0:00:00.000,0:00:04.045
A háromszög, amit itt látunk,[br]derékszögű.

0:00:04.045,0:00:07.010
Azért derékszögű, mert[br]van egy 90°-os szöge,

0:00:07.010,0:00:09.240
van benne egy derékszög.

0:00:09.240,0:00:12.520
Egy derékszögű háromszög[br]leghosszabb oldalát,

0:00:12.520,0:00:14.599
ezt az oldalt, amit tehát

0:00:14.599,0:00:17.140
mondhatunk a derékszögű[br]háromszög leghosszabb oldalának,

0:00:17.140,0:00:20.980
vagy a 90°-os szöggel szemközti oldalnak,[br]átfogónak nevezzük.

0:00:20.980,0:00:23.740
Meglehetősen különös ez az elnevezése[br]ennek az egyszerű fogalomnak,

0:00:23.740,0:00:26.140
mint egy derékszögű háromszög[br]leghosszabb oldala,

0:00:26.140,0:00:27.952
vagy a 90°-os szögével szemközti oldal.

0:00:27.952,0:00:30.290
Azért mégiscsak jó, ha ismerjük,[br]ha valaki hivatkozik az átfogóra,

0:00:30.290,0:00:32.548
akkor mindjárt tudni fogjuk,[br]hogy erre az oldalra gondol,

0:00:32.548,0:00:36.580
a leghosszabb oldalra,[br]avagy a 90°-kal szemköztire.

0:00:36.580,0:00:38.860
Ebben a videóban

0:00:38.860,0:00:42.167
egy nagyon híres összefüggést[br]szeretnék bizonyítani.

0:00:42.167,0:00:43.750
Talán már látod is, mire utalok,

0:00:43.750,0:00:45.669
egy igazán ismert összefüggésre,

0:00:45.669,0:00:48.840
amely egy derékszögű háromszög[br]oldalai között áll fenn.

0:00:48.840,0:00:55.930
Legyen az AC oldal (nagy A és nagy C)[br]és ennek a hossza 'a',

0:00:55.930,0:01:00.040
a BC oldalé 'b'.

0:01:00.040,0:01:03.420
Nagybetűket fogok használni a csúcsoknál,[br]és kisbetűket az oldalak hosszánál.

0:01:03.420,0:01:07.822
És akkor legyen az átfogó,[br]az AB oldal hossza 'c'.

0:01:07.822,0:01:10.030
Vizsgáljuk meg, hogy fel tudunk-e írni[br]valamilyen összefüggést

0:01:10.030,0:01:12.790
'a', 'b' és 'c' között.

0:01:12.790,0:01:14.780
Ehhez behúzok

0:01:14.780,0:01:17.040
egy másik egyenest, [br]pontosabban egy szakaszt

0:01:17.040,0:01:19.520
a C és az átfogó között.

0:01:19.520,0:01:21.410
Úgy fogom csinálni,

0:01:21.410,0:01:23.880
hogy a szakasz derékszögben [br]metssze az átfogót.

0:01:23.880,0:01:25.006
Ezt mindig megtehetjük.

0:01:25.006,0:01:28.105
Ezt a metszéspontot nevezzük D-nek.

0:01:28.120,0:01:31.010
Ha felmerül benned a kérdés, hogy vajon[br]miért lehet ezt bármikor megtenni,

0:01:31.010,0:01:33.634
egyszerűen képzeld el, ahogy[br]elforgatjuk ezt az egész háromszöget.

0:01:33.634,0:01:35.500
Ez most nem egy precíz bizonyítás,

0:01:35.500,0:01:37.420
de világosan látni fogod,

0:01:37.420,0:01:41.260
hogy ez a pont mindig [br]megszerkeszthető forgatással.

0:01:41.260,0:01:44.750
Most legyen itt vízszintesen az átfogónk,

0:01:44.750,0:01:48.414
ez itt a B csúcspont, ez meg az A csúcspont.

0:01:48.414,0:01:50.580
Körbeforgatjuk az egész dolgot.

0:01:50.580,0:01:52.710
Ez a C csúcspont, [br]és azt el tudod képzelni,

0:01:52.710,0:01:55.820
hogy ledobunk egy madzagra[br]kötött követ a C pontból,

0:01:55.820,0:01:59.460
és akkor az derékszögben fog leérkezni [br]az átfogóra.

0:01:59.460,0:02:02.980
Ezt csináltuk tehát, amikor[br]létrehoztuk a CD szakaszt,

0:02:02.980,0:02:05.570
ahogy a D pontot képeztük.

0:02:05.570,0:02:07.220
És ezt azért tettük, mert így

0:02:07.220,0:02:09.289
mindenféle érdekes összefüggést [br]tudunk felírni

0:02:09.289,0:02:10.490
hasonló háromszögek között.

0:02:10.490,0:02:12.180
Itt ugyanis három háromszögünk lesz,

0:02:12.180,0:02:15.604
ADC háromszög, DBC háromszög,

0:02:15.604,0:02:17.520
és persze az eredeti nagyobb háromszög.

0:02:17.520,0:02:19.480
És remélhetőleg találunk majd

0:02:19.480,0:02:21.980
hasonlóakat ezek között[br]a háromszögek között.

0:02:21.980,0:02:27.590
Először belátjuk, hogy az ADC[br]hasonló a nagyobb háromszöghöz.

0:02:27.590,0:02:29.710
Mindkettőnek van egy derékszöge,

0:02:29.710,0:02:32.070
ADC-nek itt van a derékszöge,

0:02:32.070,0:02:35.171
hiszen ha ez itt 90°, akkor[br]nyilván ez is 90° lesz,

0:02:35.171,0:02:36.790
mivel ezek kiegészítő szögei egymásnak,

0:02:36.790,0:02:38.510
együttesen 180°-ot kell kiadniuk.

0:02:38.510,0:02:40.440
Tehát mindkettőben van egy derékszög,

0:02:40.440,0:02:42.060
a kisebbikben is van egy derékszög,

0:02:42.060,0:02:43.590
a nagyobbikban pedig nyilván van,

0:02:43.590,0:02:44.840
hiszen ebből indultunk ki.

0:02:44.840,0:02:49.080
Ezenkívül mindkettőben[br]szerepel ez a szög,

0:02:49.080,0:02:52.030
a DAC vagy BAC szög,

0:02:52.030,0:02:53.580
ahogy épp hivatkozunk rá.

0:02:53.580,0:02:56.720
Így tehát felírhatjuk a következőt:

0:02:56.720,0:03:00.290
a kisebbik ADC-vel kezdem,

0:03:00.290,0:03:02.190
be is satírozom,

0:03:02.190,0:03:04.023
hogy mutassam, erről a [br]háromszögről van szó,

0:03:04.023,0:03:05.429
az ADC háromszögről.

0:03:05.429,0:03:07.470
Kiindultam a kék szögből és[br]haladtam a derékszög felé,

0:03:07.470,0:03:10.620
majd a jelöletlen szög felé.

0:03:10.620,0:03:13.860
Ez a derékszög itt nem játszik szerepet,

0:03:13.860,0:03:15.820
ez a nagyobb háromszöghöz tartozik.

0:03:15.820,0:03:24.820
Tehát azt mondhatjuk,[br]hogy az ADC háromszög hasonló

0:03:24.820,0:03:27.130
– és most megint a kék színű, [br]A szögből indulunk,

0:03:27.130,0:03:29.500
ezután mentünk a derékszög felé,

0:03:29.500,0:03:32.220
tehát most is a derékszög következik,

0:03:32.220,0:03:37.130
ez az ACB.

0:03:37.190,0:03:38.830
És mivel ezek hasonlóak,

0:03:38.830,0:03:42.220
felírhatunk egy összefüggést az oldalaik[br]arányai között.

0:03:42.220,0:03:44.705
Például – tudjuk ugye, hogy a hasonló[br]háromszögekben

0:03:44.705,0:03:48.420
a megfelelő oldalak aránya

0:03:48.420,0:03:49.840
egy konstans –

0:03:49.890,0:03:54.960
tehát vehetjük a kisebb háromszög[br]átfogóját,

0:03:54.960,0:03:57.350
ez az átfogó az AC,

0:03:57.350,0:04:01.500
és ezt arányítjuk a nagyobb háromszög[br]átfogójához, ami AB,

0:04:01.500,0:04:07.770
vagyis AC/AB meg fog egyezni

0:04:07.770,0:04:14.180
AD, az egyik befogó

0:04:14.180,0:04:16.959
– és itt mutatom, hogy a két háromszögből

0:04:16.959,0:04:23.794
a megfelelő oldalakat veszem –[br]tehát AD/AC-vel.

0:04:23.794,0:04:25.960
Te magad is megvizsgálhatod[br]ezeket a háromszögeket,

0:04:25.960,0:04:26.920
és láthatod, hogy

0:04:26.920,0:04:34.760
az AD oldal a kék szög és a[br]derékszög között helyezkedik el,

0:04:34.760,0:04:38.025
és az AC oldal is a kék szög és a [br]derékszög között van

0:04:38.025,0:04:39.010
a nagyobb háromszögben.

0:04:39.010,0:04:40.950
Szóval ezt a kettőt a nagyobbik[br]háromszögből vesszük.

0:04:40.950,0:04:43.660
Ezek pedig a kisebbik háromszög[br]megfelelő oldalai.

0:04:43.660,0:04:46.410
És ha nehezedre esne mindezt[br]a rajzot nézve megérteni,

0:04:46.410,0:04:49.899
ha helyesen írtuk fel a hasonlóságot,

0:04:49.899,0:04:51.990
itt is egyszerűen megtalálhatod a megfelelő [br]csúcspontokat.

0:04:51.990,0:04:56.590
AC megfelel a nagyobb háromszögben[br]AB-nek,

0:04:56.590,0:04:58.490
a kisebb háromszög AD oldala

0:04:58.490,0:05:02.330
megfelel a nagyobb háromszög AC oldalának.

0:05:02.330,0:05:06.980
És ezt át is írhatjuk, AC megfelel 'a'-nak.

0:05:06.980,0:05:11.072
AC az 'a' és itt is AC 'a' lesz.

0:05:11.072,0:05:15.915
AD-re és AB-re nincs külön jelölésünk,

0:05:15.915,0:05:18.900
ja, bocs, AB-re persze, hogy van,

0:05:18.900,0:05:20.590
ez a 'c',

0:05:20.590,0:05:23.030
csak az AD-t nem neveztük el eddig,

0:05:23.030,0:05:26.840
de akkor legyen ez 'd'.

0:05:26.840,0:05:30.400
'd' felel meg ennek a szakasznak,

0:05:30.400,0:05:33.560
és 'c' felel meg ennek a teljes hossznak.

0:05:33.560,0:05:35.905
A DB szakaszt pedig nevezzük 'e'-nek,

0:05:35.905,0:05:38.700
ez így egy kicsit egyszerűbb lesz.

0:05:38.700,0:05:41.760
AD-t tehát átírjuk 'd'-re.

0:05:41.760,0:05:44.240
És akkor azt kapjuk, hogy[br]a/c = d/a

0:05:44.240,0:05:46.860
Ha keresztbe felszorzunk, azt kapjuk, hogy a・a,

0:05:46.860,0:05:50.791
azaz a² = c・d, azaz cd.

0:05:50.791,0:05:52.790
Ez most egy érdekes eredmény.

0:05:52.790,0:05:55.889
Nézzük akkor, mit tudunk[br]kezdeni a másik háromszöggel.

0:05:55.930,0:05:57.940
Erről a háromszögről van szó.

0:05:57.940,0:05:59.490
Még egyszer, van ennek egy[br]derékszöge,

0:05:59.490,0:06:00.865
a nagyobbnak is van egy derékszöge,

0:06:00.865,0:06:03.680
és osztoznak ezen a szögön.

0:06:03.680,0:06:06.590
Így mivel két szög megegyezik a két háromszögben,

0:06:06.590,0:06:08.210
a két háromszög hasonló.

0:06:08.210,0:06:10.560
Azt mondhatjuk tehát,[br]hogy a BDC háromszög

0:06:10.560,0:06:12.970
– a rózsaszínűtől megyünk a derékszögig,[br]majd a jelzetlenig –

0:06:12.970,0:06:22.310
tehát a BDC háromszög hasonló lesz [br]– most a nagyobb háromszöget vizsgáljuk,

0:06:22.310,0:06:23.900
a rózsaszínű szögtől indulunk, [br]azaz B-től,

0:06:23.900,0:06:25.567
haladunk a derékszög felé,

0:06:25.567,0:06:28.006
ami a C, és aztán A.

0:06:28.006,0:06:30.740
BCA.

0:06:30.740,0:06:34.979
Rózsaszín – derékszög – jelöletlen szög.

0:06:34.979,0:06:36.520
Ebben az esetben nem jelöljük,

0:06:36.520,0:06:38.420
korábban ez volt a kék szög.

0:06:38.420,0:06:40.620
Állítsunk akkor fel valamilyen[br]kapcsolatot ezek között.

0:06:40.620,0:06:45.040
A kisebb háromszögből vett BC oldallal

0:06:45.040,0:06:50.130
BC/BA – és figyelem,

0:06:50.130,0:06:53.230
mindkét háromszögben az átfogót nézzük –

0:06:53.230,0:07:00.593
BC/BA egyenlő lesz

0:07:00.593,0:07:02.590
(ezt egy másik színnel jelölöm)

0:07:02.590,0:07:05.440
BD, ami az egyik befogó,

0:07:05.570,0:07:07.430
a rajzom szerint ez a rövidebb befogó,

0:07:07.430,0:07:10.370
tehát BD/BC.

0:07:10.370,0:07:12.770
A megfelelő csúcsokat követtem,

0:07:12.770,0:07:14.600
BD/BC.

0:07:14.600,0:07:20.183
BC az ugye nem más, mint 'b',

0:07:20.322,0:07:25.516
BA pedig 'c',

0:07:25.570,0:07:31.190
és BD-ről azt mondtuk, hogy az az 'e'.

0:07:31.260,0:07:33.210
Felszorzunk keresztbe és azt kapjuk,

0:07:33.210,0:07:37.830
hogy b・b, (ahogy azt már sokszor[br]említettem korábban,

0:07:37.830,0:07:40.050
a keresztbe való felszorzás azt jelenti,

0:07:40.050,0:07:42.680
hogy mindkét oldalt megszorozzuk[br]mindkét nevezővel)

0:07:42.680,0:07:47.960
vagyis b² = c・e, azaz ce.

0:07:47.960,0:07:50.010
Most pedig valami érdekeset fogunk csinálni:

0:07:50.010,0:07:51.406
összeadjuk ezt a két kifejezést.

0:07:51.406,0:07:53.030
Ideírom a másik kifejezést,

0:07:53.030,0:07:56.100
b² = ce.

0:07:56.100,0:07:58.310
Ha összeadjuk a bal oldalakat, azt kapjuk, hogy

0:07:58.310,0:08:12.595
a² + b² = cd + ce.

0:08:12.595,0:08:15.417
Mivel a 'c' mindkét tényezőben[br]szerepel,

0:08:15.417,0:08:19.330
ki tudjuk emelni,

0:08:19.880,0:08:29.302
ez tehát c (d + e) lesz.

0:08:29.790,0:08:31.460
Na és mennyi ez a (d + e)?

0:08:31.460,0:08:34.159
'd' ez a szakasz, 'e' ez a szakasz,

0:08:34.159,0:08:37.169
tehát d + e az nem más, mint c.

0:08:37.169,0:08:38.496
Ez tehát itt c,

0:08:38.496,0:08:42.919
c・c, ami nem más, mint c².

0:08:43.030,0:08:45.700
Ez bizony egy érdekes összefüggés.

0:08:45.700,0:08:51.150
Azt kaptuk, hogy a² + b² = c²,

0:08:51.150,0:08:54.880
Hadd írjam ezt le újra

0:08:54.880,0:08:58.990
egy új színnel:

0:09:02.380,0:09:04.730
Most mutattuk meg, hogy

0:09:04.730,0:09:09.400
a² + b² = c².

0:09:09.400,0:09:11.320
És ez egy tetszőlegesen választott[br]derékszögű háromszög volt,

0:09:11.320,0:09:13.590
ez bármilyen derékszögű háromszögre igaz.

0:09:13.590,0:09:15.412
Épp most bizonyítottuk be, hogy

0:09:15.412,0:09:20.060
a befogók négyzeteinek összege[br]megegyezik az átfogó négyzetével.

0:09:20.060,0:09:22.550
És ez valószínűleg az egyik

0:09:22.550,0:09:25.770
legismertebb tétele a matematikának,

0:09:25.770,0:09:27.360
amely Pitagoraszról kapta a nevét.

0:09:27.360,0:09:30.370
Nem teljesen biztos, hogy ő volt[br]az első, aki ezt megfogalmazta,

0:09:30.370,0:09:38.180
mi mindenesetre Pitagorasz-tételnek hívjuk.

0:09:38.290,0:09:41.469
És ez alapjául fog szolgálni csaknem

0:09:41.469,0:09:43.510
az egész geometriának, amivel[br]foglalkozni fogunk.

0:09:43.510,0:09:46.230
És ez az alapja nagyon sok mindennek[br]a trigonometriában is.

0:09:46.230,0:09:47.550
És az mindig hasznos lesz, ha tudod,

0:09:47.550,0:09:49.299
hogy ha ismered egy derékszögű [br]háromszög két oldalának hosszát,

0:09:49.299,0:09:51.890
akkor mindig ki tudod számítani[br]a harmadik hosszát.