WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:04.420
这是一个直角三角形

00:00:04.430 --> 00:00:07.130
它是直角三角形是因为它有一个角是90度

00:00:07.140 --> 00:00:09.000
或者说它有一个直角

00:00:09.010 --> 00:00:12.730
现在我们来看这条最长的边

00:00:12.740 --> 00:00:15.250
你可以把它看作是

00:00:15.260 --> 00:00:16.730
直角三角形最长的边

00:00:16.740 --> 00:00:18.740
也可以看作是直角的对边

00:00:18.750 --> 00:00:20.370
总之这条边我们叫它斜边

00:00:20.380 --> 00:00:24.120
这个名字对于它简单的概念来说略显华丽

00:00:24.130 --> 00:00:25.820
只不过就是直角三角形的最长边

00:00:25.830 --> 00:00:27.770
或者说是直角的对边而已

00:00:27.780 --> 00:00:30.400
但是这还是有用的 因为用一个单词比较简单

00:00:30.410 --> 00:00:32.420
我们不必说"他们说的是这条边

00:00:32.430 --> 00:00:36.080
这条最长的直角的对边"直接说斜边就可以了

00:00:36.090 --> 00:00:40.690
现在我要做的是证明一个关系

00:00:40.700 --> 00:00:43.950
一个非常著名的关系

00:00:43.960 --> 00:00:47.470
一个关于直角三角形各边长度之间的

00:00:47.480 --> 00:00:48.620
著名的关系

00:00:48.630 --> 00:00:53.670
我们假设边AC的长度 注意是大写的A和C

00:00:53.680 --> 00:00:55.830
我们假设长度是小写的a

00:00:55.840 --> 00:01:00.630
同时把边BC的长度称为b

00:01:00.640 --> 00:01:03.320
我用大写字母表示点而小写字母表示长度

00:01:03.330 --> 00:01:05.740
最后我们把斜边的长度

00:01:05.750 --> 00:01:08.170
即AB的长度 叫做c

00:01:08.180 --> 00:01:12.330
现在我们来看看我们是否能得出a b c之间的关系

00:01:12.340 --> 00:01:15.590
在这之前我需要作一条辅助线

00:01:15.600 --> 00:01:19.240
或者说辅助线段 在点C和斜边之间的一条辅助线段

00:01:19.250 --> 00:01:24.020
这条辅助线将和斜边成直角

00:01:24.030 --> 00:01:26.790
这并不难 我们准备叫这个点D

00:01:26.800 --> 00:01:28.280
D就是辅助线和斜边的交点

00:01:28.290 --> 00:01:31.100
如果这时候你担心 怎么作出这条辅助线

00:01:31.110 --> 00:01:34.180
你可以想象一下把整个三角形这么旋转一下

00:01:34.190 --> 00:01:36.970
这对后面的证明没有作用 但是这能让你

00:01:36.980 --> 00:01:39.520
更直接地作出辅助线

00:01:39.530 --> 00:01:42.880
我已经把它转了过来 现在斜边

00:01:42.890 --> 00:01:44.320
成为了底边

00:01:44.330 --> 00:01:48.500
这是点B 这是点A

00:01:48.510 --> 00:01:50.850
我们已经把三角形转了过来

00:01:50.860 --> 00:01:54.270
上面这个点是C 你可以想象从点C扔一块石头

00:01:54.280 --> 00:01:57.780
这块石头绑在一根绳子上 绳子连在点C 于是

00:01:57.790 --> 00:01:59.230
绑线的石头会和斜边形成直角

00:01:59.240 --> 00:02:02.330
以上所做的都是为了作出辅助线段CD

00:02:02.340 --> 00:02:05.290
垂足就是点D 在这里

00:02:05.300 --> 00:02:08.400
我之所以作这么一条辅助线是因为这样子

00:02:08.410 --> 00:02:10.720
我们就可以研究相似三角形的有趣关系了

00:02:10.730 --> 00:02:14.000
现在一共有三个三角形 三角形ADC

00:02:14.010 --> 00:02:17.850
三角形DBC以及原来的大三角形

00:02:17.860 --> 00:02:21.500
我们应该能够在这些三角形之间建立相似关系

00:02:21.510 --> 00:02:27.690
首先我们来证明三角形ADC相似于大三角形

00:02:27.700 --> 00:02:29.470
因为它们都有一个直角

00:02:29.480 --> 00:02:32.070
三角形ADC的这个角是直角

00:02:32.080 --> 00:02:33.920
如果这个角是90度

00:02:33.930 --> 00:02:35.750
那么这个角一定也是90度

00:02:35.760 --> 00:02:38.160
它们是互补的因此它们的度数和必须是180度

00:02:38.170 --> 00:02:40.650
所以两个三角形都有一个直角

00:02:40.660 --> 00:02:42.050
小三角形在这里有一个直角

00:02:42.060 --> 00:02:44.860
大三角形显然我们已知它有一个直角

00:02:44.870 --> 00:02:49.080
同时 它们还共有同一个角

00:02:49.090 --> 00:02:53.250
角DAC或者角BAC 随你们怎么叫它

00:02:53.260 --> 00:02:55.850
我们可以把那些三角形写下来

00:02:55.860 --> 00:02:58.370
我从小的开始

00:02:58.380 --> 00:03:02.410
三角形ADC 我给它涂上阴影

00:03:02.420 --> 00:03:05.270
所以这就是我们要看的三角形 ADC

00:03:05.280 --> 00:03:07.620
然后我们一个角一个角来对应从蓝色的角 直角

00:03:07.630 --> 00:03:10.350
到没有标记的那个角

00:03:10.360 --> 00:03:14.070
这个直角并不对应那边那个角

00:03:14.080 --> 00:03:15.480
这个直角和大三角形的直角对应

00:03:15.490 --> 00:03:20.440
所以 我们可以推出三角形ADC

00:03:20.450 --> 00:03:24.200
和大三角形相似

00:03:24.210 --> 00:03:27.610
我们再在大三角形上对应一次 从蓝色角A

00:03:27.620 --> 00:03:29.580
到直角

00:03:29.590 --> 00:03:31.920
我们不必再去看那个直角

00:03:31.930 --> 00:03:33.720
所以三角形ADC相似于三角形ACB

00:03:33.730 --> 00:03:36.530
三角形ACB

00:03:36.540 --> 00:03:40.160
因为它们是相似的 所以我们可以建立

00:03:40.170 --> 00:03:42.000
它们边的长度比关系

00:03:42.010 --> 00:03:44.730
比如说对应边的比例

00:03:44.740 --> 00:03:47.450
我们知道相似三角形对应边的

00:03:47.460 --> 00:03:49.070
长度的比值

00:03:49.080 --> 00:03:50.050
是一个常数

00:03:50.060 --> 00:03:54.500
所以我们可以利用这个比值 这个小三角形的斜边AC

00:03:54.510 --> 00:04:00.580
还有大三角形的斜边

00:04:00.590 --> 00:04:01.720
AB

00:04:01.730 --> 00:04:10.370
AC比AB的值一定与AD

00:04:10.380 --> 00:04:11.570
比上某一条边的值相等

00:04:11.580 --> 00:04:17.110
我们要在相似三角形上取

00:04:17.120 --> 00:04:18.320
对应的点和边

00:04:18.330 --> 00:04:23.740
所以是AD比AC

00:04:23.750 --> 00:04:25.720
你可以自己看看这些三角形

00:04:25.730 --> 00:04:30.040
你会发现 边AD是蓝色角和红色角

00:04:30.050 --> 00:04:32.570
的夹边

00:04:32.580 --> 00:04:34.540
边AD在这两个角中间

00:04:34.550 --> 00:04:38.130
同时边AC也在大三角形的蓝色角和红色角

00:04:38.140 --> 00:04:39.190
的中间

00:04:39.200 --> 00:04:41.100
所以这些边是大三角形的

00:04:41.110 --> 00:04:43.240
而这些是小三角形上的对应边

00:04:43.250 --> 00:04:46.190
如果有点不明白 看它们的标记字母

00:04:46.200 --> 00:04:50.380
只要你把相似三角形的字母顺序写对了

00:04:50.390 --> 00:04:51.990
你就能找对对应点

00:04:52.000 --> 00:04:56.150
AC和大三角形的AB对应

00:04:56.160 --> 00:05:01.950
小三角形的AD和大三角形的AC对应

00:05:01.960 --> 00:05:06.690
我们已知AC的长度是a

00:05:06.700 --> 00:05:08.640
小写的a

00:05:08.650 --> 00:05:10.720
所以a代表AC

00:05:10.730 --> 00:05:15.520
我们没有给AD的长度标字母

00:05:15.530 --> 00:05:20.330
但是我们知道AB的长度用c表示

00:05:20.340 --> 00:05:24.170
我们没有表示AD长度的字母

00:05:24.180 --> 00:05:26.580
那么就叫它d

00:05:26.590 --> 00:05:30.200
所以d对应着那一段的长度

00:05:30.210 --> 00:05:32.940
而c对应这整条斜边的长度

00:05:32.950 --> 00:05:35.920
我们把DB的长度称为e

00:05:35.930 --> 00:05:38.300
这会让证明简洁一些

00:05:38.310 --> 00:05:41.350
所以现在AD是d

00:05:41.360 --> 00:05:44.160
于是我们得到关系a比c等于d比a

00:05:44.170 --> 00:05:48.090
如果我们把等式交叉相乘 a乘以a得到a的平方

00:05:48.100 --> 00:05:51.140
a的平方等于c乘以d 也就是cd

00:05:51.150 --> 00:05:53.050
这是一个有趣的结果

00:05:53.060 --> 00:05:55.430
让我们来看看我们可以对剩下那个三角形做点什么

00:05:55.440 --> 00:05:57.780
就是这个三角形

00:05:57.790 --> 00:06:00.720
同样地 它有一个直角 大三角形也有一个直角

00:06:00.730 --> 00:06:03.990
并且它们在这里共享同一个角

00:06:04.000 --> 00:06:07.180
所以根据相似判定 这两个三角形

00:06:07.190 --> 00:06:08.180
是相似的

00:06:08.190 --> 00:06:12.250
也就是说三角形BDC 我们按从粉色的角开始到直角

00:06:12.260 --> 00:06:13.120
再到未标记角的顺序写字母

00:06:13.130 --> 00:06:20.920
所以三角形BDC相似于大三角形

00:06:20.930 --> 00:06:22.560
我们要来观察大三角形的对应点

00:06:22.570 --> 00:06:24.540
我们从粉色角B开始

00:06:24.550 --> 00:06:27.480
到直角C再到A

00:06:27.490 --> 00:06:31.040
BCA

00:06:31.050 --> 00:06:35.620
从粉色角到直角再到未标记角 一样的顺序

00:06:35.630 --> 00:06:38.200
和小三角形一样的顺序

00:06:38.210 --> 00:06:40.900
现在我们要找一些关系

00:06:40.910 --> 00:06:44.690
先来看小三角形的边BC

00:06:44.700 --> 00:06:47.470
BC比上BA

00:06:47.480 --> 00:06:49.750
BC比BA

00:06:49.760 --> 00:06:53.420
我们还是在比较两个三角形的斜边

00:06:53.430 --> 00:07:00.690
于是BC比BA等于BD比上另一条边

00:07:00.700 --> 00:07:04.720
让我换一种颜色 BD是其中一条直角边

00:07:04.730 --> 00:07:07.110
BD在这里是一条较短的直角边

00:07:07.120 --> 00:07:14.260
找到对应的大三角形的直角边BC 所以是BD比BC

00:07:14.270 --> 00:07:18.190
我们已知BC用字母b表示

00:07:18.200 --> 00:07:20.330
BC就是小写的b

00:07:20.340 --> 00:07:23.080
BA是小写的c

00:07:23.090 --> 00:07:29.280
BD根据之前我们定义的是小写的e

00:07:29.290 --> 00:07:31.560
所以这是小写的e

00:07:31.570 --> 00:07:35.000
交叉相乘 这里是 b乘以b

00:07:35.010 --> 00:07:38.840
我在很多视频中提到交叉相乘

00:07:38.850 --> 00:07:42.480
两边都要乘以相应的分母

00:07:42.490 --> 00:07:46.180
所以b乘以b等于ce

00:07:46.190 --> 00:07:50.030
现在我们可以做一件有趣的事情

00:07:50.040 --> 00:07:52.050
我们把这两个等式加起来

00:07:52.060 --> 00:07:53.480
让我重新来写一下

00:07:53.490 --> 00:07:55.770
b的平方等于ce

00:07:55.780 --> 00:07:59.750
如果我们把左手边加起来将会得到

00:07:59.760 --> 00:08:08.060
b的平方加上a的平方 而它们等于cd加上

00:08:08.070 --> 00:08:12.920
ce

00:08:12.930 --> 00:08:16.170
右边两项有公因式c所以我们把c提出来

00:08:16.180 --> 00:08:19.810
所以右边等于

00:08:19.820 --> 00:08:22.660
c乘以d和e的和

00:08:22.670 --> 00:08:29.250
给d加e套上括号

00:08:29.260 --> 00:08:31.450
结果是什么

00:08:31.460 --> 00:08:32.870
d是这条长度

00:08:32.880 --> 00:08:34.260
e是这段长度

00:08:34.270 --> 00:08:37.070
d加上e实际上同样等于c

00:08:37.080 --> 00:08:38.550
所以这就成了c

00:08:38.560 --> 00:08:42.650
c乘以c得到c的平方

00:08:42.660 --> 00:08:45.850
现在我们得到了一个有趣的关系

00:08:45.860 --> 00:08:51.290
我们得到a的平方加上b的平方等于c的平方

00:08:51.300 --> 00:08:52.260
让我重新写一遍

00:08:52.270 --> 00:08:56.930
让我用个新的颜色

00:08:56.940 --> 00:09:02.020
刚才不小心删掉了 现在再写一遍

00:09:02.030 --> 00:09:05.600
所以我们刚才得到了a的平方

00:09:05.610 --> 00:09:09.310
加上b的平方等于c的平方

00:09:09.320 --> 00:09:11.560
这是一个任意的直角三角形

00:09:11.570 --> 00:09:13.740
这两个小三角形也是任意的

00:09:13.750 --> 00:09:17.950
我们刚刚得到了直角边的平方和

00:09:17.960 --> 00:09:20.030
等于斜边的平方

00:09:20.040 --> 00:09:24.840
这大概是数学领域最简单却最有名的定理之一

00:09:24.850 --> 00:09:27.280
它以毕达哥拉斯的名字命名

00:09:27.290 --> 00:09:29.970
不知道他是不是第一个发现这个定理的人

00:09:29.980 --> 00:09:32.610
但是这个定理就叫做毕达哥拉斯定理

00:09:32.620 --> 00:09:37.490
就是勾股定律

00:09:37.500 --> 00:09:41.680
这并不是一切几何学的基础但是却对于

00:09:41.690 --> 00:09:43.440
几何学至关重要

00:09:43.450 --> 00:09:47.060
并且它是所有三角运算的基础

00:09:47.070 --> 00:09:49.550
这个定律相当使用因为当你知道一个直角三角形

00:09:49.560 --> 00:09:51.340
的两边 你可以轻松得到第三边