这是一个直角三角形
它是直角三角形是因为它有一个角是90度
或者说它有一个直角
现在我们来看这条最长的边
你可以把它看作是
直角三角形最长的边
也可以看作是直角的对边
总之这条边我们叫它斜边
这个名字对于它简单的概念来说略显华丽
只不过就是直角三角形的最长边
或者说是直角的对边而已
但是这还是有用的 因为用一个单词比较简单
我们不必说"他们说的是这条边
这条最长的直角的对边"直接说斜边就可以了
现在我要做的是证明一个关系
一个非常著名的关系
一个关于直角三角形各边长度之间的
著名的关系
我们假设边AC的长度 注意是大写的A和C
我们假设长度是小写的a
同时把边BC的长度称为b
我用大写字母表示点而小写字母表示长度
最后我们把斜边的长度
即AB的长度 叫做c
现在我们来看看我们是否能得出a b c之间的关系
在这之前我需要作一条辅助线
或者说辅助线段 在点C和斜边之间的一条辅助线段
这条辅助线将和斜边成直角
这并不难 我们准备叫这个点D
D就是辅助线和斜边的交点
如果这时候你担心 怎么作出这条辅助线
你可以想象一下把整个三角形这么旋转一下
这对后面的证明没有作用 但是这能让你
更直接地作出辅助线
我已经把它转了过来 现在斜边
成为了底边
这是点B 这是点A
我们已经把三角形转了过来
上面这个点是C 你可以想象从点C扔一块石头
这块石头绑在一根绳子上 绳子连在点C 于是
绑线的石头会和斜边形成直角
以上所做的都是为了作出辅助线段CD
垂足就是点D 在这里
我之所以作这么一条辅助线是因为这样子
我们就可以研究相似三角形的有趣关系了
现在一共有三个三角形 三角形ADC
三角形DBC以及原来的大三角形
我们应该能够在这些三角形之间建立相似关系
首先我们来证明三角形ADC相似于大三角形
因为它们都有一个直角
三角形ADC的这个角是直角
如果这个角是90度
那么这个角一定也是90度
它们是互补的因此它们的度数和必须是180度
所以两个三角形都有一个直角
小三角形在这里有一个直角
大三角形显然我们已知它有一个直角
同时 它们还共有同一个角
角DAC或者角BAC 随你们怎么叫它
我们可以把那些三角形写下来
我从小的开始
三角形ADC 我给它涂上阴影
所以这就是我们要看的三角形 ADC
然后我们一个角一个角来对应从蓝色的角 直角
到没有标记的那个角
这个直角并不对应那边那个角
这个直角和大三角形的直角对应
所以 我们可以推出三角形ADC
和大三角形相似
我们再在大三角形上对应一次 从蓝色角A
到直角
我们不必再去看那个直角
所以三角形ADC相似于三角形ACB
三角形ACB
因为它们是相似的 所以我们可以建立
它们边的长度比关系
比如说对应边的比例
我们知道相似三角形对应边的
长度的比值
是一个常数
所以我们可以利用这个比值 这个小三角形的斜边AC
还有大三角形的斜边
AB
AC比AB的值一定与AD
比上某一条边的值相等
我们要在相似三角形上取
对应的点和边
所以是AD比AC
你可以自己看看这些三角形
你会发现 边AD是蓝色角和红色角
的夹边
边AD在这两个角中间
同时边AC也在大三角形的蓝色角和红色角
的中间
所以这些边是大三角形的
而这些是小三角形上的对应边
如果有点不明白 看它们的标记字母
只要你把相似三角形的字母顺序写对了
你就能找对对应点
AC和大三角形的AB对应
小三角形的AD和大三角形的AC对应
我们已知AC的长度是a
小写的a
所以a代表AC
我们没有给AD的长度标字母
但是我们知道AB的长度用c表示
我们没有表示AD长度的字母
那么就叫它d
所以d对应着那一段的长度
而c对应这整条斜边的长度
我们把DB的长度称为e
这会让证明简洁一些
所以现在AD是d
于是我们得到关系a比c等于d比a
如果我们把等式交叉相乘 a乘以a得到a的平方
a的平方等于c乘以d 也就是cd
这是一个有趣的结果
让我们来看看我们可以对剩下那个三角形做点什么
就是这个三角形
同样地 它有一个直角 大三角形也有一个直角
并且它们在这里共享同一个角
所以根据相似判定 这两个三角形
是相似的
也就是说三角形BDC 我们按从粉色的角开始到直角
再到未标记角的顺序写字母
所以三角形BDC相似于大三角形
我们要来观察大三角形的对应点
我们从粉色角B开始
到直角C再到A
BCA
从粉色角到直角再到未标记角 一样的顺序
和小三角形一样的顺序
现在我们要找一些关系
先来看小三角形的边BC
BC比上BA
BC比BA
我们还是在比较两个三角形的斜边
于是BC比BA等于BD比上另一条边
让我换一种颜色 BD是其中一条直角边
BD在这里是一条较短的直角边
找到对应的大三角形的直角边BC 所以是BD比BC
我们已知BC用字母b表示
BC就是小写的b
BA是小写的c
BD根据之前我们定义的是小写的e
所以这是小写的e
交叉相乘 这里是 b乘以b
我在很多视频中提到交叉相乘
两边都要乘以相应的分母
所以b乘以b等于ce
现在我们可以做一件有趣的事情
我们把这两个等式加起来
让我重新来写一下
b的平方等于ce
如果我们把左手边加起来将会得到
b的平方加上a的平方 而它们等于cd加上
ce
右边两项有公因式c所以我们把c提出来
所以右边等于
c乘以d和e的和
给d加e套上括号
结果是什么
d是这条长度
e是这段长度
d加上e实际上同样等于c
所以这就成了c
c乘以c得到c的平方
现在我们得到了一个有趣的关系
我们得到a的平方加上b的平方等于c的平方
让我重新写一遍
让我用个新的颜色
刚才不小心删掉了 现在再写一遍
所以我们刚才得到了a的平方
加上b的平方等于c的平方
这是一个任意的直角三角形
这两个小三角形也是任意的
我们刚刚得到了直角边的平方和
等于斜边的平方
这大概是数学领域最简单却最有名的定理之一
它以毕达哥拉斯的名字命名
不知道他是不是第一个发现这个定理的人
但是这个定理就叫做毕达哥拉斯定理
就是勾股定律
这并不是一切几何学的基础但是却对于
几何学至关重要
并且它是所有三角运算的基础
这个定律相当使用因为当你知道一个直角三角形
的两边 你可以轻松得到第三边