брой на зайците в последната клетка.
Добрата новина е, че не трябва.
Просто трябва да изчислим
колко нули има на края.
Но как можем да разберем колко нули има дадено число на края,
без да изчислим самото него?
Това, което знаем е, че до финалният брой зайци в най-долната клетка стигаме
чрез процес на умножение -
буквално.
Броят на зайците във всяка клетка
е умножението на зайците от всяка от двете клетки над нея.
И има само два начина
да получим нули в края чрез умножение:
или чрез умножение на число, завършващо на 5 по четно число,
или чрез умножение с числа завършващи с нули.
Нека изчислим броя зайци във втория ред
и да видим какви модели излизат.
Две от числата имат нули на края -
20 заека в четвъртата клетка и 30 в петата.
Но няма числа завършващи на 5.
И тъй като единственият начин да получиш число завършващо на 5 чрез умножение
е започвайки от число завършващо на 5,
няма да има такива надолу по пирамидата също.
Това значи, че трябва да се тревожим само
за числата, които завършват на нули.
И готин номер да изчислим броя на нулите в едно произведение
е да преброим и съберем нулите в края на всеки от множителите -
примерно 10 x 100 = 1 000.
Така че да вземем числата в четвъртата и петата клетки
и да уножавеме от там надолу.
20 и 30 имат по една нула,
така че произведението им ще има 2 нули в края,
докато произведението на тези клетки и съседните, не завършващи на нула,
ще има само една.
Като продължим до долу
приключваме с 35 нули в най-долната клетка.
И ако не сте твърде стресирани за потенциалният нано заешки апокалипсис,
може да забележите, че броенето на нулите по този начин
формира част от триъгълника на Паскал.
Добавянето на тези 35 нули към 46 цифреното число, което имахме преди
прави 81 цифрово число -
твърде голямо, за да се побере в хабитата!
Втурвате се и дръпвате аварийния лост,
тъкмо докато седмото поколение зайци започва да съзрява -
зайстрашително близо до катастрофа.