Hãy nghĩ xem làm sao để có thể

tìm hệ số góc của tiếp tuyến

của đường cong này,

như mình đã vẽ bằng màu đỏ, tại điểm x bằng a.

Ta đã thấy cái này cùng với khái niệm

về đạo hàm.

Ta có thể thử tìm một hàm số tổng quát

cho ta biết hệ số góc của tiếp tuyến ở điểm bất kỳ.

Để xem. Giờ ta có một điểm tùy ý.

Hãy xác định một điểm tùy ý x ở đây.

Và đây sẽ là điểm (x,f(x)).

Và ta lấy điểm x+h.

Ta sẽ lấy điểm này

làm x+h.

Và điểm này sẽ là (x+h,f(x+h)).

Ta có thể tìm hệ số góc của cát tuyến

đi qua 2 điểm này.

Đó sẽ là biến thiên ở 'trục dọc',

là f(x+h) trừ f(x)

trên biến thiên ở 'trục ngang',

là x+h trừ x.

Hai x này triệu tiêu nhau.

Và đây sẽ là hệ số góc của cát tuyến này.

Và nếu ta muốn tìm hệ số góc ở tiếp tuyến tại x,

ta có thể lấy giới hạn (limit/lim) của biểu thức này

khi h tiến đến 0.

Khi h tiến đến 0, điểm này tiến đến x.

Và hệ số góc của cát tuyến giữa 2 điểm này

sẽ xấp xỉ bẳng hệ số góc của tiếp tuyến tại x.

Và cái này ở đây,

sẽ bằng f'(x).

Đây vẫn là một hàm số của x.

Bạn cho mình một x tùy ý mà tại đó, ta xác định được đạo hàm.

Mình sẽ bỏ nó vào đây, ta chưa biết kết quả ra sao.

Nó có thể là một biểu thức đại số đẹp.

Và mình sẽ cho bạn một số.

Ví dụ, nếu bạn muốn tìm--

bạn có thể tính cái này phần nào.

Hoặc bạn có thể cứ để nó ở dạng này.

Và rồi nếu bạn muốn f'(a),

bạn có thể thế vào hàm số của bạn.

Và nó sẽ bằng

giới hạn khi h tiến đến 0 của-- mọi chỗ mà bạn thấy x

thay nó bằng a, f của--

mình sẽ dùng màu từ giờ-- khoảng trống cộng h trừ f(khoảng trống),

tất cả trên h.

Và mình sẽ để những khoảng trống đó, và viết a bằng màu đỏ.

Chú ý rằng, mọi chỗ có x khi trước giờ trở thành a.

Nên đây là đạo hàm được tính tại a.

Đây là một cách để tìm hệ số góc của tiếp tuyến

khi x bằng a.

Một cách khác-- và được dùng khá thường xuyên

như một dạng thay thế của đạo hàm--