0:00:15.010,0:00:18.266
今日は 「数学とは何か」について

0:00:18.266,0:00:20.452
皆さんと考えたいと思います

0:00:20.922,0:00:26.496
小学校、中学、高校では[br]すべての生徒が数学を学びますし

0:00:26.832,0:00:30.940
もちろん皆さんも[br]数学を学ばれたと思いますが

0:00:31.590,0:00:35.976
「数学とは何か」について[br]考えられたことはあるでしょうか？

0:00:37.388,0:00:40.500
「数学は苦手」と言われる方が多い一方

0:00:41.521,0:00:44.585
「公式をたくさん覚えて計算するのが数学」

0:00:44.585,0:00:47.533
といった印象をお持ちの方も少なくありません

0:00:48.053,0:00:49.823
皆さんはどうでしょうか?

0:00:51.069,0:00:53.875
「数学とは何か」という問いに対して

0:00:53.875,0:00:57.684
すべての数学者が[br]一様に答えるわけではありません

0:00:58.784,0:01:00.114
しかし

0:01:00.114,0:01:05.309
「公式をたくさん覚えて計算するのが数学」[br]だと考える数学者はまず いません

0:01:06.209,0:01:08.260
このように考える人にとって

0:01:08.260,0:01:12.763
数学をすることは[br]かなり苦痛なのではないかと思います

0:01:13.740,0:01:19.030
やはり 数学の本質とかけ離れたものを[br]数学だと思い込むのは

0:01:19.349,0:01:22.929
数学を学ぶ上で 大きな弊害となります

0:01:23.699,0:01:24.960
そういった意味でも

0:01:24.960,0:01:29.576
数学の本質について考え 理解することには[br]意義があると思います

0:01:31.370,0:01:35.572
今日は 数学に関する[br]アインシュタインとハーディーの言葉

0:01:36.142,0:01:41.924
また 私たちは数学において[br]何を探求するのかについて吟味し

0:01:42.690,0:01:45.268
「数学とは何か」を考えたいと思います

0:01:47.943,0:01:49.523
アインシュタインは

0:01:49.523,0:01:54.323
「数学は論理的概念の詩である」[br]と言いました

0:01:54.923,0:01:56.870
私はこの表現が好きで

0:01:57.230,0:02:00.988
皆さんにも この意味を[br]考えていただきたいと思います

0:02:02.490,0:02:05.990
まず 「論理的概念」という言葉が示すように

0:02:06.795,0:02:10.567
数学は 論理的に厳密なものです

0:02:11.700,0:02:15.557
一方 数学のもう一つの重要な要素が

0:02:16.167,0:02:19.940
「数学は詩である」[br]という表現に示されています

0:02:20.986,0:02:24.706
これは 数学が創造性（想像性）に溢れるものであり

0:02:25.527,0:02:28.037
芸術的でもあることを意味しています

0:02:29.097,0:02:30.577
皆さんには

0:02:30.577,0:02:33.918
「論理的に厳密である」ということと

0:02:34.388,0:02:37.678
「想像性に溢れるものである」 ということは

0:02:38.420,0:02:40.872
相反するものに映るかもしれません

0:02:41.635,0:02:45.109
しかし数学においては この二つの要素が

0:02:45.109,0:02:48.839
高度に 互いに補い合い 高め合います

0:02:50.301,0:02:52.148
残りの時間 皆さんも

0:02:52.526,0:02:57.230
このアインシュタインの素晴らしい言葉を[br]実感されるのではないかと思います

0:02:59.836,0:03:04.695
では 私達は数学において何を探究するのか[br]について考えます

0:03:06.481,0:03:11.102
「数学は数字を探究するもの」[br]と思われるかもしれませんが

0:03:11.652,0:03:14.732
数学には 数字を扱わない分野もあります

0:03:15.992,0:03:21.532
もう少し普遍的なものを考えることが[br]数学の本質を理解する上で重要です

0:03:23.614,0:03:25.405
数学者ハーディーは

0:03:26.139,0:03:32.839
「数学者とは 画家や詩人のように[br]構造を作り出す者である」と述べ

0:03:33.261,0:03:36.981
「数学は構造を探究するものである」[br]と言いました

0:03:37.445,0:03:39.175
この言葉が示すように

0:03:39.465,0:03:43.936
様々な構造を作ったり[br]見出したり 使ったりするのは

0:03:44.586,0:03:46.420
数学の根幹となリます

0:03:48.780,0:03:49.831
皆さんにとって

0:03:49.831,0:03:54.783
数学でどのような構造を探究するのか[br]よく分からないところもあるかと思います

0:03:55.540,0:03:58.725
ここに示されている[br]パスカルの三角形を使って

0:03:58.725,0:04:01.495
数学で扱う構造について考え

0:04:01.495,0:04:05.507
その過程で 数学の重要な特徴を[br]見出したいと思います

0:04:06.926,0:04:09.339
この三角形は 様々な所に現れます

0:04:10.489,0:04:12.175
例えば 皆さんは学校で

0:04:12.685,0:04:19.155
（x＋y) ² ＝x² + 2xy + y²[br]と学ばれたと思いますが

0:04:19.863,0:04:23.638
その係数もこの三角形の３行目に現れます

0:04:24.643,0:04:25.675
まあ今日は

0:04:25.675,0:04:27.536
こういうことを話すのはやめましょう

0:04:29.225,0:04:33.540
驚くほど多くの構造が[br]この三角形には含まれており

0:04:33.540,0:04:36.620
多くの重要な数学の概念を[br]学ぶことができます

0:04:37.520,0:04:40.490
１つ かなり分かりやすい[br]構造があるのですが

0:04:40.665,0:04:42.607
皆さん見つけられますか？

0:04:43.287,0:04:47.740
おそらく 最も分かりやすいのは[br]「左右対称である」ということでしょう

0:04:48.250,0:04:52.853
左半分に現れる数字が[br]右半分に同じように現れます

0:04:53.459,0:04:57.489
後でもまた触れますが[br]対称性は重要な構造です

0:04:59.532,0:05:03.808
各位置で 数字がどのように[br]決定されているか分かりますか？

0:05:05.150,0:05:09.450
まず ［三角形の］左辺と右辺上の[br]数字は全て１です

0:05:10.148,0:05:13.924
その他の数字は その上の[br]２つの数字の和になっています

0:05:14.508,0:05:16.413
例えば ２＝１＋１

0:05:17.068,0:05:18.714
３ ＝ １ + ２

0:05:18.714,0:05:20.379
６＝３ + ３ です

0:05:21.165,0:05:24.698
この三角形は 限りなく続くものですが

0:05:24.970,0:05:28.816
このように構造を理解すると[br]数字を覚える必要がなく

0:05:29.292,0:05:34.437
頭の中でごく簡単な計算をしながら[br]この三角形を作ることができます

0:05:35.379,0:05:40.286
構造を理解し 使うことの[br]重要性がわかる簡単な例です

0:05:42.484,0:05:47.363
では この三角形に現れる[br]奇数が作る構造について考えます

0:05:48.158,0:05:51.618
最初の９行に現れる奇数

0:05:51.618,0:05:53.598
１、３、５、７等ですね —

0:05:53.598,0:05:56.315
の位置がここに白色で示されています

0:05:57.252,0:06:01.746
このように 奇数が現れる位置に着目すると

0:06:02.082,0:06:04.545
面白い構造を見つけることができます

0:06:04.967,0:06:07.593
皆さん 想像力を働かせて

0:06:08.277,0:06:14.600
128行からなる 巨大なパスカルの三角形を[br]頭に描いてみてください

0:06:15.440,0:06:17.100
これが９行ですから

0:06:17.100,0:06:20.656
128行もあると[br]かなり大きなものになるはずです

0:06:22.152,0:06:26.215
その128行に現れる奇数の位置が

0:06:26.215,0:06:28.631
ここに白で示されています

0:06:29.698,0:06:32.384
この図には 明らかに構造がありますが

0:06:32.582,0:06:36.192
皆さんはその構造を[br]言い表すことができますか？

0:06:37.176,0:06:39.694
まず 大きな三角形がありますが

0:06:40.004,0:06:41.231
よく見ると

0:06:41.231,0:06:46.269
その三角形が ３つの少し小さな[br]三角形から成り立っており

0:06:46.769,0:06:50.105
さらによく見ると[br]その小さな三角形の１つ１つ

0:06:50.774,0:06:52.887
例えばこの三角形が

0:06:52.887,0:06:56.227
３つの より小さい三角形から[br]成り立っています

0:06:56.951,0:06:59.170
これが 続いて行きますね

0:07:02.370,0:07:06.164
専門的には この構造は[br]「フラクタル」の一種で

0:07:06.474,0:07:11.784
全体の構造が その構成部分の[br]構造と同じになっており

0:07:11.784,0:07:13.910
これを「自己相似」といいます

0:07:14.717,0:07:16.378
フラクタル構造は

0:07:16.528,0:07:17.774
海岸線

0:07:17.774,0:07:18.822
植物

0:07:18.822,0:07:19.962
結晶

0:07:19.962,0:07:21.494
内臓の内壁など

0:07:21.684,0:07:24.984
自然のあらゆる所で観察できます

0:07:25.684,0:07:28.203
この「フラクタル構造」を[br]覚えておいてください

0:07:28.593,0:07:31.570
終わり近くに 意外なところで出てきます

0:07:33.486,0:07:36.363
きりがないのですが[br]数学者としては

0:07:36.363,0:07:39.523
皆さんにお見せしないと[br]バチが当たるような構造が

0:07:39.573,0:07:41.753
ここにありますので 紹介します

0:07:42.040,0:07:44.662
このように 三角形に斜線を引き

0:07:44.662,0:07:48.470
それぞれの斜線上にある[br]数字の和を求めます

0:07:49.358,0:07:51.339
最初の斜線の和は１

0:07:52.115,0:07:53.856
次の斜線の和も１

0:07:54.386,0:07:56.356
その次の斜線の和は２ですね

0:07:57.256,0:07:58.915
これを続けていくと

0:07:58.915,0:08:01.755
ここに示されている数列が現れます

0:08:02.695,0:08:05.409
これは「フィボナッチ数列」と呼ばれ

0:08:05.409,0:08:10.310
多くの数学的分析に現れる 重要な数列です

0:08:11.250,0:08:15.089
先ほどのフラクタルと同様 この数列も

0:08:15.210,0:08:19.736
自然に存在する構造を[br]記述するのにとても有効です

0:08:20.539,0:08:25.408
例えば このフィボナッチ数を[br]一辺の長さに持つ正方形を

0:08:25.808,0:08:28.179
このように並べます

0:08:29.275,0:08:31.624
とても綺麗に並びますね

0:08:32.821,0:08:36.660
なぜ このように綺麗に[br]正方形を並べることができるのか？

0:08:37.390,0:08:39.822
家に帰って 是非考えてみてください

0:08:40.835,0:08:46.626
これを使ってできる螺旋は[br]自然に存在する様々な構造

0:08:48.248,0:08:50.566
例えば 貝殻

0:08:51.336,0:08:52.509
銀河

0:08:52.509,0:08:53.643
台風などを

0:08:53.643,0:08:56.009
効果的に表すことができます

0:08:58.127,0:09:03.257
このように パスカルの三角形を[br]少し数学的に考察するだけでも

0:09:03.257,0:09:05.917
多くの構造を見つけることができます

0:09:06.264,0:09:10.304
もちろん 数学には[br]多種多様な研究対象がありますが

0:09:10.782,0:09:13.012
どの数学の分野においても

0:09:13.079,0:09:18.219
何らかの形で構造を作る 見いだす[br]あるいは使うことによって

0:09:18.219,0:09:21.920
物事を理解し 数学的真理を確立していきます

0:09:22.792,0:09:24.802
このことを理解することは

0:09:24.802,0:09:27.361
数学の本質を理解する上で重要です

0:09:29.593,0:09:34.137
またここで 数学の重要な特徴の[br]幾つかを見いだすことができます

0:09:35.402,0:09:38.762
私達は パスカルの三角形を考察していて

0:09:39.114,0:09:43.622
フラクタル、フィボナッチ数列[br]螺旋を見つけました

0:09:44.541,0:09:47.451
他にも 多くの構造を[br]見つけることができます

0:09:48.201,0:09:49.426
このように

0:09:49.766,0:09:54.746
一見何の関わりもないような[br]様々な概念・構造が

0:09:55.313,0:09:59.679
深い所で結びついていることが[br]数学においてはよくあります

0:10:00.911,0:10:07.869
そして これらの多種多様な概念・構造と[br]その関連性を真に理解するためには

0:10:08.598,0:10:13.864
厳密な論理的思考と[br]豊かな想像力の両方が必要です

0:10:15.294,0:10:17.613
いくら想像力が豊かな人でも

0:10:17.663,0:10:19.673
単に想像することによって

0:10:19.983,0:10:24.013
これらの概念が結びついていることを[br]認識するのは不可能でしょう

0:10:24.926,0:10:27.836
また 論理的思考だけでは

0:10:28.230,0:10:31.431
これらの概念を[br]発想することはできません

0:10:31.956,0:10:36.499
アインシュタインが言う[br]「数学は論理的概念の詩である」

0:10:36.499,0:10:39.615
ということを 実感できるの[br]ではないでしょうか？

0:10:41.521,0:10:46.699
またここで 数学の不思議な特徴を[br]見いだすことができます

0:10:47.356,0:10:48.998
それは 数学が

0:10:49.508,0:10:56.060
自然に存在する構造を記述するのに[br]驚くほど有効であるということです

0:10:57.202,0:10:58.523
ガリレオは

0:10:58.523,0:11:02.605
「自然という書物は[br]数学で書かれている」と述べ

0:11:03.230,0:11:06.593
ファインマンは[br]「数学を理解しないと

0:11:07.103,0:11:12.517
最も深遠な宇宙の美しさを[br]理解することは難しい」と述べ

0:11:13.147,0:11:14.627
またウィグナーは

0:11:14.627,0:11:20.650
「自然科学において数学は[br]理不尽なまでに有効である」と述べました

0:11:21.456,0:11:25.497
自然科学・工学において[br]数学が不可欠である所以です

0:11:25.996,0:11:30.628
では最後に 数学と美について考えます

0:11:31.489,0:11:34.057
先ほど紹介した数学者ハーディーは

0:11:35.016,0:11:40.749
「数学の概念を評価する際に[br]最初に吟味するべき点は

0:11:41.158,0:11:45.246
その概念が美しいかどうかである」とも述べ

0:11:46.051,0:11:49.965
「醜い数学が存在する余地はない」[br]とも述べました

0:11:50.586,0:11:54.617
ここに 数学の本質において[br]不可欠な要素である

0:11:54.647,0:11:57.526
「美の探究」が言い表されています

0:11:58.473,0:12:00.393
このことについて考えます

0:12:01.833,0:12:06.303
まず 「美」自体について[br]考えることが必要です

0:12:07.023,0:12:12.008
皆さんは どういったものを[br]「美しい」と思われますか？

0:12:13.249,0:12:16.521
美しいと思うものを想像してみてください

0:12:17.969,0:12:22.090
富士山は 日本人にとって[br]特別な存在だと思いますが

0:12:22.636,0:12:27.976
あの山を見て なぜ私達は[br]「美しい」と思うのでしょうか？

0:12:29.967,0:12:31.969
美しいですよね？

0:12:33.341,0:12:35.229
明らかな特徴として

0:12:35.229,0:12:38.929
この山は どの角度から見ても[br]ほぼ 左右対称です

0:12:39.756,0:12:41.062
数学的にはこれは

0:12:41.062,0:12:45.372
中心軸に関する「回転対称性」[br]として表すことができます

0:12:46.117,0:12:49.445
また山の輪郭がとても滑らかですが

0:12:49.494,0:12:51.624
これは数学的には

0:12:51.624,0:12:56.391
曲線を表す関数とその微分可能性に[br]よって表すことができます

0:12:57.377,0:13:00.739
少し難しい専門用語が並びましたが

0:13:01.009,0:13:07.719
これらは 先ほど考察した[br]数学において探究する構造です

0:13:08.612,0:13:14.517
これらの特徴・概念は[br]美と結びついているのでしょうか？

0:13:16.780,0:13:23.407
近年 我々の審美眼に関する[br]様々な科学的研究が行われており

0:13:23.982,0:13:27.326
数学と美の関わりも 解明されつつあります

0:13:28.331,0:13:29.757
ある研究では

0:13:30.621,0:13:33.254
同程度のデータ量を持つ画像の中で

0:13:33.394,0:13:38.654
「美しい」と認識された画像の[br]データ圧縮性が高いことが示されました

0:13:39.486,0:13:41.333
このことについて考えます

0:13:42.353,0:13:47.687
まず データが圧縮できるということは[br]データを小さくできるということです

0:13:48.561,0:13:52.046
先ほど考察した[br]パスカルの三角形は 左右対称で

0:13:52.482,0:13:57.078
左半分に現れる数字が[br]右半分に同じように現れます

0:13:57.610,0:14:03.156
したがって この三角形を作るのに[br]すべての数字・データが必要ではなく

0:14:03.669,0:14:07.332
左半分にあるものだけで十分です

0:14:07.676,0:14:12.649
左半分を写して それを反転させて[br]右に写せば作れるからです

0:14:13.304,0:14:18.504
この場合 元のデータが[br]約半分に圧縮できることになり

0:14:19.291,0:14:22.949
パスカルの三角形は[br]高いデータ圧縮性を持つことになります

0:14:24.570,0:14:28.016
これは 富士山の画像にも[br]当てはまることです

0:14:28.538,0:14:33.359
富士山の左半分を写して[br]それを反転させて右に写せば

0:14:33.891,0:14:37.393
本物とほぼ変わらない[br]富士山の写真を作ることができます

0:14:37.983,0:14:41.704
よって 富士山の画像の[br]データ圧縮性も高いと言え

0:14:42.126,0:14:47.305
このような画像が「美しい」と[br]認識されることが研究で示されました

0:14:48.911,0:14:50.973
この写真で面白いのは

0:14:50.973,0:14:56.623
富士山が湖に写っていて[br]上下対称にもなっていますね

0:14:57.953,0:15:01.167
美しさが増していると思いませんか？

0:15:03.277,0:15:09.925
では 「美しい」と認識される画像の[br]データ圧縮性が高いことが示されたのですが

0:15:10.349,0:15:15.339
一般に どのような画像が[br]高いデータ圧縮性を持つのでしょうか？

0:15:16.687,0:15:19.192
先ほどの簡単な例からもわかるように

0:15:19.548,0:15:25.191
画像に数学的構造がある場合[br]そのデータ圧縮性は高くなります

0:15:26.779,0:15:32.463
これは 先ほど述べた研究において[br]「美しい」と認識された画像の例です

0:15:33.566,0:15:35.191
この顔は

0:15:35.191,0:15:40.376
ある数学的構造を用いて[br]非常に効率よく描かれており

0:15:40.696,0:15:43.326
データ圧縮性がとても高いのですが

0:15:44.057,0:15:48.097
どのような数学的構造が[br]使われていると思いますか？

0:15:49.599,0:15:51.161
どうでしょう？

0:15:52.211,0:15:55.667
実は先ほど この構造を見ていたのですけどね

0:15:56.615,0:16:00.502
ここでは フラクタルが使われています

0:16:02.060,0:16:04.454
このことを考えると

0:16:04.454,0:16:08.668
私達が数学において[br]探究するもの 「構造」は

0:16:09.290,0:16:14.991
「私達にが『美しい』と思うもの[br]またはそれに貢献するものである」

0:16:15.410,0:16:17.141
と言うこともできます

0:16:19.212,0:16:23.898
近年行われた脳研究も このことを示唆します

0:16:24.978,0:16:30.168
この図に緑で示されている脳の部位[br]「内側眼窩前頭皮質」は

0:16:30.794,0:16:36.841
「美しい」と認識される[br]風景・絵画・音楽などに

0:16:36.841,0:16:39.421
反応することで知られていたのですが

0:16:39.912,0:16:45.901
数学的概念・構造に対しても[br]同様に活性化することが分かりました

0:16:46.954,0:16:50.993
我々の脳にとって[br]数学で探究する「美」は

0:16:51.448,0:16:56.863
自然や芸術における[br]「美」と共通するところがあります

0:16:59.342,0:17:00.998
時間となりましたが

0:17:01.950,0:17:05.095
「数学は 論理的概念の詩である」

0:17:06.422,0:17:10.759
「数学者は 構造を作り出す者である」

0:17:11.942,0:17:16.630
「私達は数学において[br]『美しい』ものを探究する」

0:17:16.750,0:17:19.891
といった数学の本質的な特徴は

0:17:20.140,0:17:24.005
おそらく皆さんにとって[br]意外だったのではないでしょうか？

0:17:25.554,0:17:31.040
また私達が 何を「美しい」[br]と思うのかについて

0:17:31.040,0:17:35.043
新たな側面を 見出して[br]いただけたのではないでしょうか？

0:17:36.581,0:17:39.751
これから 何か美しいものを見た時

0:17:39.801,0:17:43.596
皆さんは数学のことを[br]考えられるかもしれません

0:17:44.414,0:17:45.804
もしかしたら

0:17:46.417,0:17:49.546
それは 大きな変化ではないでしょうか？

0:17:50.047,0:17:52.344
ご静聴ありがとうございました

0:17:52.627,0:17:54.615
（拍手）