0:00:00.620,0:00:02.070
本题要思考

0:00:02.070,0:00:04.170
如何求得这条曲线的切线斜率

0:00:04.170,0:00:05.930
如何求得这条曲线的切线斜率

0:00:05.930,0:00:09.230
在 x = a 点上，我画了一条红色的线

0:00:09.230,0:00:11.300
我们已经通过导数的定义学过了

0:00:11.300,0:00:12.252
我们已经通过导数的定义学过了

0:00:12.252,0:00:14.460
我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率

0:00:14.460,0:00:15.615
我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率

0:00:15.615,0:00:16.770
我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率

0:00:16.770,0:00:19.030
假设我们取任意一点

0:00:19.030,0:00:22.960
我在这里任意定义一个点 x

0:00:22.960,0:00:26.930
曲线上的点就是 ( x, f(x) )

0:00:26.930,0:00:29.730
我们再取一个点 x + h

0:00:29.730,0:00:33.890
图上在这里，x 加上 h

0:00:33.890,0:00:35.700
图上在这里，x 加上 h

0:00:35.700,0:00:42.350
曲线上的点就是 ( x+h , f(x+h) )

0:00:42.350,0:00:45.610
我们可以求出这两点之间的割线的斜率

0:00:45.610,0:00:47.860
我们可以求出这两点之间的割线的斜率

0:00:47.860,0:00:50.350
应该是用纵轴方向的变化量

0:00:50.350,0:00:56.000
也就是 f(x+h) - f(x)，再除以横轴方向的变化量

0:00:56.000,0:01:02.850
也就是 f(x+h) - f(x)，再除以横轴方向的变化量

0:01:02.850,0:01:04.637
就是 x+h - x

0:01:10.740,0:01:12.680
x - x 就消掉了

0:01:12.680,0:01:15.290
这就是割线的斜率

0:01:15.290,0:01:20.350
如果我们想求得 x 点的切线斜率

0:01:20.350,0:01:24.260
我们就是要求出这个表达式在 h 趋近于 0 时的极限

0:01:24.260,0:01:26.550
我们就是要求出这个表达式在 h 趋近于 0 时的极限

0:01:26.550,0:01:30.810
当 h 趋近于 0，这个点就向 x 点靠近

0:01:30.810,0:01:33.500
这两点间的割线斜率就更接近 x 点的切线斜率

0:01:33.500,0:01:36.680
这两点间的割线斜率就更接近 x 点的切线斜率

0:01:36.680,0:01:39.560
这里的表达式求极限

0:01:39.560,0:01:44.130
等于 f '(x)

0:01:44.130,0:01:45.980
仍然是关于 x 的函数

0:01:45.980,0:01:50.860
给出一个任意的，其导数存在的 x

0:01:50.860,0:01:53.750
我要把它代入这个表达式，不管是什么式子

0:01:53.750,0:01:55.870
可以是一个很简洁的代数表达式

0:01:55.870,0:01:57.420
下面我给你个数字

0:01:57.420,0:01:59.430
例如，如果你想求解

0:01:59.430,0:02:00.920
你可以用某种方法计算

0:02:00.920,0:02:02.600
或者就用这个表达

0:02:02.600,0:02:07.730
想求解 f '(a)

0:02:07.730,0:02:10.729
你只需要把 a 代入函数式

0:02:10.729,0:02:12.270
这里就等于

0:02:12.270,0:02:17.590
h —> 0 的极限值

0:02:17.590,0:02:20.340
表达式中的 x 都换成 a

0:02:20.340,0:02:31.980
我先把这个颜色的写完，f (空白 + h) - f (空白)

0:02:31.980,0:02:36.670
整体除以 h

0:02:36.670,0:02:41.040
这里我用红色的 a 填在空白处

0:02:41.040,0:02:44.300
注意看，所有之前是 x 的地方，现在都是 a

0:02:44.300,0:02:47.300
这就是在 a 处的导数值

0:02:47.300,0:02:50.500
这是求解在 x = a 点切线斜率的一种方法

0:02:50.500,0:02:51.720
这是求解在 x = a 点切线斜率的一种方法

0:02:51.720,0:02:54.310
另一种方法

0:02:54.310,0:02:56.130
经常被用作导数的替代形式

0:02:56.130,0:02:59.140
就是直接求解

0:02:59.140,0:03:01.820
这里是点 ( a, f(a) )

0:03:01.820,0:03:05.990
我们取另外任意一点

0:03:05.990,0:03:09.270
我们说这里是值为 x 的点

0:03:09.270,0:03:12.480
那曲线上的点就是 ( x, f(x) )

0:03:12.480,0:03:13.970
那曲线上的点就是 ( x, f(x) )

0:03:13.970,0:03:17.360
那么这两点间的割线斜率是多少呢？

0:03:17.360,0:03:19.080
那么这两点间的割线斜率是多少呢？

0:03:19.080,0:03:21.260
就是垂直方向上的差

0:03:21.260,0:03:29.980
即 f (x) - f (a) ，除以水平方向的差

0:03:29.980,0:03:31.344
即，除以 x - a

0:03:31.344,0:03:33.260
这里我换成紫色

0:03:33.260,0:03:36.560
除以 x - a

0:03:36.560,0:03:39.600
接下来，如何更精确地 近似于这条切线斜率呢？

0:03:39.600,0:03:42.460
接下来，如何更精确地 近似于这条切线斜率呢？

0:03:42.460,0:03:45.645
我们可以求 x—>a 时的极限

0:03:45.645,0:03:48.540
x 不断接近 a，越来越近

0:03:48.540,0:03:51.510
两点间的割线斜率就越来越近似于这条切线斜率

0:03:51.510,0:03:54.320
两点间的割线斜率就越来越近似于这条切线斜率

0:03:54.320,0:03:56.370
就是图上红色的这条切线

0:03:56.370,0:04:04.430
所以我们这里求的是 x—>a 时的极限 lim

0:04:04.430,0:04:09.370
其实两种方法最后是完全一样的

0:04:09.370,0:04:12.760
我们写出了割线斜率的表达式

0:04:12.760,0:04:15.790
把 x 和另一个点无限靠近

0:04:15.790,0:04:19.040
把 x 和另一个点无限靠近

0:04:19.040,0:04:21.700
两点间的割线斜率就无限近似于切线的斜率

0:04:21.700,0:04:24.510
两点间的割线斜率就无限近似于切线的斜率

0:04:24.510,0:04:27.390
在极值点，就成为了切线斜率

0:04:27.390,0:04:31.550
这就是导数的定义

0:04:31.550,0:04:34.382
这边的是导数更标准的定义

0:04:34.382,0:04:36.590
它会给出关于 x 的函数的导数

0:04:36.590,0:04:40.900
然后你可以代入特定的 x 值

0:04:40.900,0:04:44.129
或者你可以用导数的另一种形式

0:04:44.129,0:04:45.670
如果你知道这个的话

0:04:45.670,0:04:47.530
看，我只是求出它在a点的导数

0:04:47.530,0:04:49.772
我不需要通用函数 f (x)

0:04:49.772,0:04:50.730
那就按这种方法做

0:04:50.730,0:04:53.260
两种方法是一样的