[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.62,0:00:02.07,Default,,0000,0000,0000,,本题要思考
Dialogue: 0,0:00:02.07,0:00:04.17,Default,,0000,0000,0000,,如何求得这条曲线的切线斜率
Dialogue: 0,0:00:04.17,0:00:05.93,Default,,0000,0000,0000,,如何求得这条曲线的切线斜率
Dialogue: 0,0:00:05.93,0:00:09.23,Default,,0000,0000,0000,,在 x = a 点上，我画了一条红色的线
Dialogue: 0,0:00:09.23,0:00:11.30,Default,,0000,0000,0000,,我们已经通过导数的定义学过了
Dialogue: 0,0:00:11.30,0:00:12.25,Default,,0000,0000,0000,,我们已经通过导数的定义学过了
Dialogue: 0,0:00:12.25,0:00:14.46,Default,,0000,0000,0000,,我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率
Dialogue: 0,0:00:14.46,0:00:15.62,Default,,0000,0000,0000,,我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率
Dialogue: 0,0:00:15.62,0:00:16.77,Default,,0000,0000,0000,,我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率
Dialogue: 0,0:00:16.77,0:00:19.03,Default,,0000,0000,0000,,假设我们取任意一点
Dialogue: 0,0:00:19.03,0:00:22.96,Default,,0000,0000,0000,,我在这里任意定义一个点 x
Dialogue: 0,0:00:22.96,0:00:26.93,Default,,0000,0000,0000,,曲线上的点就是 ( x, f(x) )
Dialogue: 0,0:00:26.93,0:00:29.73,Default,,0000,0000,0000,,我们再取一个点 x + h
Dialogue: 0,0:00:29.73,0:00:33.89,Default,,0000,0000,0000,,图上在这里，x 加上 h
Dialogue: 0,0:00:33.89,0:00:35.70,Default,,0000,0000,0000,,图上在这里，x 加上 h
Dialogue: 0,0:00:35.70,0:00:42.35,Default,,0000,0000,0000,,曲线上的点就是 ( x+h , f(x+h) )
Dialogue: 0,0:00:42.35,0:00:45.61,Default,,0000,0000,0000,,我们可以求出这两点之间的割线的斜率
Dialogue: 0,0:00:45.61,0:00:47.86,Default,,0000,0000,0000,,我们可以求出这两点之间的割线的斜率
Dialogue: 0,0:00:47.86,0:00:50.35,Default,,0000,0000,0000,,应该是用纵轴方向的变化量
Dialogue: 0,0:00:50.35,0:00:56.00,Default,,0000,0000,0000,,也就是 f(x+h) - f(x)，再除以横轴方向的变化量
Dialogue: 0,0:00:56.00,0:01:02.85,Default,,0000,0000,0000,,也就是 f(x+h) - f(x)，再除以横轴方向的变化量
Dialogue: 0,0:01:02.85,0:01:04.64,Default,,0000,0000,0000,,就是 x+h - x
Dialogue: 0,0:01:10.74,0:01:12.68,Default,,0000,0000,0000,,x - x 就消掉了
Dialogue: 0,0:01:12.68,0:01:15.29,Default,,0000,0000,0000,,这就是割线的斜率
Dialogue: 0,0:01:15.29,0:01:20.35,Default,,0000,0000,0000,,如果我们想求得 x 点的切线斜率
Dialogue: 0,0:01:20.35,0:01:24.26,Default,,0000,0000,0000,,我们就是要求出这个表达式在 h 趋近于 0 时的极限
Dialogue: 0,0:01:24.26,0:01:26.55,Default,,0000,0000,0000,,我们就是要求出这个表达式在 h 趋近于 0 时的极限
Dialogue: 0,0:01:26.55,0:01:30.81,Default,,0000,0000,0000,,当 h 趋近于 0，这个点就向 x 点靠近
Dialogue: 0,0:01:30.81,0:01:33.50,Default,,0000,0000,0000,,这两点间的割线斜率就更接近 x 点的切线斜率
Dialogue: 0,0:01:33.50,0:01:36.68,Default,,0000,0000,0000,,这两点间的割线斜率就更接近 x 点的切线斜率
Dialogue: 0,0:01:36.68,0:01:39.56,Default,,0000,0000,0000,,这里的表达式求极限
Dialogue: 0,0:01:39.56,0:01:44.13,Default,,0000,0000,0000,,等于 f '(x)
Dialogue: 0,0:01:44.13,0:01:45.98,Default,,0000,0000,0000,,仍然是关于 x 的函数
Dialogue: 0,0:01:45.98,0:01:50.86,Default,,0000,0000,0000,,给出一个任意的，其导数存在的 x
Dialogue: 0,0:01:50.86,0:01:53.75,Default,,0000,0000,0000,,我要把它代入这个表达式，不管是什么式子
Dialogue: 0,0:01:53.75,0:01:55.87,Default,,0000,0000,0000,,可以是一个很简洁的代数表达式
Dialogue: 0,0:01:55.87,0:01:57.42,Default,,0000,0000,0000,,下面我给你个数字
Dialogue: 0,0:01:57.42,0:01:59.43,Default,,0000,0000,0000,,例如，如果你想求解
Dialogue: 0,0:01:59.43,0:02:00.92,Default,,0000,0000,0000,,你可以用某种方法计算
Dialogue: 0,0:02:00.92,0:02:02.60,Default,,0000,0000,0000,,或者就用这个表达
Dialogue: 0,0:02:02.60,0:02:07.73,Default,,0000,0000,0000,,想求解 f '(a)
Dialogue: 0,0:02:07.73,0:02:10.73,Default,,0000,0000,0000,,你只需要把 a 代入函数式
Dialogue: 0,0:02:10.73,0:02:12.27,Default,,0000,0000,0000,,这里就等于
Dialogue: 0,0:02:12.27,0:02:17.59,Default,,0000,0000,0000,,h —> 0 的极限值
Dialogue: 0,0:02:17.59,0:02:20.34,Default,,0000,0000,0000,,表达式中的 x 都换成 a
Dialogue: 0,0:02:20.34,0:02:31.98,Default,,0000,0000,0000,,我先把这个颜色的写完，f (空白 + h) - f (空白)
Dialogue: 0,0:02:31.98,0:02:36.67,Default,,0000,0000,0000,,整体除以 h
Dialogue: 0,0:02:36.67,0:02:41.04,Default,,0000,0000,0000,,这里我用红色的 a 填在空白处
Dialogue: 0,0:02:41.04,0:02:44.30,Default,,0000,0000,0000,,注意看，所有之前是 x 的地方，现在都是 a
Dialogue: 0,0:02:44.30,0:02:47.30,Default,,0000,0000,0000,,这就是在 a 处的导数值
Dialogue: 0,0:02:47.30,0:02:50.50,Default,,0000,0000,0000,,这是求解在 x = a 点切线斜率的一种方法
Dialogue: 0,0:02:50.50,0:02:51.72,Default,,0000,0000,0000,,这是求解在 x = a 点切线斜率的一种方法
Dialogue: 0,0:02:51.72,0:02:54.31,Default,,0000,0000,0000,,另一种方法
Dialogue: 0,0:02:54.31,0:02:56.13,Default,,0000,0000,0000,,经常被用作导数的替代形式
Dialogue: 0,0:02:56.13,0:02:59.14,Default,,0000,0000,0000,,就是直接求解
Dialogue: 0,0:02:59.14,0:03:01.82,Default,,0000,0000,0000,,这里是点 ( a, f(a) )
Dialogue: 0,0:03:01.82,0:03:05.99,Default,,0000,0000,0000,,我们取另外任意一点
Dialogue: 0,0:03:05.99,0:03:09.27,Default,,0000,0000,0000,,我们说这里是值为 x 的点
Dialogue: 0,0:03:09.27,0:03:12.48,Default,,0000,0000,0000,,那曲线上的点就是 ( x, f(x) )
Dialogue: 0,0:03:12.48,0:03:13.97,Default,,0000,0000,0000,,那曲线上的点就是 ( x, f(x) )
Dialogue: 0,0:03:13.97,0:03:17.36,Default,,0000,0000,0000,,那么这两点间的割线斜率是多少呢？
Dialogue: 0,0:03:17.36,0:03:19.08,Default,,0000,0000,0000,,那么这两点间的割线斜率是多少呢？
Dialogue: 0,0:03:19.08,0:03:21.26,Default,,0000,0000,0000,,就是垂直方向上的差
Dialogue: 0,0:03:21.26,0:03:29.98,Default,,0000,0000,0000,,即 f (x) - f (a) ，除以水平方向的差
Dialogue: 0,0:03:29.98,0:03:31.34,Default,,0000,0000,0000,,即，除以 x - a
Dialogue: 0,0:03:31.34,0:03:33.26,Default,,0000,0000,0000,,这里我换成紫色
Dialogue: 0,0:03:33.26,0:03:36.56,Default,,0000,0000,0000,,除以 x - a
Dialogue: 0,0:03:36.56,0:03:39.60,Default,,0000,0000,0000,,接下来，如何更精确地 近似于这条切线斜率呢？
Dialogue: 0,0:03:39.60,0:03:42.46,Default,,0000,0000,0000,,接下来，如何更精确地 近似于这条切线斜率呢？
Dialogue: 0,0:03:42.46,0:03:45.64,Default,,0000,0000,0000,,我们可以求 x—>a 时的极限
Dialogue: 0,0:03:45.64,0:03:48.54,Default,,0000,0000,0000,,x 不断接近 a，越来越近
Dialogue: 0,0:03:48.54,0:03:51.51,Default,,0000,0000,0000,,两点间的割线斜率就越来越近似于这条切线斜率
Dialogue: 0,0:03:51.51,0:03:54.32,Default,,0000,0000,0000,,两点间的割线斜率就越来越近似于这条切线斜率
Dialogue: 0,0:03:54.32,0:03:56.37,Default,,0000,0000,0000,,就是图上红色的这条切线
Dialogue: 0,0:03:56.37,0:04:04.43,Default,,0000,0000,0000,,所以我们这里求的是 x—>a 时的极限 lim
Dialogue: 0,0:04:04.43,0:04:09.37,Default,,0000,0000,0000,,其实两种方法最后是完全一样的
Dialogue: 0,0:04:09.37,0:04:12.76,Default,,0000,0000,0000,,我们写出了割线斜率的表达式
Dialogue: 0,0:04:12.76,0:04:15.79,Default,,0000,0000,0000,,把 x 和另一个点无限靠近
Dialogue: 0,0:04:15.79,0:04:19.04,Default,,0000,0000,0000,,把 x 和另一个点无限靠近
Dialogue: 0,0:04:19.04,0:04:21.70,Default,,0000,0000,0000,,两点间的割线斜率就无限近似于切线的斜率
Dialogue: 0,0:04:21.70,0:04:24.51,Default,,0000,0000,0000,,两点间的割线斜率就无限近似于切线的斜率
Dialogue: 0,0:04:24.51,0:04:27.39,Default,,0000,0000,0000,,在极值点，就成为了切线斜率
Dialogue: 0,0:04:27.39,0:04:31.55,Default,,0000,0000,0000,,这就是导数的定义
Dialogue: 0,0:04:31.55,0:04:34.38,Default,,0000,0000,0000,,这边的是导数更标准的定义
Dialogue: 0,0:04:34.38,0:04:36.59,Default,,0000,0000,0000,,它会给出关于 x 的函数的导数
Dialogue: 0,0:04:36.59,0:04:40.90,Default,,0000,0000,0000,,然后你可以代入特定的 x 值
Dialogue: 0,0:04:40.90,0:04:44.13,Default,,0000,0000,0000,,或者你可以用导数的另一种形式
Dialogue: 0,0:04:44.13,0:04:45.67,Default,,0000,0000,0000,,如果你知道这个的话
Dialogue: 0,0:04:45.67,0:04:47.53,Default,,0000,0000,0000,,看，我只是求出它在a点的导数
Dialogue: 0,0:04:47.53,0:04:49.77,Default,,0000,0000,0000,,我不需要通用函数 f (x)
Dialogue: 0,0:04:49.77,0:04:50.73,Default,,0000,0000,0000,,那就按这种方法做
Dialogue: 0,0:04:50.73,0:04:53.26,Default,,0000,0000,0000,,两种方法是一样的