1 00:00:00,000 --> 00:00:02,720 Die meiste Zeit hast du dich in der Mathematik 2 00:00:02,728 --> 00:00:04,583 mit reellen Zahlen beschäftigt. 3 00:00:04,583 --> 00:00:15,320 Reelle Zahlen beinhalten Zahlen wie z.B. 0, 1, oder 0,3¯ und π, e, 4 00:00:15,320 --> 00:00:17,520 und ich könnte weitere reelle Zahlen aufschreiben. 5 00:00:17,540 --> 00:00:20,560 Das sind die Zahlen, die du schon kennst. 6 00:00:20,560 --> 00:00:22,910 Dann haben wir uns etwas Interessantes angeschaut, 7 00:00:22,910 --> 00:00:24,260 und zwar die Frage: 8 00:00:24,260 --> 00:00:28,560 Was wäre, wenn es eine Zahl gäbe, die, wenn ich sie zum Quadrat nehmen würde, -1 ergeben würde? 9 00:00:28,560 --> 00:00:35,100 Und dieses Ding, das wir zum Quadrat genommen und -1 erhalten haben, haben wir als i definiert. 10 00:00:35,160 --> 00:00:37,740 Wir haben eine komplett neue Art von Zahlen definiert, 11 00:00:37,740 --> 00:00:42,280 die wir als Vielfache der imaginären Einheit betrachten können. 12 00:00:42,280 --> 00:00:52,820 Imaginäre Zahlen sind z.B. i, -i, π ⋅ i, e ⋅ i. 13 00:00:52,840 --> 00:00:55,754 Dadurch stellt sich eine weitere interessante Frage. 14 00:00:55,754 --> 00:00:58,783 Was, wenn ich imaginäre und reelle Zahlen kombiniere? 15 00:00:58,783 --> 00:01:02,820 Was, wenn ich Zahlen hätte, die Summen oder Differenzen von reellen oder imaginären Zahlen wären? 16 00:01:02,840 --> 00:01:08,460 Sagen wir, ich hätte z.B. die Zahl z. 17 00:01:08,460 --> 00:01:15,900 z ist die am meisten verwendete Variable, wenn es um komplexe Zahlen geht. 18 00:01:15,920 --> 00:01:27,880 Sagen wir, dass z = 5 + 3 ⋅ i. 19 00:01:27,880 --> 00:01:31,720 Wir haben hier also eine reelle Zahl + eine imaginäre Zahl. 20 00:01:31,720 --> 00:01:34,480 Du willst diese beiden Dinge addieren, aber das kannst du nicht. 21 00:01:34,520 --> 00:01:35,890 Es würde keinen Sinn ergeben, 22 00:01:35,890 --> 00:01:41,460 da du diese Rechnung nicht weiter vereinfachen kannst. 23 00:01:41,500 --> 00:01:44,900 Du kannst diese reelle Zahl nicht mit dieser imaginären Zahl addieren. 24 00:01:44,960 --> 00:01:47,680 Diese Zahl ist reell, 25 00:01:47,680 --> 00:01:51,669 und diese Zahl ist imaginär. 26 00:01:51,669 --> 00:01:56,300 So eine Zahl nennen wir komplex. 27 00:01:56,300 --> 00:02:00,100 Eine komplexe Zahl. 28 00:02:00,107 --> 00:02:02,524 Sie hat einen reellen und einen imaginären Teil. 29 00:02:02,524 --> 00:02:04,664 Manchmal steht dort eine Anmerkung, 30 00:02:04,664 --> 00:02:07,201 oder jemand fragt, welches der reelle Teil ist. 31 00:02:07,201 --> 00:02:10,115 Was ist der reelle Teil unserer komplexen Zahl z? Re(z) = ? 32 00:02:10,115 --> 00:02:13,879 Das wäre die 5 hier drüben. 33 00:02:13,880 --> 00:02:16,820 Oder jemand fragt nach dem imaginären Teil. 34 00:02:16,840 --> 00:02:20,751 Was ist der imaginäre Teil unserer komplexen Zahl z? Im(z) = ? 35 00:02:20,751 --> 00:02:23,883 So wie diese Funktion aufgebaut ist, 36 00:02:23,883 --> 00:02:25,296 wird meistens danach gefragt, 37 00:02:25,300 --> 00:02:29,800 welches Vielfache von i dieser imaginäre Teil hier drüben ist. 38 00:02:29,820 --> 00:02:34,414 In diesem Fall haben wir 3. 39 00:02:34,420 --> 00:02:38,440 Wir können das in zwei Dimensionen darstellen. 40 00:02:38,440 --> 00:02:39,680 Anstatt der traditionellen, 41 00:02:39,690 --> 00:02:42,496 zweidimensionalen kartesischen Ebene 42 00:02:42,500 --> 00:02:46,120 mit reellen Zahlen auf der horizontalen und der vertikalen Achse, 43 00:02:46,160 --> 00:02:48,960 stellen wir die stattdessen die komplexen Zahlen so dar, 44 00:02:48,960 --> 00:02:56,280 dass wir den imaginären Teil auf der vertikalen Achse darstellen, 45 00:02:56,280 --> 00:03:06,040 und auf der horizontalen Achse den reellen Teil darstellen. 46 00:03:06,060 --> 00:03:09,700 Für unser Beispiel z haben wir 5 + 3i. 47 00:03:09,700 --> 00:03:12,760 Der reelle Teil ist 5, 48 00:03:12,767 --> 00:03:17,238 also zählen wir 1, 2, 3, 4, 5 ab, 49 00:03:17,238 --> 00:03:18,321 und markieren die 5. 50 00:03:18,321 --> 00:03:20,107 Der imaginäre Teil ist 3. 51 00:03:20,107 --> 00:03:22,480 1, 2, 3. 52 00:03:22,480 --> 00:03:31,720 Auf der komplexen Ebene würden wir diese Zahl genau hier darstellen. 53 00:03:31,740 --> 00:03:36,220 So würden wir z auf der komplexen Ebene darstellen. 54 00:03:36,240 --> 00:03:38,793 +5 in die reelle Richtung, 55 00:03:38,793 --> 00:03:41,173 +3 in die imaginäre Richtung. 56 00:03:41,173 --> 00:03:43,284 Wir könnten weitere komplexe Zahlen darstellen. 57 00:03:43,284 --> 00:03:51,460 Nehmen wir z.B. die komplexe Zahl a = -2 + i. 58 00:03:51,460 --> 00:03:53,240 Wo würde ich sie darstellen? 59 00:03:53,260 --> 00:03:56,900 Der reelle Teil ist -2, 60 00:03:56,940 --> 00:04:01,440 und der imaginäre Teil ist 1, 61 00:04:01,440 --> 00:04:02,560 also gehen wir 1 nach oben. 62 00:04:02,563 --> 00:04:04,196 Genau hier. 63 00:04:04,196 --> 00:04:07,220 Das ist unsere komplexe Zahl. 64 00:04:07,220 --> 00:04:17,880 Unsere komplexe Zahl a wäre an diesem Punkt der komplexen Ebene. 65 00:04:17,900 --> 00:04:19,420 Machen wir noch ein Beispiel. 66 00:04:19,420 --> 00:04:29,500 Nehmen wir die komplexe Zahl b = 4 - 3i. 67 00:04:29,500 --> 00:04:30,800 Wo zeichnen wir sie ein? 68 00:04:30,809 --> 00:04:32,886 Wir zählen 1, 2, 3, 4, 69 00:04:32,886 --> 00:04:36,740 und dann -1, -2, -3. 70 00:04:36,740 --> 00:04:39,358 Wir kommen genau hier an. 71 00:04:39,360 --> 00:04:43,740 Das hier ist unsere komplexe Zahl b.