本题要思考 如何求得这条曲线的切线斜率 如何求得这条曲线的切线斜率 在 x = a 点上，我画了一条红色的线 我们已经通过导数的定义学过了 我们已经通过导数的定义学过了 我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率 我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率 我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率 假设我们取任意一点 我在这里任意定义一个点 x 曲线上的点就是 ( x, f(x) ) 我们再取一个点 x + h 图上在这里，x 加上 h 图上在这里，x 加上 h 曲线上的点就是 ( x+h , f(x+h) ) 我们可以求出这两点之间的割线的斜率 我们可以求出这两点之间的割线的斜率 应该是用纵轴方向的变化量 也就是 f(x+h) - f(x)，再除以横轴方向的变化量 也就是 f(x+h) - f(x)，再除以横轴方向的变化量 就是 x+h - x x - x 就消掉了 这就是割线的斜率 如果我们想求得 x 点的切线斜率 我们就是要求出这个表达式在 h 趋近于 0 时的极限 我们就是要求出这个表达式在 h 趋近于 0 时的极限 当 h 趋近于 0，这个点就向 x 点靠近 这两点间的割线斜率就更接近 x 点的切线斜率 这两点间的割线斜率就更接近 x 点的切线斜率 这里的表达式求极限 等于 f '(x) 仍然是关于 x 的函数 给出一个任意的，其导数存在的 x 我要把它代入这个表达式，不管是什么式子 可以是一个很简洁的代数表达式 下面我给你个数字 例如，如果你想求解 你可以用某种方法计算 或者就用这个表达 想求解 f '(a) 你只需要把 a 代入函数式 这里就等于 h —> 0 的极限值 表达式中的 x 都换成 a 我先把这个颜色的写完，f (空白 + h) - f (空白) 整体除以 h 这里我用红色的 a 填在空白处 注意看，所有之前是 x 的地方，现在都是 a 这就是在 a 处的导数值 这是求解在 x = a 点切线斜率的一种方法 这是求解在 x = a 点切线斜率的一种方法 另一种方法 经常被用作导数的替代形式 就是直接求解 这里是点 ( a, f(a) ) 我们取另外任意一点 我们说这里是值为 x 的点 那曲线上的点就是 ( x, f(x) ) 那曲线上的点就是 ( x, f(x) ) 那么这两点间的割线斜率是多少呢？ 那么这两点间的割线斜率是多少呢？ 就是垂直方向上的差 即 f (x) - f (a) ，除以水平方向的差 即，除以 x - a 这里我换成紫色 除以 x - a 接下来，如何更精确地 近似于这条切线斜率呢？ 接下来，如何更精确地 近似于这条切线斜率呢？ 我们可以求 x—>a 时的极限 x 不断接近 a，越来越近 两点间的割线斜率就越来越近似于这条切线斜率 两点间的割线斜率就越来越近似于这条切线斜率 就是图上红色的这条切线 所以我们这里求的是 x—>a 时的极限 lim 其实两种方法最后是完全一样的 我们写出了割线斜率的表达式 把 x 和另一个点无限靠近 把 x 和另一个点无限靠近 两点间的割线斜率就无限近似于切线的斜率 两点间的割线斜率就无限近似于切线的斜率 在极值点，就成为了切线斜率 这就是导数的定义 这边的是导数更标准的定义 它会给出关于 x 的函数的导数 然后你可以代入特定的 x 值 或者你可以用导数的另一种形式 如果你知道这个的话 看，我只是求出它在a点的导数 我不需要通用函数 f (x) 那就按这种方法做 两种方法是一样的