오늘은 수학이란 무엇인가에 대해서
여러분과 이야기하고자 합니다.
초등학교, 중학교, 고등학교에서는 모든 학생이 수학을 배우고
물론 여러분도 수학을 배우셨겠지만
'수학이란 무엇인가'에 대해서 생각한 적은 있으신가요?
'수학은 서툴다'라고 생각하는 분들이 많은 한편
'공식을 많이 외워 계산하는 것이 수학'이라는
인상을 가진 분들도 적지 않습니다.
여러분들은 어떠신가요?
'수학이란 무엇인가'란 질문에 대해
모든 수학자들이 똑같이 대답하는 것은 아닙니다.
하지만 '공식을 많이 외워 계산하는 것이 수학'
이라고 생각하는 수학자는 우선 없습니다.
이렇게 생각하는 사람은
수학을 한다는 것은 상당히 고통스럽지는 않을까라고 생각합니다.
역시 수학의 본질과 동떨어진 것을 수학이라고 믿는 것은
수학을 배우는 데에 큰 폐해가 될 것입니다.
그런 의미에서도 수학 본질에 대해
생각하고 이해하는 것은 의의가 있다고 생각합니다.
오늘은 수학에 관한 아이슈타인의 말
또는 우리는 수학에서 무엇을 탐구하는 것인가에 대해 음미하고
'수학이란 무엇인가'를 생각하고자 합니다.
아이슈타인은
'수학은 논리적개념의 시이다' 라고 말했습니다.
저는 이 표현이 좋아
여러분에게도 이 의미를 생각해 주셨으면 합니다.
우선 '논리적개념'이라는 말을 보여주듯이
수학은 논리적으로 엄밀한 것입니다.
한편 수학의 또 다른 중요한 요소가
'수학은 시이다' 라는 표현에 나타나 있습니다.
이것은 수학이 창조성(상상성)이 넘치는 것이며
예술적이기도 하는 것도 의미합니다.
여러분에게는
'논리적으로 엄밀하다'라는 것과
'상상성이 넘치는 것이다'라는 것은
상반되게 보일 수도 있습니다.
그러나 수학에서는 이 두 요소가
고도로 서로 보충하여 높입니다.
남은 시간 여러분도
이 아이슈타인의 훌륭한 말을 실감하실 수 있으리라 생각합니다.
그러면 우리는 수학에서 무엇을 탐구할 것인가 에 대해 생각해 보겠습니다.
'수학은 숫자를 탐구하는 것'이라고 생각하실 수도 있겠지만
수학에는 숫자를 다루지 않는 분야도 있습니다.
좀 더 보편적인 것을 생각하는 것이 수학의 본질을 이해하는 데 중요합니다.
수학자 하디는
'수학자는 만화가나 시인처럼 구조를 만들어내는 사람이다'라고 말하며
'수학은 구조를 탐구하는 것이다'라고 말했습니다.
이 말이 나타내듯이
여러 구조를 만들거나 찾아내거나 사용하는 것은
수학의 근간이 됩니다.
여러분들은
수학은 어떤 구조를 탐구하는 지 잘 모르는 것도 있을거라 생각합니다.
여기에 나타내고 있는 파스칼 삼각형을 사용해서
수학에서 다루는 구조에 대해 생각하고
그 과정에서 수학의 중요한 특징을 찾아내고자 합니다.
이 삼각형은 여러 곳에 나타납니다
예를들면 여러분은 학교에서
（x＋y) ² ＝x² + 2xy + y² 라고 배우셨을텐데요.
그 계수도 이 삼각형 3번째 줄에 나타납니다.
뭐 오늘은
이런 얘기는 그만하죠.
놀라울 정도로 많은 구조가 이 삼각형에 포함되어 있어
많은 중요한 수학의 개념들을 배울 수가 있습니다.
한 가지 꽤 쉬운 구조가 있는데
여러분 발견하셨나요?
아마 가장 알기 쉬운 것은 좌우대칭일 것입니다.
왼쪽 반에 나타낸 숫자가 오른쪽 반에 똑같이 나타낼 수 있습니다.
나중에 또 언급하겠지만 대칭성은 중요한 구조입니다.
각 위치에서 숫자가 어떻게 결정되는지 아십니까?
우선 '삼각형의' 좌변과 우변상의 숫자는 모두 1입니다.
다른 숫자는 위의 두 숫자의 합으로 되어있습니다.
예를 들면 2 = 1 + 1
３ ＝ １ + ２
６＝３ + ３입니다.
이 삼각형은 끝없이 이어지는데
이렇게 구조를 이해하면 숫자를 기억할 필요가 없고
머리 속에서 아주 간단히 계산을 하면서 이 삼각형을 만들 수 있습니다.
구조를 이해하고 사용하는 것의 중요성을 알 수 있는 간단한 예입니다.
그러면 이 삼각형에 나타난 홀수를 만드는 구조에 대해 알아보겠습니다.
첫 9줄에 나타나는 홀수
1, 3, 5, 7 등이네요-
의 위치가 여기에 흰색으로 표시되어 있습니다.
이처럼 홀수가 나타난 위치에 착안하면
재밌는 구조를 발견할 수 있습니다.
여러분 상상력을 발휘해서
128줄로 된 거대한 파스칼 삼각형을 머리에 떠올려 보세요.
이것이 9줄이니까
128줄이나 되면 꽤 커질 것입니다.
128줄에 나타난 홀수의 위치가
여기에 흰색으로 표시되어 있습니다.
이 그림에는 분명히 구조가 있습니다만
여러분은 그 구조를 나타낼 수 있나요?
우선 큰 삼각형이 있습니다만
잘 보면
삼각형이 3개의 조금 작은 삼각형으로 성립되고
더 자세히 보면 그 작은 삼각형 하나하나
예를들면 이 삼각형이
3개의 더 작은 삼각형으로 성립되어 있습니다.
이게 계속해서 이어 가네요.
전문적으로 이 구조는 '프랙탈'의 일종으로
전체 구조가 그 구성성분의 구조와 동일하게 되어있으며
이것을 '자기상사(自己相似)' 라고 합니다.
프랙탈 구조는
해안선
식물
결정
내장의 내벽 등
자연의 모든 곳에서 관찰할 수 있습니다.
이 프랙탈 구조를 기억해두세요.
끝날 무렵에 의외인 곳에서 나옵니다.
끝이 없지만 수학자로서는
여러분에게 보여주지 않으면 벌을 받을만 한 구조가
여기에 있으므로 소개합니다.
이처럼 삼각형에 사선을 그어
각 사선상에 있는 숫자의 합을 구합니다.
첫 사선의 합은 1
다음 사선의 합도 1
그 다음 사선의 합은 2네요.
이걸 계속 하다보면
여기에 제시된 수열이 나타납니다.
이것은 '피보나치 수열'이라고 하며
많은 수학적 분석에 나타나는 중요한 수열입니다.
아까 얘기한 프랙탈과 마찬가지로 이 수열도
자연에 존재하는 구조를 기술하는데 매우 유용합니다.
예를 들면 이 피보나치수를 한 변의 길이에 정사각형을
이와같이 나열합니다.
매우 깔끔하게 나열하네요.
왜 이처럼 깔끔하게 정사각형을 나열할 수 있는 것인가?
집에 가셔서 꼭 생각해보세요.
이것을 사용해서 생기는 나선은 자연에 존재하는 다양한 구조
예를 들면 조가비
은하
태풍 등을
효과적으로 나타낼 수 있습니다.
이렇게 파스칼 삼각형을 조금 수학적으로 고찰하는 것만으로도
많은 구조를 발견할 수 있습니다.
물론 수학에서는 다양한 연구대상이 있는데요.
어느 수학 분야에서도
어떤 형태로든 구조를 만들어 냅니다. 혹은 사용함으로써
사물을 이해하고 수학적 진리를 확립해 나갑니다.
이것을 이해하는 것은
수학의 본질을 이해하는 데 중요합니다.
또 여기서 수학의 중요한 특징인 몇 가지를 발견할 수 있습니다.
우리는 파스칼의 삼각형을 고찰하고 있고
프랙탈, 피보나치 수열 나선을 발견했습니다
그 밖에도 많은 구조를 발견할 수 있습니다.
이처럼
얼핏보면 아무관계 아닌듯한 다양한 개념, 구조가
깊은 곳에서 결부되어 있는 것이 수학에서는 자주 있습니다.
그리고 이 다양한 개념과 구조와 그 관련성을 진정으로 이해하기 위해서는
엄밀한 논리적 사고와 풍부한 상상력이 모두 필요합니다.
아무리 상상력이 풍부한 사람이라도
단순히 상상을 통해
이 개념들이 결부되어 있는 것을 인식하는 것은 불가능할 것입니다.
또한 논리적 사고만으로는
이 개념들을 상상할 수가 없습니다.
아이슈타인이 말한 '수학은 논리적 개념의 시이다'
라는 것을 실감할 수 있는 것이 아닐까요?
또 여기서 수학의 신기한 특징을 찾아낼 수 있습니다.
그것은 수학이
자연스럽게 존재하는 구조를 기술하는데 놀랄 정도로 유용하다는 것입니다.
갈릴레오는
'자연이라는 책은 수학으로 쓰여져있다'라고 말했고
파인만은 '수학을 이해하지 못하면
가장 심원한 우주의 아름다움을 이해하기 어렵다'라고 말했으며
또 위그너는
'자연과학의 수학은 불합리할 때까지 유용하다'라고 말했습니다.
자연과학과 공학의 수학이 불가결한 이유입니다.
이제 마지막으로 수학의 미에 대해 알아보겠습니다.
앞서 소개한 수학자 하디는
'수학 개념을 평가할 때 처음에 음미해야 할 점은
그 개념이 아름다운지 어떤지이다'라고 말하며
'추악한 수학이 존재할 여지는 없다' 라고도 했습니다.
여기에 수학의 본질에 있어 불가결한 요소인
'미의 탐구'가 표현되어 있습니다.
이것에 대해 생각해봅시다.
먼저 '미' 자체에 대해 생각할 필요가 있습니다.
여러분들은 어떤 것들을 '아름답다'라고 생각하십니까?
아름답다고 생각하는 것을 상상해 보세요.
후지산은 일본인에게 있어 특별한 존재라고 생각하지만
저 산을 보고 왜 우리는 '아름답다'라고 생각할까요?
아릅답죠?
뚜렷한 특징으로서
이 산은 어느 각도로 보나 거의 좌우대칭입니다.
수학적으로 이것은
중심축에 관한 '회전대칭성' 로서 나타낼 수 있습니다.
또 산의 윤곽이 매우 매끄럽지만
이것은 수학적으로는
곡선을 나타내는 함수와 그 미분가능성에 대해 나타낼 수 있습니다.
조금 어려운 전문용어가 나열되긴 했지만
이들은 앞서 고찰한 수학에 있어서 탐구하는 구조입니다.
이들의 특징과 개념은 아름다움과 결부되어 있을까요?
최근에는 우리의 심미안에 관한 다양한 과학적 연구가 진행되고 있으며
수학과 미의 관계도 계속 밝혀지고 있습니다.
어떤 연구에서는
동일한 정도의 데이터량을 가진 이미지 중에서
'아름답다'라고 인식된 이미지의 데이터 압축성이 높다는 사실이 확인되었습니다.
이 일에 대해 생각합니다.
우선 데이터가 압축할 수 있다는 것은 데이터를 작게 할 수 있다는 것입니다.
앞서 고찰한 파스칼의 삼각형은 좌우대칭으로
왼쪽 반에 나타난 숫자가 오른쪽 반에 비슷하게 나타납니다.
따라서 이 삼각형을 만드는데 모든 숫자와 데이터가 필요하지 않고
왼쪽 반에 있는 것만으로도 충분합니다.
왼쪽 반을 찍고 그것을 반전시켜 오른쪽에 찍으면 만들 수 있기 때문입니다.
이 경우 원래의 데이터가 약 반으로 압축 할 수 있게되고
파스칼 삼각형은 높은 데이터 압축성을 갖게 됩니다.
이것은 후지산 이미지에도 해당하는 일입니다.
후지산의 절반을 찍고 그것을 반전시켜 오른쪽으로 찍으면
진짜와 거의 같은 후지산의 사진을 만들 수가 있습니다.
따라서 후지산 이미지의 데이터 압축성도 높다고 말할 수 있고
이런 이미지들이 '아름답다'라고 인식된다는 것이 연구로 밝혀졌습니다.
이 사진에서 재밌는 건
후지산이 호수에 비쳐 상하대칭으로 되어있네요.
아름다움이 더해지고 있다고 생각되지 않습니까?
그러면 '아름답다'고 인식되는 이미지의 데이터 압축성이 높은 것으로 나타났는데
일반적으로 어떠한 이미지가 높은 데이터 압축성을 가질까요?
앞의 간단한 예에서 알 수 있듯이
이미지에 수학적 구조가 있는 경우 그 데이터 압축성은 높아집니다.
이는 앞서 언급한 연구에서 '아릅답다'로 인식된 이미지의 예입니다.
이 얼굴은
한 수학적 구조를 이용하여 매우 효율적으로 그려져 있으며
데이터 압축성이 매우 높은데
어떠한 수학적 구조가 사용되고 있다고 생각합니까?
어때요?
실은 아까 이 구조를 보고 있었습니다만
여기서는 프랙탈이 사용되고 있습니다.
이 일을 생각하면
우리들이 수학에서 탐구하는 '구조'는
'우리가 "아릅답다"고 생각하는 것 또는 거기에 공헌 하는 것이다'
라고 말할 수도 있습니다.
최근 행해진 뇌 연구는 이를 시사합니다.
이 그림에 녹색으로 표시된 뇌 부위 '내측안와전두피질'은
'아름답다'라고 인식된 풍경, 회화, 음악 등에
반응하는 것으로 알려져 있었는데
수학적 개념과 구조에 대해서도 마찬가지로 활성화 될 것으로 나타났습니다.
우리들의 뇌에 있어서 수학으로 탐구하는 '미'는
자연이나 예술에 있어서 '미'와 공통되는 점이 있습니다.
시간이 다 되었습니다만
'수학은 논리적 개념의 시이다'
'수학자는 구조를 만들어 내는 자다'
'우리들은 수학의 "아름다움"을 탐구한다'
와 같은 수학의 본질적 특징은
아마 여러분들에게 있어서 의외였던 게 아니었을까요?
또 우리가 뭘 '아름답다' 라고 생각하는지에 대해서
새로운 측면을 찾을 수도 있겠지요.
여러분은 수학에 대해서 생각 할 수 있을지도 모릅니다.
앞으로 아름다운 것을 봤을 때
여러분은 수학에 대해서 생각할 수 있을지도 모릅니다.
아닐 수도 있겠지만
그렿다면 굉장한 변화라고 생각지 않으신가요?
경청해 주셔서 감사합니다.
(박수)