0:00:00.670,0:00:04.045
A háromszög, amit itt látunk,[br]derékszögű.

0:00:04.045,0:00:06.600
Azért derékszögű, mert[br]van egy 90°-os szöge,

0:00:06.600,0:00:09.240
van benne egy derékszög.

0:00:09.240,0:00:12.520
Egy derékszögű háromszög[br]leghosszabb oldalát,

0:00:12.520,0:00:14.599
ezt az oldalt, amit tehát

0:00:14.599,0:00:17.140
mondhatunk a derékszögű[br]háromszög leghosszabb oldalának,

0:00:17.140,0:00:20.980
vagy a 90°-os szöggel szemközti oldalnak,[br]ez az átfogó.

0:00:20.980,0:00:23.740
Meglehetősen különös ez az elnevezése[br]nnek az egyszerű fogalomnak,

0:00:23.740,0:00:26.140
mint egy derékszögű háromszög[br]leghosszabb oldala,

0:00:26.140,0:00:27.542
vagy a 90°-os szögével szmközti oldal.

0:00:27.542,0:00:29.500
Azért mégiscsak jó, ha ismerjük,

0:00:29.500,0:00:30.090
ha valaki hivatkozik az átfogóra.

0:00:30.090,0:00:32.548
Akkor mindjárt tudni fogjuk,[br]hogy erre az oldalra gondol,

0:00:32.548,0:00:36.580
a leghosszabb oldalra,[br]avagy a 90°-kal szemköztire.

0:00:36.580,0:00:38.860
Ebben a videóban

0:00:38.860,0:00:42.167
egy nagyon híres összefüggést[br]szeretnék bizonyítani.

0:00:42.167,0:00:43.750
Talán már látod is,mire utalok,

0:00:43.750,0:00:46.370
egy igazán ismert összefüggésre,

0:00:46.370,0:00:48.840
amely egy derékszögű háromszög[br]oldalai között áll fenn.

0:00:48.840,0:00:53.210
Legyen az AC oldal (nagy A és nagy C)[br]hossza 'a',

0:00:55.930,0:01:00.040
a BC oldalé 'b'.

0:01:00.040,0:01:03.420
Nagybetűket fogok használni a csúcsoknál,[br]és kisbetűket az oldalak hosszánál.

0:01:03.420,0:01:06.630
És akkor legyen az átfogó,[br]az AB oldal hossza 'c'.

0:01:07.822,0:01:10.030
És vizsgáljuk meg, hogy fel tudunk-e írni[br]valamilyen összefüggést

0:01:10.030,0:01:12.790
'a', 'b' és 'c' között.

0:01:12.790,0:01:14.780
Ehhez létre fogok hozni

0:01:14.780,0:01:16.410
egy másik szakaszt, vagy [br]úgy is mondhatjuk, hogy

0:01:16.410,0:01:19.520
egy másik idomot [br]a C és az átfogó között.

0:01:19.520,0:01:21.600
Úgy fogom csinálni,

0:01:21.600,0:01:23.880
hogy a metszés derékszögben legyen.

0:01:23.880,0:01:25.006
Ezt mindig megtehetjük.

0:01:25.006,0:01:27.005
Ezt a metszéspontot nevezzük D-nek.

0:01:28.120,0:01:31.010
És ha csodálkoznál azon, hogy vajon[br]miért lehet ezt bármikor megtenni,

0:01:31.010,0:01:33.634
egyszerűen képzeld el, ahogy[br]elforgatjuk ezt az egész háromszöget.

0:01:33.634,0:01:36.050
Ez most nem egy precíz bizonyítás,

0:01:36.050,0:01:38.100
de ad egy általános benyomást

0:01:38.100,0:01:39.810
arról, hogy ez a pont mindig [br]létrehozható forgatással.

0:01:41.260,0:01:44.750
Most legyen itt vízszintesen az átfogónk,

0:01:44.750,0:01:48.414
ez itt a B csúcspont, ez meg az A csúcspont.

0:01:48.414,0:01:50.580
Körbeforgatjuk az egész dolgot.

0:01:50.580,0:01:52.710
Ez a C csúcspont, [br]és azt el tudod képzelni,

0:01:52.710,0:01:55.820
hogy ledobunk egy madzagra[br]kötött követ a C pontból,

0:01:55.820,0:01:59.460
és akkor az derékszögben fog leérkezni [br]az átfogóra.

0:01:59.460,0:02:02.980
Ezt csináltuk tehát, amikor[br]megalkottuk a CD szakaszt,

0:02:02.980,0:02:05.570
ahogy a D pontot képeztük.

0:02:05.570,0:02:07.220
És ezt azért tettük, mert így

0:02:07.220,0:02:09.289
mindenféle érdekes összefüggést

0:02:09.289,0:02:10.490
tudunk felírni hasonló háromszögek között.

0:02:10.490,0:02:12.180
Itt ugyanis három háromszögünk lesz,

0:02:12.180,0:02:15.604
ADC háromszög, DBC háromszög,

0:02:15.604,0:02:17.520
és persze az eredeti nagyobb háromszög.

0:02:17.520,0:02:19.890
És remélhetőleg találunk majd

0:02:19.890,0:02:21.980
hasonlóságokat ezek között[br]a háromszögek között.

0:02:21.980,0:02:27.590
Először kimutatjuk, hogy az ADC[br]hasonló a nagyobb háromszöghöz.

0:02:27.590,0:02:29.710
Mindkettőnek van egy derékszöge,

0:02:29.710,0:02:32.070
ADC-nek itt van a derékszöge,

0:02:32.070,0:02:33.571
hiszen ha ez itt 90°, akkor[br]nyilván ez is 90° lesz,

0:02:35.653,0:02:36.660
mivel ezek kiegészítő szögei egymásnak,

0:02:36.660,0:02:38.510
együttesen 180°-ot kell kiadniuk.

0:02:38.510,0:02:40.440
Tehát mindkettőben van egy derékszög,

0:02:40.440,0:02:42.060
a kisebbikben is van egy derékszög,

0:02:42.060,0:02:43.590
a nagyobbikban pedig nyilván van,

0:02:43.590,0:02:44.840
hiszen ebből indultunk ki.

0:02:44.840,0:02:48.690
Ezenkívül mindkettőben[br]szerepel ez a szög,

0:02:48.690,0:02:52.150
a DAC vagy BAC szög,

0:02:52.150,0:02:53.580
ahogy épp hivatkozunk rá.

0:02:53.580,0:02:56.720
Így tehát felírhatjuk a következőt:

0:02:56.720,0:03:00.290
a kisebbik ADC-vel kezdem,

0:03:00.290,0:03:02.190
be is satírozom,

0:03:02.190,0:03:04.023
hogy mutassam, erről a [br]háromszögről van szó,

0:03:04.023,0:03:05.429
az ADC háromszögről.

0:03:05.429,0:03:07.470
Kiindultam a kék szögből és[br]haladtam a derékszög felé,

0:03:07.470,0:03:10.620
majd a jelöletlen szög felé.

0:03:10.620,0:03:13.860
Ez a derékszög itt nem játszik szerepet,

0:03:13.860,0:03:15.820
ez a nagyobb háromszöghöz tartozik.

0:03:15.820,0:03:24.820
Tehát azt mondhatjuk,[br]hogy az ADC háromszög hasonló

0:03:24.820,0:03:27.130
– és most megint a kék színű, [br]A szögből indulunk,

0:03:27.130,0:03:29.500
ezután mentünk a derékszög felé,

0:03:29.500,0:03:32.220
tehát most is a derékszög következik,

0:03:32.220,0:03:32.830
ez az ACB.

0:03:37.190,0:03:39.270
És mivel ezek hasonlóak,

0:03:39.270,0:03:42.220
felírhatunk egy összefüggést az oldalaik[br]arányai között.

0:03:42.220,0:03:44.705
Például – tudjuk ugye, hogy a hasonló[br]háromszögekben

0:03:44.705,0:03:47.080
a megfelelő oldalaik aránya

0:03:47.080,0:03:48.640
egy konstans –

0:03:49.890,0:03:54.100
tehát vehetjük a kisebb háromszög[br]átfogóját,

0:03:54.960,0:03:57.350
ez az átfogó az AC,

0:03:57.350,0:04:00.710
és ezt arányítjuk a nagyobb háromszög[br]átfogójához, ami AB,

0:04:00.710,0:04:10.480
vagyis AC / AB meg fog egyezni

0:04:10.480,0:04:14.180
AD, az egyik befogó

0:04:14.180,0:04:16.959
– és itt mutatom, hogy a két háromszögből

0:04:16.959,0:04:23.794
a megfelelő oldalakat veszem –[br]tehát AD /AC-vel.

0:04:23.794,0:04:25.960
Te magad is megvizsgálhatod[br]ezeket a háromszögeket,

0:04:25.960,0:04:29.930
és láthatod, hogy

0:04:31.410,0:04:34.760
az AD oldal a kék szög és a[br]derékszög között helyezkedik el,

0:04:34.760,0:04:38.025
és az AC oldal is a kék szög és a [br]derékszög között van

0:04:38.025,0:04:39.010
a nagyobb háromszögben.

0:04:39.010,0:04:40.950
Szóval ezt a kettőt a nagyobbik[br]háromszögből vesszük.

0:04:40.950,0:04:43.660
Ezek pedig a kisebbik háromszög[br]megfelelő oldalai.

0:04:43.660,0:04:46.990
És ha nehezedre esne mindezt[br]a rajzot nézve megérteni,

0:04:46.990,0:04:50.199
ha helyesen írtuk fel a hasonlóságot,

0:04:50.199,0:04:51.990
itt is egyszerűen megtalálhatod a megfelelő [br]csúcspontokat.

0:04:51.990,0:04:56.590
AC megfelel a nagyobb háromszögben[br]AB-nek,

0:04:56.590,0:04:58.840
a kisebb háromszög AD oldala

0:04:58.840,0:05:02.330
megfelel a nagyobb háromszög AC oldalának.

0:05:02.330,0:05:06.920
És ezt át is írhatjuk, AC megfelel 'a'-nak.

0:05:08.642,0:05:09.642
AC az 'a' és itt is AC 'a' lesz.

0:05:11.365,0:05:12.365
AD-re és AB-re nincs külön címkék,

0:05:16.810,0:05:18.900
ja, bocs, AB-re persze, hogy van,

0:05:18.900,0:05:20.590
ez a 'c',

0:05:20.590,0:05:23.790
csak az AD-re nem volt címkénk,

0:05:23.790,0:05:26.840
de akkor legyen ez 'd'.

0:05:26.840,0:05:30.400
'd' felel meg ennek a résznek,

0:05:30.400,0:05:33.560
és 'c' felel meg ennek a teljes hossznak.

0:05:33.560,0:05:35.905
A DB szakaszt pedig nevezzük 'e'-nek,

0:05:35.905,0:05:38.700
ez így egy kicsit egyszerűbb lesz.

0:05:38.700,0:05:41.760
AD-t tehát átírjuk 'd'-vé.

0:05:41.760,0:05:43.850
És akkor azt kapjuk, hogy[br]a/c = d/a

0:05:43.850,0:05:47.830
Ha felszorzunk, azt kapjuk, hogy a・a,

0:05:47.830,0:05:50.791
azaz a² = c・d.

0:05:50.791,0:05:52.790
Ez most egy érdekes eredmény.

0:05:52.790,0:05:54.789
Nézzük akkor, mit tudunk[br]kezdeni a másik háromszöggel.

0:05:55.930,0:05:57.940
Erről a háromszögről van szó.

0:05:57.940,0:05:59.490
Mégegyszer, van ennek egy[br]derékszöge,

0:05:59.490,0:06:00.865
a nagyobbnak is van egy derékszöge,

0:06:00.865,0:06:04.270
és osztoznak ezen a szögön.

0:06:04.270,0:06:07.070
Így a szög-szög hasonlóság alapján

0:06:07.070,0:06:08.210
a két háromszög hasonló.

0:06:08.210,0:06:11.040
Azt mondhatjuk tehát,[br]hogy a BDC háromszög

0:06:11.040,0:06:12.970
– a rózsaszínűtől megyünk a derékszögig,[br]majd a jelzetlenig –

0:06:12.970,0:06:20.352
hasonló – most a nagyobb háromszöget[br]vizsgáljuk,

0:06:22.310,0:06:23.430
a rózsaszínű szögtől indulunk, [br]azaz B-től,

0:06:23.430,0:06:25.567
haladunk a derékszög felé,

0:06:25.567,0:06:26.066
ami a C, és aztán A.

0:06:29.190,0:06:31.680
BCA.

0:06:31.680,0:06:34.979
Rózsaszín – derékszög – jelöletlen szög.

0:06:34.979,0:06:36.520
Ebben az esetben nem jelöljük,

0:06:36.520,0:06:38.420
korábban ez volt a kék szög.

0:06:38.420,0:06:40.620
Állítsunk akkor fel valamilyen[br]kapcsolatot ezek között.

0:06:40.620,0:06:45.040
A kisebb háromszögből vett BC oldallal

0:06:45.040,0:06:50.130
BC/BA – és figyelem,

0:06:50.130,0:06:53.230
mindkét háromszögben az átfogót nézzük –

0:06:53.230,0:07:00.593
BC/BA egyenlő lesz

0:07:00.593,0:07:02.590
(ezt egy másikszínnel jelölöm)

0:07:02.590,0:07:03.450
BD, ami az egyik befogó,

0:07:05.570,0:07:07.430
a rajzom szerint ez a rövidebb befogó,

0:07:07.430,0:07:10.370
tehát BD/BC.

0:07:10.370,0:07:12.770
A megfelelő csúcsokat követtem,

0:07:12.770,0:07:14.600
BD/BC.

0:07:14.600,0:07:18.203
BC az ugye nem más, mint 'b',

0:07:20.322,0:07:22.926
BA pedig 'c',

0:07:25.570,0:07:29.740
és BD-ről azt mondtuk, hogy az az 'e'.

0:07:31.260,0:07:33.210
Felszorzunk keresztbe és azt kapjuk,

0:07:33.210,0:07:37.830
hogy b・b, (ahogy azt már sokszor

0:07:37.830,0:07:40.310
említettem korábban, a keresztbe való[br]felszorzás azt jelenti,

0:07:40.310,0:07:42.680
hogy mindkét oldalt megszorozzuk[br]mindkét nevezővel)

0:07:42.680,0:07:47.960
vagyis b² = c・e.

0:07:47.960,0:07:50.010
Most pedig valami érdekeset fogunk csinálni:

0:07:50.010,0:07:51.406
összeadjuk ezt a két kifejezést.

0:07:51.406,0:07:53.030
Ideírom a másik kifejezést,

0:07:53.030,0:07:56.100
b² = c・e.

0:07:56.100,0:07:58.310
Ha összeadjuk a bal oldalakat, azt kapjuk,

0:07:58.310,0:08:02.120
a² + b² = cd + ce.

0:08:12.595,0:08:14.917
Mivel a 'c' mindkét tényezőben[br]szerepel,

0:08:14.917,0:08:16.000
ki tudjuk emelni,

0:08:19.880,0:08:22.952
ez tehát c (d + e) lesz.

0:08:29.790,0:08:31.460
Na és mennyi ez a (d + e)?

0:08:31.460,0:08:34.159
'd' ez a szakasz, 'e' ez a szakasz,

0:08:34.159,0:08:37.169
tehát d + e az nem más, mint c.

0:08:37.169,0:08:38.496
Ez tehát itt c,

0:08:38.496,0:08:41.039
c・c, ami nem más, mint c².

0:08:43.030,0:08:45.700
Na és ez egy érdekes összefüggés.

0:08:45.700,0:08:51.150
Azt kaptuk, hogy a² + b² = c²,

0:08:51.150,0:08:52.580
Hadd írjam ezt le újra

0:08:52.580,0:08:54.300
egy új színnel:

0:09:02.380,0:09:07.390
most mutattuk meg, hogy

0:09:07.390,0:09:09.400
a² + b² = c².

0:09:09.400,0:09:11.320
És ez egy tetszőlegesen választott[br]derékszögű háromszög volt,

0:09:11.320,0:09:13.590
ez bármilyen derékszögű háromszögre igaz.

0:09:13.590,0:09:17.120
Épp most bizonyítottuk be, hogy

0:09:17.120,0:09:20.060
a befogók négyzeteinek összege[br]megegyezik az átfogó négyzetével.

0:09:20.060,0:09:22.550
És ez valószínűleg az egyik

0:09:22.550,0:09:26.220
legismertebb tétele a matematikának,

0:09:26.220,0:09:27.360
amely Pitagoraszról kapta a nevét.

0:09:27.360,0:09:30.370
Nem teljesen biztos, hogy ő volt[br]az első, aki ezt megfogalmazta,

0:09:30.370,0:09:32.310
mi mindenesetre Pitagorasz-tételnek hívjuk.

0:09:38.290,0:09:41.469
És ez alapjául fog szolgálni csaknem

0:09:41.469,0:09:43.510
az egész geometriának, amivel[br]foglalkozni fogunk.

0:09:43.510,0:09:45.880
És ez az alapja nagyon sok mindennek

0:09:45.880,0:09:46.230
a trigonometriában is.

0:09:46.230,0:09:47.550
És az mindig hasznos lesz, ha tudod,

0:09:47.550,0:09:49.299
hogy ha ismered egy derékszögű [br]háromszög két oldalát,

0:09:49.299,0:09:51.890
akkor mindig meg tudod határozni[br]a harmadikat.