1
00:00:00,670 --> 00:00:04,045
A háromszög, amit itt látunk,
derékszögű.

2
00:00:04,045 --> 00:00:06,600
Azért derékszögű, mert
van egy 90°-os szöge,

3
00:00:06,600 --> 00:00:09,240
van benne egy derékszög.

4
00:00:09,240 --> 00:00:12,520
Egy derékszögű háromszög
leghosszabb oldalát,

5
00:00:12,520 --> 00:00:14,599
ezt az oldalt, amit tehát

6
00:00:14,599 --> 00:00:17,140
mondhatunk a derékszögű
háromszög leghosszabb oldalának,

7
00:00:17,140 --> 00:00:20,980
vagy a 90°-os szöggel szemközti oldalnak,
ez az átfogó.

8
00:00:20,980 --> 00:00:23,740
Meglehetősen különös ez az elnevezése
nnek az egyszerű fogalomnak,

9
00:00:23,740 --> 00:00:26,140
mint egy derékszögű háromszög
leghosszabb oldala,

10
00:00:26,140 --> 00:00:27,542
vagy a 90°-os szögével szmközti oldal.

11
00:00:27,542 --> 00:00:29,500
Azért mégiscsak jó, ha ismerjük,

12
00:00:29,500 --> 00:00:30,090
ha valaki hivatkozik az átfogóra.

13
00:00:30,090 --> 00:00:32,548
Akkor mindjárt tudni fogjuk,
hogy erre az oldalra gondol,

14
00:00:32,548 --> 00:00:36,580
a leghosszabb oldalra,
avagy a 90°-kal szemköztire.

15
00:00:36,580 --> 00:00:38,860
Ebben a videóban

16
00:00:38,860 --> 00:00:42,167
egy nagyon híres összefüggést
szeretnék bizonyítani.

17
00:00:42,167 --> 00:00:43,750
Talán már látod is,mire utalok,

18
00:00:43,750 --> 00:00:46,370
egy igazán ismert összefüggésre,

19
00:00:46,370 --> 00:00:48,840
amely egy derékszögű háromszög
oldalai között áll fenn.

20
00:00:48,840 --> 00:00:53,210
Legyen az AC oldal (nagy A és nagy C)
hossza 'a',

21
00:00:55,930 --> 00:01:00,040
a BC oldalé 'b'.

22
00:01:00,040 --> 00:01:03,420
Nagybetűket fogok használni a csúcsoknál,
és kisbetűket az oldalak hosszánál.

23
00:01:03,420 --> 00:01:06,630
És akkor legyen az átfogó,
az AB oldal hossza 'c'.

24
00:01:07,822 --> 00:01:10,030
És vizsgáljuk meg, hogy fel tudunk-e írni
valamilyen összefüggést

25
00:01:10,030 --> 00:01:12,790
'a', 'b' és 'c' között.

26
00:01:12,790 --> 00:01:14,780
Ehhez létre fogok hozni

27
00:01:14,780 --> 00:01:16,410
egy másik szakaszt, vagy 
úgy is mondhatjuk, hogy

28
00:01:16,410 --> 00:01:19,520
egy másik idomot 
a C és az átfogó között.

29
00:01:19,520 --> 00:01:21,600
Úgy fogom csinálni,

30
00:01:21,600 --> 00:01:23,880
hogy a metszés derékszögben legyen.

31
00:01:23,880 --> 00:01:25,006
Ezt mindig megtehetjük.

32
00:01:25,006 --> 00:01:27,005
Ezt a metszéspontot nevezzük D-nek.

33
00:01:28,120 --> 00:01:31,010
És ha csodálkoznál azon, hogy vajon
miért lehet ezt bármikor megtenni,

34
00:01:31,010 --> 00:01:33,634
egyszerűen képzeld el, ahogy
elforgatjuk ezt az egész háromszöget.

35
00:01:33,634 --> 00:01:36,050
Ez most nem egy precíz bizonyítás,

36
00:01:36,050 --> 00:01:38,100
de ad egy általános benyomást

37
00:01:38,100 --> 00:01:39,810
arról, hogy ez a pont mindig 
létrehozható forgatással.

38
00:01:41,260 --> 00:01:44,750
Most legyen itt vízszintesen az átfogónk,

39
00:01:44,750 --> 00:01:48,414
ez itt a B csúcspont, ez meg az A csúcspont.

40
00:01:48,414 --> 00:01:50,580
Körbeforgatjuk az egész dolgot.

41
00:01:50,580 --> 00:01:52,710
Ez a C csúcspont, 
és azt el tudod képzelni,

42
00:01:52,710 --> 00:01:55,820
hogy ledobunk egy madzagra
kötött követ a C pontból,

43
00:01:55,820 --> 00:01:59,460
és akkor az derékszögben fog leérkezni 
az átfogóra.

44
00:01:59,460 --> 00:02:02,980
Ezt csináltuk tehát, amikor
megalkottuk a CD szakaszt,

45
00:02:02,980 --> 00:02:05,570
ahogy a D pontot képeztük.

46
00:02:05,570 --> 00:02:07,220
És ezt azért tettük, mert így

47
00:02:07,220 --> 00:02:09,289
mindenféle érdekes összefüggést

48
00:02:09,289 --> 00:02:10,490
tudunk felírni hasonló háromszögek között.

49
00:02:10,490 --> 00:02:12,180
Itt ugyanis három háromszögünk lesz,

50
00:02:12,180 --> 00:02:15,604
ADC háromszög, DBC háromszög,

51
00:02:15,604 --> 00:02:17,520
és persze az eredeti nagyobb háromszög.

52
00:02:17,520 --> 00:02:19,890
És remélhetőleg találunk majd

53
00:02:19,890 --> 00:02:21,980
hasonlóságokat ezek között
a háromszögek között.

54
00:02:21,980 --> 00:02:27,590
Először kimutatjuk, hogy az ADC
hasonló a nagyobb háromszöghöz.

55
00:02:27,590 --> 00:02:29,710
Mindkettőnek van egy derékszöge,

56
00:02:29,710 --> 00:02:32,070
ADC-nek itt van a derékszöge,

57
00:02:32,070 --> 00:02:33,571
hiszen ha ez itt 90°, akkor
nyilván ez is 90° lesz,

58
00:02:35,653 --> 00:02:36,660
mivel ezek kiegészítő szögei egymásnak,

59
00:02:36,660 --> 00:02:38,510
együttesen 180°-ot kell kiadniuk.

60
00:02:38,510 --> 00:02:40,440
Tehát mindkettőben van egy derékszög,

61
00:02:40,440 --> 00:02:42,060
a kisebbikben is van egy derékszög,

62
00:02:42,060 --> 00:02:43,590
a nagyobbikban pedig nyilván van,

63
00:02:43,590 --> 00:02:44,840
hiszen ebből indultunk ki.

64
00:02:44,840 --> 00:02:48,690
Ezenkívül mindkettőben
szerepel ez a szög,

65
00:02:48,690 --> 00:02:52,150
a DAC vagy BAC szög,

66
00:02:52,150 --> 00:02:53,580
ahogy épp hivatkozunk rá.

67
00:02:53,580 --> 00:02:56,720
Így tehát felírhatjuk a következőt:

68
00:02:56,720 --> 00:03:00,290
a kisebbik ADC-vel kezdem,

69
00:03:00,290 --> 00:03:02,190
be is satírozom,

70
00:03:02,190 --> 00:03:04,023
hogy mutassam, erről a 
háromszögről van szó,

71
00:03:04,023 --> 00:03:05,429
az ADC háromszögről.

72
00:03:05,429 --> 00:03:07,470
Kiindultam a kék szögből és
haladtam a derékszög felé,

73
00:03:07,470 --> 00:03:10,620
majd a jelöletlen szög felé.

74
00:03:10,620 --> 00:03:13,860
Ez a derékszög itt nem játszik szerepet,

75
00:03:13,860 --> 00:03:15,820
ez a nagyobb háromszöghöz tartozik.

76
00:03:15,820 --> 00:03:24,820
Tehát azt mondhatjuk,
hogy az ADC háromszög hasonló

77
00:03:24,820 --> 00:03:27,130
– és most megint a kék színű, 
A szögből indulunk,

78
00:03:27,130 --> 00:03:29,500
ezután mentünk a derékszög felé,

79
00:03:29,500 --> 00:03:32,220
tehát most is a derékszög következik,

80
00:03:32,220 --> 00:03:32,830
ez az ACB.

81
00:03:37,190 --> 00:03:39,270
És mivel ezek hasonlóak,

82
00:03:39,270 --> 00:03:42,220
felírhatunk egy összefüggést az oldalaik
arányai között.

83
00:03:42,220 --> 00:03:44,705
Például – tudjuk ugye, hogy a hasonló
háromszögekben

84
00:03:44,705 --> 00:03:47,080
a megfelelő oldalaik aránya

85
00:03:47,080 --> 00:03:48,640
egy konstans –

86
00:03:49,890 --> 00:03:54,100
tehát vehetjük a kisebb háromszög
átfogóját,

87
00:03:54,960 --> 00:03:57,350
ez az átfogó az AC,

88
00:03:57,350 --> 00:04:00,710
és ezt arányítjuk a nagyobb háromszög
átfogójához, ami AB,

89
00:04:00,710 --> 00:04:10,480
vagyis AC / AB meg fog egyezni

90
00:04:10,480 --> 00:04:14,180
AD, az egyik befogó

91
00:04:14,180 --> 00:04:16,959
– és itt mutatom, hogy a két háromszögből

92
00:04:16,959 --> 00:04:23,794
a megfelelő oldalakat veszem –
tehát AD /AC-vel.

93
00:04:23,794 --> 00:04:25,960
Te magad is megvizsgálhatod
ezeket a háromszögeket,

94
00:04:25,960 --> 00:04:29,930
és láthatod, hogy

95
00:04:31,410 --> 00:04:34,760
az AD oldal a kék szög és a
derékszög között helyezkedik el,

96
00:04:34,760 --> 00:04:38,025
és az AC oldal is a kék szög és a 
derékszög között van

97
00:04:38,025 --> 00:04:39,010
a nagyobb háromszögben.

98
00:04:39,010 --> 00:04:40,950
Szóval ezt a kettőt a nagyobbik
háromszögből vesszük.

99
00:04:40,950 --> 00:04:43,660
Ezek pedig a kisebbik háromszög
megfelelő oldalai.

100
00:04:43,660 --> 00:04:46,990
És ha nehezedre esne mindezt
a rajzot nézve megérteni,

101
00:04:46,990 --> 00:04:50,199
ha helyesen írtuk fel a hasonlóságot,

102
00:04:50,199 --> 00:04:51,990
itt is egyszerűen megtalálhatod a megfelelő 
csúcspontokat.

103
00:04:51,990 --> 00:04:56,590
AC megfelel a nagyobb háromszögben
AB-nek,

104
00:04:56,590 --> 00:04:58,840
a kisebb háromszög AD oldala

105
00:04:58,840 --> 00:05:02,330
megfelel a nagyobb háromszög AC oldalának.

106
00:05:02,330 --> 00:05:06,920
És ezt át is írhatjuk, AC megfelel 'a'-nak.

107
00:05:08,642 --> 00:05:09,642
AC az 'a' és itt is AC 'a' lesz.

108
00:05:11,365 --> 00:05:12,365
AD-re és AB-re nincs külön címkék,

109
00:05:16,810 --> 00:05:18,900
ja, bocs, AB-re persze, hogy van,

110
00:05:18,900 --> 00:05:20,590
ez a 'c',

111
00:05:20,590 --> 00:05:23,790
csak az AD-re nem volt címkénk,

112
00:05:23,790 --> 00:05:26,840
de akkor legyen ez 'd'.

113
00:05:26,840 --> 00:05:30,400
'd' felel meg ennek a résznek,

114
00:05:30,400 --> 00:05:33,560
és 'c' felel meg ennek a teljes hossznak.

115
00:05:33,560 --> 00:05:35,905
A DB szakaszt pedig nevezzük 'e'-nek,

116
00:05:35,905 --> 00:05:38,700
ez így egy kicsit egyszerűbb lesz.

117
00:05:38,700 --> 00:05:41,760
AD-t tehát átírjuk 'd'-vé.

118
00:05:41,760 --> 00:05:43,850
És akkor azt kapjuk, hogy
a/c = d/a

119
00:05:43,850 --> 00:05:47,830
Ha felszorzunk, azt kapjuk, hogy a・a,

120
00:05:47,830 --> 00:05:50,791
azaz a² = c・d.

121
00:05:50,791 --> 00:05:52,790
Ez most egy érdekes eredmény.

122
00:05:52,790 --> 00:05:54,789
Nézzük akkor, mit tudunk
kezdeni a másik háromszöggel.

123
00:05:55,930 --> 00:05:57,940


124
00:05:57,940 --> 00:05:59,490


125
00:05:59,490 --> 00:06:00,865


126
00:06:00,865 --> 00:06:04,270


127
00:06:04,270 --> 00:06:07,070


128
00:06:07,070 --> 00:06:08,210


129
00:06:08,210 --> 00:06:11,040


130
00:06:11,040 --> 00:06:12,970


131
00:06:12,970 --> 00:06:20,352


132
00:06:20,352 --> 00:06:22,310


133
00:06:22,310 --> 00:06:23,430


134
00:06:23,430 --> 00:06:25,567


135
00:06:25,567 --> 00:06:26,066


136
00:06:29,190 --> 00:06:31,680


137
00:06:31,680 --> 00:06:34,979


138
00:06:34,979 --> 00:06:36,520


139
00:06:36,520 --> 00:06:38,420


140
00:06:38,420 --> 00:06:40,620


141
00:06:40,620 --> 00:06:45,040


142
00:06:45,040 --> 00:06:50,130


143
00:06:50,130 --> 00:06:53,230


144
00:06:53,230 --> 00:07:00,593


145
00:07:00,593 --> 00:07:02,590


146
00:07:02,590 --> 00:07:03,450


147
00:07:03,450 --> 00:07:04,890


148
00:07:04,890 --> 00:07:05,570


149
00:07:05,570 --> 00:07:07,430


150
00:07:07,430 --> 00:07:10,370


151
00:07:10,370 --> 00:07:12,770


152
00:07:12,770 --> 00:07:14,600


153
00:07:14,600 --> 00:07:18,203


154
00:07:18,203 --> 00:07:20,322


155
00:07:20,322 --> 00:07:22,926


156
00:07:25,570 --> 00:07:29,740


157
00:07:29,740 --> 00:07:31,260


158
00:07:31,260 --> 00:07:33,210


159
00:07:33,210 --> 00:07:37,830


160
00:07:37,830 --> 00:07:40,310


161
00:07:40,310 --> 00:07:42,680


162
00:07:42,680 --> 00:07:47,960


163
00:07:47,960 --> 00:07:50,010


164
00:07:50,010 --> 00:07:51,406


165
00:07:51,406 --> 00:07:53,030


166
00:07:53,030 --> 00:07:56,100


167
00:07:56,100 --> 00:07:58,310


168
00:07:58,310 --> 00:08:02,120


169
00:08:02,120 --> 00:08:09,420


170
00:08:12,595 --> 00:08:14,917


171
00:08:14,917 --> 00:08:16,000


172
00:08:16,000 --> 00:08:19,880


173
00:08:19,880 --> 00:08:22,952


174
00:08:22,952 --> 00:08:29,790


175
00:08:29,790 --> 00:08:31,460


176
00:08:31,460 --> 00:08:34,159


177
00:08:34,159 --> 00:08:37,169


178
00:08:37,169 --> 00:08:38,496


179
00:08:38,496 --> 00:08:41,039


180
00:08:41,039 --> 00:08:43,030


181
00:08:43,030 --> 00:08:45,700


182
00:08:45,700 --> 00:08:51,150


183
00:08:51,150 --> 00:08:52,580


184
00:08:52,580 --> 00:08:54,300


185
00:08:54,300 --> 00:08:58,623


186
00:08:58,623 --> 00:09:02,380


187
00:09:02,380 --> 00:09:07,390


188
00:09:07,390 --> 00:09:09,400


189
00:09:09,400 --> 00:09:11,320


190
00:09:11,320 --> 00:09:13,590


191
00:09:13,590 --> 00:09:17,120


192
00:09:17,120 --> 00:09:20,060


193
00:09:20,060 --> 00:09:22,550


194
00:09:22,550 --> 00:09:26,220


195
00:09:26,220 --> 00:09:27,360


196
00:09:27,360 --> 00:09:30,370


197
00:09:30,370 --> 00:09:32,310


198
00:09:38,290 --> 00:09:41,469


199
00:09:41,469 --> 00:09:43,510


200
00:09:43,510 --> 00:09:45,880


201
00:09:45,880 --> 00:09:46,230


202
00:09:46,230 --> 00:09:47,550


203
00:09:47,550 --> 00:09:49,299


204
00:09:49,299 --> 00:09:51,890