1
00:00:00,743 --> 00:00:04,583
I det meste af dit studie i matematik
har du lært om reelle tal.

2
00:00:04,583 --> 00:00:15,308
Reelle tal inkluderer 0, 1 og
0,333..., pi og e,

3
00:00:15,308 --> 00:00:17,535
og jeg kunne blive ved
med at nævne reelle tal.

4
00:00:17,535 --> 00:00:20,392
Disse tal er dem, der
er velkendte for dig.

5
00:00:20,392 --> 00:00:24,427
Så gjorde vi noget spændende,
da vi spurgte, hvad nu,

6
00:00:24,427 --> 00:00:28,535
hvis der er et tal, som kan
kvadreres og give -1?

7
00:00:28,535 --> 00:00:34,333
Vi definerede den ting, som
ganget med sig selv giver -1 som i.

8
00:00:34,630 --> 00:00:37,749
Vi definerede en hel ny kategori af tal,

9
00:00:37,749 --> 00:00:42,259
som du bør betragte som
multipla af den imaginære enhed.

10
00:00:42,259 --> 00:00:52,839
Imaginære tal kan være i og -i
og pi gange i og e gange i.

11
00:00:52,839 --> 00:00:58,783
Hvad sker der, når jeg kombinerer
imaginære og reelle tal?

12
00:00:58,783 --> 00:01:02,848
Hvis man har tal, der er summen eller
differensen af reelle og imaginære tal?

13
00:01:02,848 --> 00:01:08,244
For eksempel, jeg har tallet z

14
00:01:08,244 --> 00:01:15,632
-- z er en meget almindelig variabel,
når vi snakker om komplekse tal --

15
00:01:15,632 --> 00:01:27,748
z er lig med det reelle tal 5
plus det imaginære tal 3 gange i.

16
00:01:27,748 --> 00:01:31,647
Her har vi et reelt tal
plus et imaginært tal.

17
00:01:31,647 --> 00:01:34,702
Du er måske fristet til at lægge
dem sammen, men det kan du ikke.

18
00:01:34,702 --> 00:01:35,890
Det giver ikke mening.

19
00:01:35,890 --> 00:01:41,194
Vi vil visualisere det om et øjeblik,
men du kan ikke reducere dette yderligere.

20
00:01:41,194 --> 00:01:44,554
Du kan ikke lægge det reelle tal
til det imaginære tal.

21
00:01:44,711 --> 00:01:59,829
Et tal som dette med en reel del og en
imaginær del kaldes et komplekst tal.

22
00:01:59,829 --> 00:02:02,524
Det har en reel del og en imaginær del.

23
00:02:02,524 --> 00:02:04,484
Du vil støde på denne notation Re(z),

24
00:02:04,484 --> 00:02:07,061
og nogen vil spørge,
hvad er den reelle del?

25
00:02:07,061 --> 00:02:10,115
Hvad er den reelle del
af det komplekse tal z?

26
00:02:10,115 --> 00:02:13,879
Den er 5.

27
00:02:13,879 --> 00:02:20,198
Så spørger de, hvad er den imaginære
del Im(z) af det komplekse tal z?

28
00:02:20,251 --> 00:02:27,433
Typisk, når det er defineret således, 
så vil de vide, hvilket multiplum af i

29
00:02:27,433 --> 00:02:29,818
den imaginære del svarer til.

30
00:02:29,818 --> 00:02:34,414
Her bliver det 3.

31
00:02:34,414 --> 00:02:38,228
Vi kan visualisere det i to dimensioner.

32
00:02:38,228 --> 00:02:42,496
I stedet for et traditionelt
Cartesisk koordinatsystem,

33
00:02:42,496 --> 00:02:46,155
med reelle tal på både den vandrette
og den lodrette akse,

34
00:02:46,155 --> 00:02:56,185
når vi afbilder komplekse tal, så har vi
den imaginære del på den lodrette akse

35
00:02:56,200 --> 00:03:05,485
og den reelle del på den vandrette akse.

36
00:03:05,702 --> 00:03:09,706
For eksempel, z er 5 + 3i.

37
00:03:09,706 --> 00:03:17,238
Den reelle del er 5, så vi går
1, 2, 3, 4, 5.

38
00:03:17,238 --> 00:03:18,321
Det her er 5.

39
00:03:18,321 --> 00:03:22,597
Den imaginære del er 3.
Så 1, 2, 3.

40
00:03:22,597 --> 00:03:31,744
På det komplekse talplan kan vi
visualisere dette tal, således.

41
00:03:31,744 --> 00:03:36,239
Sådan visualiseres z
på det komplekse talplan.

42
00:03:36,239 --> 00:03:41,173
Det er 5, plus 5 i den reelle retning,
plus 3 i den imaginære retning.

43
00:03:41,173 --> 00:03:43,284
Vi kan afbilde endnu et komplekst tal.

44
00:03:43,284 --> 00:03:51,145
Lad os sige, vi har det komplekse tal a,
som er lig med -2 plus i.

45
00:03:51,178 --> 00:03:53,254
Hvor skal det afbildes?

46
00:03:53,254 --> 00:04:02,563
Den reelle del er -2 og den imaginære del
svarer til plus 1i, så vi går en op.

47
00:04:02,563 --> 00:04:04,196
Det bliver lige her.

48
00:04:04,196 --> 00:04:17,879
Dette her er vores komplekse tal a
i det komplekse talplan.

49
00:04:17,909 --> 00:04:19,426
Lad mig lave en mere.

50
00:04:19,426 --> 00:04:29,494
Lad os sige, vi har det komplekse tal b,
som er 4 - 3i.

51
00:04:29,494 --> 00:04:30,809
Hvor skal det afbildes?

52
00:04:30,809 --> 00:04:36,740
1, 2, 3 4 og lad mig se, -1,-2, -3

53
00:04:36,740 --> 00:04:39,358
-3 er lige her.

54
00:04:39,358 --> 00:04:43,045
Dette er vores komplekse tal b.