Giả sử ta có đạo hàm f của x
bằng với cosin của x mũ 3,
hay ta có thể viết nó như sau...
cosin của x, tất cả mũ 3.
Dựa vào đây, ta muốn biết
f phẩy của x sẽ bằng với cái gì.
Ta muốn biết f phẩy của x, và trong bài này thì
quy tắc đạo hàm hàm hợp sẽ rất có ích đấy.
Đầu tiên, mình sẽ
áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp
và sau đó tìm hiểu sâu hơn
về mối liên quan ta có thể có
giữa những gì ta thấy trong bài này và kiến thức
có trong các sách giáo khoa Giải tích mà
có giải thích quy tắc đạo hàm hàm hợp.
Giờ, nếu ta có một hàm số
được định nghĩa là hàm hợp... khi mà, bạn để ý ở đây,
biểu thức ta đã được cho từ ban đầu này.
Ở đây ta lấy một cái gì đó mũ 3.
Và không phải chỉ mỗi x được lấy mũ 3 đâu.
Ta còn có cosin của x, tất cả mũ 3.
Bạn có thể xem nó thế này: ta đang có một hàm
một hàm số của cosin của x
và ta đặt nó vào một hàm số khác
mà lấy nó mũ 3.
Để mình giải thích thêm nha.
Ở đây, bạn sẽ xem hàm này...
bạn có thể nói nếu ta lấy x,
và ta thế nó vào một hàm như là
hàm cosin của x.
Vậy việc đầu tiên ta làm là xem xét cosin.
Cái này sẽ cho ta cosin của x.
Cosin của x,
rồi ta lấy nó và thế vào hàm
mà lấy luỹ thừa 3.
Nó lấy luỹ thừa 3 của mọi ẩn bên trong.
Vậy cuối cùng ta còn gì?
Ta sẽ còn... Ta đã lấy
luỹ thừa 3 của cái gì nhỉ?
Mình đang lấy cosin của x.
Cosin của x luỹ thừa 3.
Và đây là hàm hợp.
Bạn có thể xem nó
bạn có thể xem nó như một hàm số.
Mình sẽ gọi cái phần màu xanh này là hàm số v
còn phần này sẽ là hàm số u.
Nếu ta đặt x ở bên trong hàm u thì ta có
u Theo x,
rồi ta lấy u của x thế vào
thế vào hàm v
thì ta sẽ được như bên đây.
Cái này sẽ trở thành v của...
v của thứ mà ta vừa đưa vào.
Là v của u của x.
V của u của x nha.
Hoặc một cách khác để viết là
mình sẽ làm nhiều cách khác.
Cái này cũng tương tự như v của cosin của x.
V của cosin của x.
Vậy v, bất kể cái gì bạn thế vào bên trong nó
sẽ lấy luỹ thừa 3 của thứ đó.
Nếu bạn viết v của x,
thì bạn có x mũ 3.
Và đây là những gì
quy tắc đạo hàm hàm hợp cho ta biết.
Và ta có thể áp dụng điều này
khi ta lấy đạo hàm của hàm số
và có dạng hàm hợp như bài toán ta có ở đây.
Ta có thể viết là f của x.
F của x sẽ bằng với v của u của x.
Mình biết mình đang nói đi nói lại
cùng một thứ
nhưng mình đang dùng những cách khác nhau để diễn đạt
bởi vì ngay từ ban đầu bạn học nó,
có thể hơi khó để tiếp thu,
hay để có thể hiểu sâu.
nên mình đang cố gắng viết nó bằng nhiều cách.
Và theo như quy tắc đạo hàm hàm hợp
nếu bạn gặp một truờng hợp thế này
thì đạo hàm hay còn gọi là f phẩy của x, ...
bạn có thể tìm thấy nó trong sách.
Nó sẽ là
đạo hàm của toàn bộ phần này
theo u của x
nên chúng ta có thể viết đạo hàm của v theo u của x
Đạo hàm của v theo u của x
nhân cho đạo hàm của u theo x.
Nhân cho u phẩy của x.
Cái này ở đây
là một biểu thức của quy tắc đạo hàm hàm hợp
và trong trường hợp này thì ta xét như thế nào?
Mình có thể dùng màu theo cách tương tự.
Vậy hàm v
là hàm ngoài này sẽ lấy mũ 3 của ẩn bên trong.
Mình sẽ làm nó màu xanh.
Vậy f phẩy của x...
một cách khác để diễn đạt nó là...
Bạn có thể coi cái này là đạo hàm của
Mình sẽ viết nó bằng cách khác.
Bạn có thể coi cái này là đạo hàm của v
Đạo hàm của v
Theo u.
Và mình sẽ làm kỹ phần màu này.
Đạo hàm của v theo u,
nó sẽ là cái mà ở bên đây,
nhân với đạo hàm của u
Theo x.
Vậy nhân với đạo hàm của u theo x.
À để rõ hơn thì
mình đang sử dụng những ký hiệu
đạo hàm khác nhau mà được sử dụng
trong sách giáo khoa.
Nhưng chúng biểu diễn cùng một thứ.
Ta cùng xem xét và đánh giá cái này nhé.
Chắc bạn cũng không muốn nói về những khái niệm mơ hồ nhiều đâu.
Cái này sẽ bằng với...
cái này sẽ bằng với...
mình sẽ viết lại lần nữa.
Đây là đạo hàm
mà thay vì được viết là v của u
thì mình sẽ viết nó như thế này.
Cái này sẽ là,
Hmm, nãy giờ mình cứ dùng sai màu í.
Cái này sẽ là đạo hàm của
mình sẽ chừa trống phần này
nhân cho đạo hàm của một cái gì đó khác
Theo một cái gì đó.
Đầu tiên ta phải lấy đạo hàm của v.
v là
cosin của x mũ 3.
Cosin của x.
Ta sẽ lấy đạo hàm của nó
theo u, hay cũng là cosin của x
rồi ta nhân nó...
nhân nó với đạo hàm của u hay cũng là bằng cosin của x
theo x,
theo x.
Vậy là ta có cái này, mình sẽ đóng khung nó.
Và ta đã nhìn thấy cái này đâu đó rồi.
Ta biết rằng nó là đạo hàm theo x
của cosin của x.
Cosin.
Ta sử dụng cùng màu ở đây.
Đạo hàm của cosin của x,
và nó sẽ bằng với âm sin của x.
Vậy cái này ngay đây nó sẽ là âm sin của x.
Chắc bạn cũng đã quen thuộc với
đạo hàm mà được biểu diễn theo cách này.
Dù là theo lí thuyết thì bạn không thấy cái này thường xuyên
nhưng nó giúp ta hiểu được nguyên lí của bài toán.
Ta đang lấy đạo hàm của cosin của x
theo x.
Và đó sẽ bằng với âm sin của x.
Vậy còn đạo hàm của
của cosin của x mũ 3
theo cosin của x thì sao?
Phần bên này sẽ là gì bây giờ?
Hmm, nếu mình lấy đạo hàm,
nếu mình lấy đạo hàm của...
để mình viết như này.
Nếu mình lấy đạo hàm của x mũ 3,
x mũ 3 Theo x.
Nếu nó như thế này,
thì cái này sẽ trở thành...
mình sẽ để dấu ngoặc ở đây
để cho nó rõ ràng hơn.
Nếu mình lấy đạo hàm của cái này
thì nó sẽ trở thành...
nó sẽ trở thành...
ta sẽ đưa luỹ thừa ra trước.
Vậy nó sẽ trở thành 3
3 nhân với x.
3 nhân x mũ 2.
Mình tổng kết lại nhé.
Nếu ta lấy đạo hàm của cái gì đó
và bất kể "cái gì đó" là gì,
để mình dùng một màu mới.
Mình sẽ lấy đạo hàm của cái phần trong hình tròn màu cam này, lấy nó mũ 3,
Theo phần ở bên trong hình tròn.
Và nó sẽ trở thành 3 nhân phần màu cam
hay màu vàng.
Để mình vẽ một hình tròn màu cam
và đạo hàm của phần màu cam đó mũ 3
Theo phần bên trong hình tròn.
Nó sẽ trở thành 3 nhân phần màu cam bình phương.
Nếu mình lấy đạo hàm của cosin của x
mũ 3 theo cosin của x,
thì nó sẽ trở thành...
nó sẽ trở thành
3 nhân cosin của x
cosin của x mũ 2.
Cosin của x mũ 2.
Một cách để nghĩ về cách làm này là
mình đang lấy đạo hàm của phần bên ngoài
Theo phần bên trong.
Và mình sẽ làm tương tự khi
lấy đạo hàm của x mũ 3
nhưng thay vì lấy x, mình lấy cosin của x
và thay vì là 3x bình phương,
thì sẽ là 3 cosin của x bình phương,
rồi quy tắc đạo hàm hàm hợp cho ta biết
nếu ta muốn có
đạo hàm theo x
thì ta lấy đạo hàm của cosin của x
Theo x.
Các bạn có thể thấy mình nói xa vời nhưng thật ra mình chỉ đang nói về bài này đấy.
Vậy là ta đã tìm ra đạo hàm.
Nó sẽ là cái này nhân với cái này.
Để xem nha, phần này sẽ bằng với âm 3,
âm 3 nhân với sin của x
nhân với cosin bình phương của x.
Mình biết nói vậy thì hơi dài dòng.
Mình muốn giải thích quy tắc đạo hàm hàm hợp luôn.
Khi bạn đã hiểu kỹ hơn thì
bạn sẽ lấy đạo hàm của phần ngoài
của cái gì đấy, mũ 3 lên, theo phần bên trong.
Và ta sẽ coi cosin của x giống như x mà thôi nhé.
Nó sẽ là...
nếu mình làm thế này, nó sẽ là 3 cosin bình phương của x...
cái này là bằng phần này cộng phần này,
rồi mình sẽ lấy đạo hàm của phần bên trong
Theo x.
Vậy nó sẽ là âm sin của x.