1
00:00:15,010 --> 00:00:18,266
今日は 「数学とは何か」について

2
00:00:18,266 --> 00:00:20,452
皆さんと考えたいと思います

3
00:00:20,922 --> 00:00:26,496
小学校、中学、高校では
すべての生徒が数学を学びますし

4
00:00:26,832 --> 00:00:30,940
もちろん皆さんも
数学を学ばれたと思いますが

5
00:00:31,590 --> 00:00:35,976
「数学とは何か」について
考えられたことはあるでしょうか？

6
00:00:37,388 --> 00:00:40,500
「数学は苦手」と言われる方が多い一方

7
00:00:41,521 --> 00:00:44,585
「公式をたくさん覚えて計算するのが数学」

8
00:00:44,585 --> 00:00:47,533
といった印象をお持ちの方も少なくありません

9
00:00:48,053 --> 00:00:49,823
皆さんはどうでしょうか?

10
00:00:51,069 --> 00:00:53,875
「数学とは何か」という問いに対して

11
00:00:53,875 --> 00:00:57,684
すべての数学者が
一様に答えるわけではありません

12
00:00:58,784 --> 00:01:00,114
しかし

13
00:01:00,114 --> 00:01:05,309
「公式をたくさん覚えて計算するのが数学」
だと考える数学者はまず いません

14
00:01:06,209 --> 00:01:08,260
このように考える人にとって

15
00:01:08,260 --> 00:01:12,763
数学をすることは
かなり苦痛なのではないかと思います

16
00:01:13,740 --> 00:01:19,030
やはり 数学の本質とかけ離れたものを
数学だと思い込むのは

17
00:01:19,349 --> 00:01:22,929
数学を学ぶ上で 大きな弊害となります

18
00:01:23,699 --> 00:01:24,960
そういった意味でも

19
00:01:24,960 --> 00:01:29,576
数学の本質について考え 理解することには
意義があると思います

20
00:01:31,370 --> 00:01:35,572
今日は 数学に関する
アインシュタインとハーディーの言葉

21
00:01:36,142 --> 00:01:41,924
また 私たちは数学において
何を探求するのかについて吟味し

22
00:01:42,690 --> 00:01:45,268
「数学とは何か」を考えたいと思います

23
00:01:47,943 --> 00:01:49,523
アインシュタインは

24
00:01:49,523 --> 00:01:54,323
「数学は論理的概念の詩である」
と言いました

25
00:01:54,923 --> 00:01:56,870
私はこの表現が好きで

26
00:01:57,230 --> 00:02:00,988
皆さんにも この意味を
考えていただきたいと思います

27
00:02:02,490 --> 00:02:05,990
まず 「論理的概念」という言葉が示すように

28
00:02:06,795 --> 00:02:10,567
数学は 論理的に厳密なものです

29
00:02:11,700 --> 00:02:15,557
一方 数学のもう一つの重要な要素が

30
00:02:16,167 --> 00:02:19,940
「数学は詩である」
という表現に示されています

31
00:02:20,986 --> 00:02:24,706
これは 数学が創造性（想像性）に溢れるものであり

32
00:02:25,527 --> 00:02:28,037
芸術的でもあることを意味しています

33
00:02:29,097 --> 00:02:30,577
皆さんには

34
00:02:30,577 --> 00:02:33,918
「論理的に厳密である」ということと

35
00:02:34,388 --> 00:02:37,678
「想像性に溢れるものである」 ということは

36
00:02:38,420 --> 00:02:40,872
相反するものに映るかもしれません

37
00:02:41,635 --> 00:02:45,109
しかし数学においては この二つの要素が

38
00:02:45,109 --> 00:02:48,839
高度に 互いに補い合い 高め合います

39
00:02:50,301 --> 00:02:52,148
残りの時間 皆さんも

40
00:02:52,526 --> 00:02:57,230
このアインシュタインの素晴らしい言葉を
実感されるのではないかと思います

41
00:02:59,836 --> 00:03:04,695
では 私達は数学において何を探究するのか
について考えます

42
00:03:06,481 --> 00:03:11,102
「数学は数字を探究するもの」
と思われるかもしれませんが

43
00:03:11,652 --> 00:03:14,732
数学には 数字を扱わない分野もあります

44
00:03:15,992 --> 00:03:21,532
もう少し普遍的なものを考えることが
数学の本質を理解する上で重要です

45
00:03:23,614 --> 00:03:25,405
数学者ハーディーは

46
00:03:26,139 --> 00:03:32,839
「数学者とは 画家や詩人のように
構造を作り出す者である」と述べ

47
00:03:33,261 --> 00:03:36,981
「数学は構造を探究するものである」
と言いました

48
00:03:37,445 --> 00:03:39,175
この言葉が示すように

49
00:03:39,465 --> 00:03:43,936
様々な構造を作ったり
見出したり 使ったりするのは

50
00:03:44,586 --> 00:03:46,420
数学の根幹となリます

51
00:03:48,780 --> 00:03:49,831
皆さんにとって

52
00:03:49,831 --> 00:03:54,783
数学でどのような構造を探究するのか
よく分からないところもあるかと思います

53
00:03:55,540 --> 00:03:58,725
ここに示されている
パスカルの三角形を使って

54
00:03:58,725 --> 00:04:01,495
数学で扱う構造について考え

55
00:04:01,495 --> 00:04:05,507
その過程で 数学の重要な特徴を
見出したいと思います

56
00:04:06,926 --> 00:04:09,339
この三角形は 様々な所に現れます

57
00:04:10,489 --> 00:04:12,175
例えば 皆さんは学校で

58
00:04:12,685 --> 00:04:19,155
（x＋y) ² ＝x² + 2xy + y²
と学ばれたと思いますが

59
00:04:19,863 --> 00:04:23,638
その係数もこの三角形の３行目に現れます

60
00:04:24,643 --> 00:04:25,675
まあ今日は

61
00:04:25,675 --> 00:04:27,536
こういうことを話すのはやめましょう

62
00:04:29,225 --> 00:04:33,540
驚くほど多くの構造が
この三角形には含まれており

63
00:04:33,540 --> 00:04:36,620
多くの重要な数学の概念を
学ぶことができます

64
00:04:37,520 --> 00:04:40,490
１つ かなり分かりやすい
構造があるのですが

65
00:04:40,665 --> 00:04:42,607
皆さん見つけられますか？

66
00:04:43,287 --> 00:04:47,740
おそらく 最も分かりやすいのは
「左右対称である」ということでしょう

67
00:04:48,250 --> 00:04:52,853
左半分に現れる数字が
右半分に同じように現れます

68
00:04:53,459 --> 00:04:57,489
後でもまた触れますが
対称性は重要な構造です

69
00:04:59,532 --> 00:05:03,808
各位置で 数字がどのように
決定されているか分かりますか？

70
00:05:05,150 --> 00:05:09,450
まず ［三角形の］左辺と右辺上の
数字は全て１です

71
00:05:10,148 --> 00:05:13,924
その他の数字は その上の
２つの数字の和になっています

72
00:05:14,508 --> 00:05:16,413
例えば ２＝１＋１

73
00:05:17,068 --> 00:05:18,714
３ ＝ １ + ２

74
00:05:18,714 --> 00:05:20,379
６＝３ + ３ です

75
00:05:21,165 --> 00:05:24,698
この三角形は 限りなく続くものですが

76
00:05:24,970 --> 00:05:28,816
このように構造を理解すると
数字を覚える必要がなく

77
00:05:29,292 --> 00:05:34,437
頭の中でごく簡単な計算をしながら
この三角形を作ることができます

78
00:05:35,379 --> 00:05:40,286
構造を理解し 使うことの
重要性がわかる簡単な例です

79
00:05:42,484 --> 00:05:47,363
では この三角形に現れる
奇数が作る構造について考えます

80
00:05:48,158 --> 00:05:51,618
最初の９行に現れる奇数

81
00:05:51,618 --> 00:05:53,598
１、３、５、７等ですね —

82
00:05:53,598 --> 00:05:56,315
の位置がここに白色で示されています

83
00:05:57,252 --> 00:06:01,746
このように 奇数が現れる位置に着目すると

84
00:06:02,082 --> 00:06:04,545
面白い構造を見つけることができます

85
00:06:04,967 --> 00:06:07,593
皆さん 想像力を働かせて

86
00:06:08,277 --> 00:06:14,600
128行からなる 巨大なパスカルの三角形を
頭に描いてみてください

87
00:06:15,440 --> 00:06:17,100
これが９行ですから

88
00:06:17,100 --> 00:06:20,656
128行もあると
かなり大きなものになるはずです

89
00:06:22,152 --> 00:06:26,215
その128行に現れる奇数の位置が

90
00:06:26,215 --> 00:06:28,631
ここに白で示されています

91
00:06:29,698 --> 00:06:32,384
この図には 明らかに構造がありますが

92
00:06:32,582 --> 00:06:36,192
皆さんはその構造を
言い表すことができますか？

93
00:06:37,176 --> 00:06:39,694
まず 大きな三角形がありますが

94
00:06:40,004 --> 00:06:41,231
よく見ると

95
00:06:41,231 --> 00:06:46,269
その三角形が ３つの少し小さな
三角形から成り立っており

96
00:06:46,769 --> 00:06:50,105
さらによく見ると
その小さな三角形の１つ１つ

97
00:06:50,774 --> 00:06:52,887
例えばこの三角形が

98
00:06:52,887 --> 00:06:56,227
３つの より小さい三角形から
成り立っています

99
00:06:56,951 --> 00:06:59,170
これが 続いて行きますね

100
00:07:02,370 --> 00:07:06,164
専門的には この構造は
「フラクタル」の一種で

101
00:07:06,474 --> 00:07:11,784
全体の構造が その構成部分の
構造と同じになっており

102
00:07:11,784 --> 00:07:13,910
これを「自己相似」といいます

103
00:07:14,717 --> 00:07:16,378
フラクタル構造は

104
00:07:16,528 --> 00:07:17,774
海岸線

105
00:07:17,774 --> 00:07:18,822
植物

106
00:07:18,822 --> 00:07:19,962
結晶

107
00:07:19,962 --> 00:07:21,494
内臓の内壁など

108
00:07:21,684 --> 00:07:24,984
自然のあらゆる所で観察できます

109
00:07:25,684 --> 00:07:28,203
この「フラクタル構造」を
覚えておいてください

110
00:07:28,593 --> 00:07:31,570
終わり近くに 意外なところで出てきます

111
00:07:33,486 --> 00:07:36,363
きりがないのですが
数学者としては

112
00:07:36,363 --> 00:07:39,523
皆さんにお見せしないと
バチが当たるような構造が

113
00:07:39,573 --> 00:07:41,753
ここにありますので 紹介します

114
00:07:42,040 --> 00:07:44,662
このように 三角形に斜線を引き

115
00:07:44,662 --> 00:07:48,470
それぞれの斜線上にある
数字の和を求めます

116
00:07:49,358 --> 00:07:51,339
最初の斜線の和は１

117
00:07:52,115 --> 00:07:53,856
次の斜線の和も１

118
00:07:54,386 --> 00:07:56,356
その次の斜線の和は２ですね

119
00:07:57,256 --> 00:07:58,915
これを続けていくと

120
00:07:58,915 --> 00:08:01,755
ここに示されている数列が現れます

121
00:08:02,695 --> 00:08:05,409
これは「フィボナッチ数列」と呼ばれ

122
00:08:05,409 --> 00:08:10,310
多くの数学的分析に現れる 重要な数列です

123
00:08:11,250 --> 00:08:15,089
先ほどのフラクタルと同様 この数列も

124
00:08:15,210 --> 00:08:19,736
自然に存在する構造を
記述するのにとても有効です

125
00:08:20,539 --> 00:08:25,408
例えば このフィボナッチ数を
一辺の長さに持つ正方形を

126
00:08:25,808 --> 00:08:28,179
このように並べます

127
00:08:29,275 --> 00:08:31,624
とても綺麗に並びますね

128
00:08:32,821 --> 00:08:36,660
なぜ このように綺麗に
正方形を並べることができるのか？

129
00:08:37,390 --> 00:08:39,822
家に帰って 是非考えてみてください

130
00:08:40,835 --> 00:08:46,626
これを使ってできる螺旋は
自然に存在する様々な構造

131
00:08:48,248 --> 00:08:50,566
例えば 貝殻

132
00:08:51,336 --> 00:08:52,509
銀河

133
00:08:52,509 --> 00:08:53,643
台風などを

134
00:08:53,643 --> 00:08:56,009
効果的に表すことができます

135
00:08:58,127 --> 00:09:03,257
このように パスカルの三角形を
少し数学的に考察するだけでも

136
00:09:03,257 --> 00:09:05,917
多くの構造を見つけることができます

137
00:09:06,264 --> 00:09:10,304
もちろん 数学には
多種多様な研究対象がありますが

138
00:09:10,782 --> 00:09:13,012
どの数学の分野においても

139
00:09:13,079 --> 00:09:18,219
何らかの形で構造を作る 見いだす
あるいは使うことによって

140
00:09:18,219 --> 00:09:21,920
物事を理解し 数学的真理を確立していきます

141
00:09:22,792 --> 00:09:24,802
このことを理解することは

142
00:09:24,802 --> 00:09:27,361
数学の本質を理解する上で重要です

143
00:09:29,593 --> 00:09:34,137
またここで 数学の重要な特徴の
幾つかを見いだすことができます

144
00:09:35,402 --> 00:09:38,762
私達は パスカルの三角形を考察していて

145
00:09:39,114 --> 00:09:43,622
フラクタル、フィボナッチ数列
螺旋を見つけました

146
00:09:44,541 --> 00:09:47,451
他にも 多くの構造を
見つけることができます

147
00:09:48,201 --> 00:09:49,426
このように

148
00:09:49,766 --> 00:09:54,746
一見何の関わりもないような
様々な概念・構造が

149
00:09:55,313 --> 00:09:59,679
深い所で結びついていることが
数学においてはよくあります

150
00:10:00,911 --> 00:10:07,869
そして これらの多種多様な概念・構造と
その関連性を真に理解するためには

151
00:10:08,598 --> 00:10:13,864
厳密な論理的思考と
豊かな想像力の両方が必要です

152
00:10:15,294 --> 00:10:17,613
いくら想像力が豊かな人でも

153
00:10:17,663 --> 00:10:19,673
単に想像することによって

154
00:10:19,983 --> 00:10:24,013
これらの概念が結びついていることを
認識するのは不可能でしょう

155
00:10:24,926 --> 00:10:27,836
また 論理的思考だけでは

156
00:10:28,230 --> 00:10:31,431
これらの概念を
発想することはできません

157
00:10:31,956 --> 00:10:36,499
アインシュタインが言う
「数学は論理的概念の詩である」

158
00:10:36,499 --> 00:10:39,615
ということを 実感できるの
ではないでしょうか？

159
00:10:41,521 --> 00:10:46,699
またここで 数学の不思議な特徴を
見いだすことができます

160
00:10:47,356 --> 00:10:48,998
それは 数学が

161
00:10:49,508 --> 00:10:56,060
自然に存在する構造を記述するのに
驚くほど有効であるということです

162
00:10:57,202 --> 00:10:58,523
ガリレオは

163
00:10:58,523 --> 00:11:02,605
「自然という書物は
数学で書かれている」と述べ

164
00:11:03,230 --> 00:11:06,593
ファインマンは
「数学を理解しないと

165
00:11:07,103 --> 00:11:12,517
最も深遠な宇宙の美しさを
理解することは難しい」と述べ

166
00:11:13,147 --> 00:11:14,627
またウィグナーは

167
00:11:14,627 --> 00:11:20,650
「自然科学において数学は
理不尽なまでに有効である」と述べました

168
00:11:21,456 --> 00:11:25,497
自然科学・工学において
数学が不可欠である所以です

169
00:11:25,996 --> 00:11:30,628
では最後に 数学と美について考えます

170
00:11:31,489 --> 00:11:34,057
先ほど紹介した数学者ハーディーは

171
00:11:35,016 --> 00:11:40,749
「数学の概念を評価する際に
最初に吟味するべき点は

172
00:11:41,158 --> 00:11:45,246
その概念が美しいかどうかである」とも述べ

173
00:11:46,051 --> 00:11:49,965
「醜い数学が存在する余地はない」
とも述べました

174
00:11:50,586 --> 00:11:54,617
ここに 数学の本質において
不可欠な要素である

175
00:11:54,647 --> 00:11:57,526
「美の探究」が言い表されています

176
00:11:58,473 --> 00:12:00,393
このことについて考えます

177
00:12:01,833 --> 00:12:06,303
まず 「美」自体について
考えることが必要です

178
00:12:07,023 --> 00:12:12,008
皆さんは どういったものを
「美しい」と思われますか？

179
00:12:13,249 --> 00:12:16,521
美しいと思うものを想像してみてください

180
00:12:17,969 --> 00:12:22,090
富士山は 日本人にとって
特別な存在だと思いますが

181
00:12:22,636 --> 00:12:27,976
あの山を見て なぜ私達は
「美しい」と思うのでしょうか？

182
00:12:29,967 --> 00:12:31,969
美しいですよね？

183
00:12:33,341 --> 00:12:35,229
明らかな特徴として

184
00:12:35,229 --> 00:12:38,929
この山は どの角度から見ても
ほぼ 左右対称です

185
00:12:39,756 --> 00:12:41,062
数学的にはこれは

186
00:12:41,062 --> 00:12:45,372
中心軸に関する「回転対称性」
として表すことができます

187
00:12:46,117 --> 00:12:49,445
また山の輪郭がとても滑らかですが

188
00:12:49,494 --> 00:12:51,624
これは数学的には

189
00:12:51,624 --> 00:12:56,391
曲線を表す関数とその微分可能性に
よって表すことができます

190
00:12:57,377 --> 00:13:00,739
少し難しい専門用語が並びましたが

191
00:13:01,009 --> 00:13:07,719
これらは 先ほど考察した
数学において探究する構造です

192
00:13:08,612 --> 00:13:14,517
これらの特徴・概念は
美と結びついているのでしょうか？

193
00:13:16,780 --> 00:13:23,407
近年 我々の審美眼に関する
様々な科学的研究が行われており

194
00:13:23,982 --> 00:13:27,326
数学と美の関わりも 解明されつつあります

195
00:13:28,331 --> 00:13:29,757
ある研究では

196
00:13:30,621 --> 00:13:33,254
同程度のデータ量を持つ画像の中で

197
00:13:33,394 --> 00:13:38,654
「美しい」と認識された画像の
データ圧縮性が高いことが示されました

198
00:13:39,486 --> 00:13:41,333
このことについて考えます

199
00:13:42,353 --> 00:13:47,687
まず データが圧縮できるということは
データを小さくできるということです

200
00:13:48,561 --> 00:13:52,046
先ほど考察した
パスカルの三角形は 左右対称で

201
00:13:52,482 --> 00:13:57,078
左半分に現れる数字が
右半分に同じように現れます

202
00:13:57,610 --> 00:14:03,156
したがって この三角形を作るのに
すべての数字・データが必要ではなく

203
00:14:03,669 --> 00:14:07,332
左半分にあるものだけで十分です

204
00:14:07,676 --> 00:14:12,649
左半分を写して それを反転させて
右に写せば作れるからです

205
00:14:13,304 --> 00:14:18,504
この場合 元のデータが
約半分に圧縮できることになり

206
00:14:19,291 --> 00:14:22,949
パスカルの三角形は
高いデータ圧縮性を持つことになります

207
00:14:24,570 --> 00:14:28,016
これは 富士山の画像にも
当てはまることです

208
00:14:28,538 --> 00:14:33,359
富士山の左半分を写して
それを反転させて右に写せば

209
00:14:33,891 --> 00:14:37,393
本物とほぼ変わらない
富士山の写真を作ることができます

210
00:14:37,983 --> 00:14:41,704
よって 富士山の画像の
データ圧縮性も高いと言え

211
00:14:42,126 --> 00:14:47,305
このような画像が「美しい」と
認識されることが研究で示されました

212
00:14:48,911 --> 00:14:50,973
この写真で面白いのは

213
00:14:50,973 --> 00:14:56,623
富士山が湖に写っていて
上下対称にもなっていますね

214
00:14:57,953 --> 00:15:01,167
美しさが増していると思いませんか？

215
00:15:03,277 --> 00:15:09,925
では 「美しい」と認識される画像の
データ圧縮性が高いことが示されたのですが

216
00:15:10,349 --> 00:15:15,339
一般に どのような画像が
高いデータ圧縮性を持つのでしょうか？

217
00:15:16,687 --> 00:15:19,192
先ほどの簡単な例からもわかるように

218
00:15:19,548 --> 00:15:25,191
画像に数学的構造がある場合
そのデータ圧縮性は高くなります

219
00:15:26,779 --> 00:15:32,463
これは 先ほど述べた研究において
「美しい」と認識された画像の例です

220
00:15:33,566 --> 00:15:35,191
この顔は

221
00:15:35,191 --> 00:15:40,376
ある数学的構造を用いて
非常に効率よく描かれており

222
00:15:40,696 --> 00:15:43,326
データ圧縮性がとても高いのですが

223
00:15:44,057 --> 00:15:48,097
どのような数学的構造が
使われていると思いますか？

224
00:15:49,599 --> 00:15:51,161
どうでしょう？

225
00:15:52,211 --> 00:15:55,667
実は先ほど この構造を見ていたのですけどね

226
00:15:56,615 --> 00:16:00,502
ここでは フラクタルが使われています

227
00:16:02,060 --> 00:16:04,454
このことを考えると

228
00:16:04,454 --> 00:16:08,668
私達が数学において
探究するもの 「構造」は

229
00:16:09,290 --> 00:16:14,991
「私達にが『美しい』と思うもの
またはそれに貢献するものである」

230
00:16:15,410 --> 00:16:17,141
と言うこともできます

231
00:16:19,212 --> 00:16:23,898
近年行われた脳研究も このことを示唆します

232
00:16:24,978 --> 00:16:30,168
この図に緑で示されている脳の部位
「内側眼窩前頭皮質」は

233
00:16:30,794 --> 00:16:36,841
「美しい」と認識される
風景・絵画・音楽などに

234
00:16:36,841 --> 00:16:39,421
反応することで知られていたのですが

235
00:16:39,912 --> 00:16:45,901
数学的概念・構造に対しても
同様に活性化することが分かりました

236
00:16:46,954 --> 00:16:50,993
我々の脳にとって
数学で探究する「美」は

237
00:16:51,448 --> 00:16:56,863
自然や芸術における
「美」と共通するところがあります

238
00:16:59,342 --> 00:17:00,998
時間となりましたが

239
00:17:01,950 --> 00:17:05,095
「数学は 論理的概念の詩である」

240
00:17:06,422 --> 00:17:10,759
「数学者は 構造を作り出す者である」

241
00:17:11,942 --> 00:17:16,630
「私達は数学において
『美しい』ものを探究する」

242
00:17:16,750 --> 00:17:19,891
といった数学の本質的な特徴は

243
00:17:20,140 --> 00:17:24,005
おそらく皆さんにとって
意外だったのではないでしょうか？

244
00:17:25,554 --> 00:17:31,040
また私達が 何を「美しい」
と思うのかについて

245
00:17:31,040 --> 00:17:35,043
新たな側面を 見出して
いただけたのではないでしょうか？

246
00:17:36,581 --> 00:17:39,751
これから 何か美しいものを見た時

247
00:17:39,801 --> 00:17:43,596
皆さんは数学のことを
考えられるかもしれません

248
00:17:44,414 --> 00:17:45,804
もしかしたら

249
00:17:46,417 --> 00:17:49,546
それは 大きな変化ではないでしょうか？

250
00:17:50,047 --> 00:17:52,344
ご静聴ありがとうございました

251
00:17:52,627 --> 00:17:54,615
（拍手）