WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:02.720 Die meiste Zeit hast du dich in der Mathematik 00:00:02.728 --> 00:00:04.583 mit reellen Zahlen beschäftigt. 00:00:04.583 --> 00:00:15.320 Reelle Zahlen beinhalten Zahlen wie z.B. 0, 1, oder 0,3¯ und π, e, 00:00:15.320 --> 00:00:17.520 und ich könnte weitere reelle Zahlen aufschreiben. 00:00:17.540 --> 00:00:20.560 Das sind die Zahlen, die du schon kennst. 00:00:20.560 --> 00:00:22.910 Dann haben wir uns etwas Interessantes angeschaut, 00:00:22.910 --> 00:00:24.260 und zwar die Frage: 00:00:24.260 --> 00:00:28.560 Was wäre, wenn es eine Zahl gäbe, die, wenn ich sie zum Quadrat nehmen würde, -1 ergeben würde? 00:00:28.560 --> 00:00:35.100 Und dieses Ding, das wir zum Quadrat genommen und -1 erhalten haben, haben wir als i definiert. 00:00:35.160 --> 00:00:37.740 Wir haben eine komplett neue Art von Zahlen definiert, 00:00:37.740 --> 00:00:42.280 die wir als Vielfache der imaginären Einheit betrachten können. 00:00:42.280 --> 00:00:52.820 Imaginäre Zahlen sind z.B. i, -i, π ⋅ i, e ⋅ i. 00:00:52.840 --> 00:00:55.754 Dadurch stellt sich eine weitere interessante Frage. 00:00:55.754 --> 00:00:58.783 Was, wenn ich imaginäre und reelle Zahlen kombiniere? 00:00:58.783 --> 00:01:02.820 Was, wenn ich Zahlen hätte, die Summen oder Differenzen von reellen oder imaginären Zahlen wären? 00:01:02.840 --> 00:01:08.460 Sagen wir, ich hätte z.B. die Zahl z. 00:01:08.460 --> 00:01:15.900 z ist die am meisten verwendete Variable, wenn es um komplexe Zahlen geht. 00:01:15.920 --> 00:01:27.880 Sagen wir, dass z = 5 + 3 ⋅ i. 00:01:27.880 --> 00:01:31.720 Wir haben hier also eine reelle Zahl + eine imaginäre Zahl. 00:01:31.720 --> 00:01:34.480 Du willst diese beiden Dinge addieren, aber das kannst du nicht. 00:01:34.520 --> 00:01:35.890 Es würde keinen Sinn ergeben, 00:01:35.890 --> 00:01:41.460 da du diese Rechnung nicht weiter vereinfachen kannst. 00:01:41.500 --> 00:01:44.900 Du kannst diese reelle Zahl nicht mit dieser imaginären Zahl addieren. 00:01:44.960 --> 00:01:47.680 Diese Zahl ist reell, 00:01:47.680 --> 00:01:51.669 und diese Zahl ist imaginär. 00:01:51.669 --> 00:01:56.300 So eine Zahl nennen wir komplex. 00:01:56.300 --> 00:02:00.100 Eine komplexe Zahl. 00:02:00.107 --> 00:02:02.524 Sie hat einen reellen und einen imaginären Teil. 00:02:02.524 --> 00:02:04.664 Manchmal steht dort eine Anmerkung, 00:02:04.664 --> 00:02:07.201 oder jemand fragt, welches der reelle Teil ist. 00:02:07.201 --> 00:02:10.115 Was ist der reelle Teil unserer komplexen Zahl z? Re(z) = ? 00:02:10.115 --> 00:02:13.879 Das wäre die 5 hier drüben. 00:02:13.880 --> 00:02:16.820 Oder jemand fragt nach dem imaginären Teil. 00:02:16.840 --> 00:02:20.751 Was ist der imaginäre Teil unserer komplexen Zahl z? Im(z) = ? 00:02:20.751 --> 00:02:23.883 So wie diese Funktion aufgebaut ist, 00:02:23.883 --> 00:02:25.296 wird meistens danach gefragt, 00:02:25.300 --> 00:02:29.800 welches Vielfache von i dieser imaginäre Teil hier drüben ist. 00:02:29.820 --> 00:02:34.414 In diesem Fall haben wir 3. 00:02:34.420 --> 00:02:38.440 Wir können das in zwei Dimensionen darstellen. 00:02:38.440 --> 00:02:39.680 Anstatt der traditionellen, 00:02:39.690 --> 00:02:42.496 zweidimensionalen kartesischen Ebene 00:02:42.500 --> 00:02:46.120 mit reellen Zahlen auf der horizontalen und der vertikalen Achse, 00:02:46.160 --> 00:02:48.960 stellen wir die stattdessen die komplexen Zahlen so dar, 00:02:48.960 --> 00:02:56.280 dass wir den imaginären Teil auf der vertikalen Achse darstellen, 00:02:56.280 --> 00:03:06.040 und auf der horizontalen Achse den reellen Teil darstellen. 00:03:06.060 --> 00:03:09.700 Für unser Beispiel z haben wir 5 + 3i. 00:03:09.700 --> 00:03:12.760 Der reelle Teil ist 5, 00:03:12.767 --> 00:03:17.238 also zählen wir 1, 2, 3, 4, 5 ab, 00:03:17.238 --> 00:03:18.321 und markieren die 5. 00:03:18.321 --> 00:03:20.107 Der imaginäre Teil ist 3. 00:03:20.107 --> 00:03:22.480 1, 2, 3. 00:03:22.480 --> 00:03:31.720 Auf der komplexen Ebene würden wir diese Zahl genau hier darstellen. 00:03:31.740 --> 00:03:36.220 So würden wir z auf der komplexen Ebene darstellen. 00:03:36.240 --> 00:03:38.793 +5 in die reelle Richtung, 00:03:38.793 --> 00:03:41.173 +3 in die imaginäre Richtung. 00:03:41.173 --> 00:03:43.284 Wir könnten weitere komplexe Zahlen darstellen. 00:03:43.284 --> 00:03:51.460 Nehmen wir z.B. die komplexe Zahl a = -2 + i. 00:03:51.460 --> 00:03:53.240 Wo würde ich sie darstellen? 00:03:53.260 --> 00:03:56.900 Der reelle Teil ist -2, 00:03:56.940 --> 00:04:01.440 und der imaginäre Teil ist 1, 00:04:01.440 --> 00:04:02.560 also gehen wir 1 nach oben. 00:04:02.563 --> 00:04:04.196 Genau hier. 00:04:04.196 --> 00:04:07.220 Das ist unsere komplexe Zahl. 00:04:07.220 --> 00:04:17.880 Unsere komplexe Zahl a wäre an diesem Punkt der komplexen Ebene. 00:04:17.900 --> 00:04:19.420 Machen wir noch ein Beispiel. 00:04:19.420 --> 00:04:29.500 Nehmen wir die komplexe Zahl b = 4 - 3i. 00:04:29.500 --> 00:04:30.800 Wo zeichnen wir sie ein? 00:04:30.809 --> 00:04:32.886 Wir zählen 1, 2, 3, 4, 00:04:32.886 --> 00:04:36.740 und dann -1, -2, -3. 00:04:36.740 --> 00:04:39.358 Wir kommen genau hier an. 00:04:39.360 --> 00:04:43.740 Das hier ist unsere komplexe Zahl b.