本题要思考
如何求得这条曲线的切线斜率
在 x = a 点上，我画了一条红色的线
我们已经通过导数的定义学过了
我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率
假设我们取任意一点
我在这里任意定义一个点 x
曲线上的点就是 ( x, f(x) )
我们再取一个点 x + h
图上在这里，x 加上 h
曲线上的点就是 ( x+h , f(x+h) )
我们可以求出这两点之间的割线的斜率
应该是用纵轴方向的变化量
也就是 f(x+h) - f(x)，再除以横轴方向的变化量
就是 x+h - x
x - x 就消掉了
这就是割线的斜率
如果我们想求得 x 点的切线斜率
我们就是要求出这个表达式在 h 趋近于 0 时的极限
当 h 趋近于 0，这个点就向 x 点靠近
这两点间的割线斜率就更接近 x 点的切线斜率
这里的表达式求极限
等于 f '(x)
仍然是关于 x 的函数
给出一个任意的，其导数存在的 x
我要把它代入这个表达式，不管是什么式子
可以是一个很简洁的代数表达式
下面我给你个数字
例如，如果你想求解
你可以用某种方法计算
或者就用这个表达
想求解 f '(a)
你只需要把 a 代入函数式
这里就等于
h —> 0 的极限值
表达式中的 x 都换成 a
我先把这个颜色的写完，f (空白 + h) - f (空白)
整体除以 h
这里我用红色的 a 填在空白处
注意看，所有之前是 x 的地方，现在都是 a
这就是在 a 处的导数值
这是求解在 x = a 点切线斜率的一种方法
另一种方法
经常被用作导数的替代形式
就是直接求解
这里是点 ( a, f(a) )
我们取另外任意一点
我们说这里是值为 x 的点
那曲线上的点就是 ( x, f(x) )
那么这两点间的割线斜率是多少呢？
就是垂直方向上的差
即 f (x) - f (a) ，除以水平方向的差
即，除以 x - a
这里我换成紫色
除以 x - a
接下来，如何更精确地 近似于这条切线斜率呢？
我们可以求 x—>a 时的极限
x 不断接近 a，越来越近
两点间的割线斜率就越来越近似于这条切线斜率
就是图上红色的这条切线
所以我们这里求的是 x—>a 时的极限 lim
其实两种方法最后是完全一样的
我们写出了割线斜率的表达式
把 x 和另一个点无限靠近
两点间的割线斜率就无限近似于切线的斜率
在极值点，就成为了切线斜率
这就是导数的定义
这边的是导数更标准的定义
它会给出关于 x 的函数的导数
然后你可以代入特定的 x 值
或者你可以用导数的另一种形式
如果你知道这个的话
看，我只是求出它在a点的导数
我不需要通用函数 f (x)
那就按这种方法做
两种方法是一样的