WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:04.045
A háromszög, amit itt látunk,
derékszögű.

00:00:04.045 --> 00:00:07.010
Azért derékszögű, mert
van egy 90°-os szöge,

00:00:07.010 --> 00:00:09.240
van benne egy derékszög.

00:00:09.240 --> 00:00:12.520
Egy derékszögű háromszög
leghosszabb oldalát,

00:00:12.520 --> 00:00:14.599
ezt az oldalt, amit tehát

00:00:14.599 --> 00:00:17.140
mondhatunk a derékszögű
háromszög leghosszabb oldalának,

00:00:17.140 --> 00:00:20.980
vagy a 90°-os szöggel szemközti oldalnak,
átfogónak nevezzük.

00:00:20.980 --> 00:00:23.740
Meglehetősen különös ez az elnevezése
ennek az egyszerű fogalomnak,

00:00:23.740 --> 00:00:26.140
mint egy derékszögű háromszög
leghosszabb oldala,

00:00:26.140 --> 00:00:27.952
vagy a 90°-os szögével szemközti oldal.

00:00:27.952 --> 00:00:30.290
Azért mégiscsak jó, ha ismerjük,
ha valaki hivatkozik az átfogóra,

00:00:30.290 --> 00:00:32.548
akkor mindjárt tudni fogjuk,
hogy erre az oldalra gondol,

00:00:32.548 --> 00:00:36.580
a leghosszabb oldalra,
avagy a 90°-kal szemköztire.

00:00:36.580 --> 00:00:38.860
Ebben a videóban

00:00:38.860 --> 00:00:42.167
egy nagyon híres összefüggést
szeretnék bizonyítani.

00:00:42.167 --> 00:00:43.750
Talán már látod is, mire utalok,

00:00:43.750 --> 00:00:45.669
egy igazán ismert összefüggésre,

00:00:45.669 --> 00:00:48.840
amely egy derékszögű háromszög
oldalai között áll fenn.

00:00:48.840 --> 00:00:55.930
Legyen az AC oldal (nagy A és nagy C)
és ennek a hossza 'a',

00:00:55.930 --> 00:01:00.040
a BC oldalé 'b'.

00:01:00.040 --> 00:01:03.420
Nagybetűket fogok használni a csúcsoknál,
és kisbetűket az oldalak hosszánál.

00:01:03.420 --> 00:01:07.822
És akkor legyen az átfogó,
az AB oldal hossza 'c'.

00:01:07.822 --> 00:01:10.030
Vizsgáljuk meg, hogy fel tudunk-e írni
valamilyen összefüggést

00:01:10.030 --> 00:01:12.790
'a', 'b' és 'c' között.

00:01:12.790 --> 00:01:14.780
Ehhez behúzok

00:01:14.780 --> 00:01:17.040
egy másik egyenest, 
pontosabban egy szakaszt

00:01:17.040 --> 00:01:19.520
a C és az átfogó között.

00:01:19.520 --> 00:01:21.410
Úgy fogom csinálni,

00:01:21.410 --> 00:01:23.880
hogy a szakasz derékszögben 
metssze az átfogót.

00:01:23.880 --> 00:01:25.006
Ezt mindig megtehetjük.

00:01:25.006 --> 00:01:28.105
Ezt a metszéspontot nevezzük D-nek.

00:01:28.120 --> 00:01:31.010
Ha felmerül benned a kérdés, hogy vajon
miért lehet ezt bármikor megtenni,

00:01:31.010 --> 00:01:33.634
egyszerűen képzeld el, ahogy
elforgatjuk ezt az egész háromszöget.

00:01:33.634 --> 00:01:35.500
Ez most nem egy precíz bizonyítás,

00:01:35.500 --> 00:01:37.420
de világosan látni fogod,

00:01:37.420 --> 00:01:41.260
hogy ez a pont mindig 
megszerkeszthető forgatással.

00:01:41.260 --> 00:01:44.750
Most legyen itt vízszintesen az átfogónk,

00:01:44.750 --> 00:01:48.414
ez itt a B csúcspont, ez meg az A csúcspont.

00:01:48.414 --> 00:01:50.580
Körbeforgatjuk az egész dolgot.

00:01:50.580 --> 00:01:52.710
Ez a C csúcspont, 
és azt el tudod képzelni,

00:01:52.710 --> 00:01:55.820
hogy ledobunk egy madzagra
kötött követ a C pontból,

00:01:55.820 --> 00:01:59.460
és akkor az derékszögben fog leérkezni 
az átfogóra.

00:01:59.460 --> 00:02:02.980
Ezt csináltuk tehát, amikor
létrehoztuk a CD szakaszt,

00:02:02.980 --> 00:02:05.570
ahogy a D pontot képeztük.

00:02:05.570 --> 00:02:07.220
És ezt azért tettük, mert így

00:02:07.220 --> 00:02:09.289
mindenféle érdekes összefüggést 
tudunk felírni

00:02:09.289 --> 00:02:10.490
hasonló háromszögek között.

00:02:10.490 --> 00:02:12.180
Itt ugyanis három háromszögünk lesz,

00:02:12.180 --> 00:02:15.604
ADC háromszög, DBC háromszög,

00:02:15.604 --> 00:02:17.520
és persze az eredeti nagyobb háromszög.

00:02:17.520 --> 00:02:19.480
És remélhetőleg találunk majd

00:02:19.480 --> 00:02:21.980
hasonlóakat ezek között
a háromszögek között.

00:02:21.980 --> 00:02:27.590
Először belátjuk, hogy az ADC
hasonló a nagyobb háromszöghöz.

00:02:27.590 --> 00:02:29.710
Mindkettőnek van egy derékszöge,

00:02:29.710 --> 00:02:32.070
ADC-nek itt van a derékszöge,

00:02:32.070 --> 00:02:35.171
hiszen ha ez itt 90°, akkor
nyilván ez is 90° lesz,

00:02:35.171 --> 00:02:36.790
mivel ezek kiegészítő szögei egymásnak,

00:02:36.790 --> 00:02:38.510
együttesen 180°-ot kell kiadniuk.

00:02:38.510 --> 00:02:40.440
Tehát mindkettőben van egy derékszög,

00:02:40.440 --> 00:02:42.060
a kisebbikben is van egy derékszög,

00:02:42.060 --> 00:02:43.590
a nagyobbikban pedig nyilván van,

00:02:43.590 --> 00:02:44.840
hiszen ebből indultunk ki.

00:02:44.840 --> 00:02:49.080
Ezenkívül mindkettőben
szerepel ez a szög,

00:02:49.080 --> 00:02:52.030
a DAC vagy BAC szög,

00:02:52.030 --> 00:02:53.580
ahogy épp hivatkozunk rá.

00:02:53.580 --> 00:02:56.720
Így tehát felírhatjuk a következőt:

00:02:56.720 --> 00:03:00.290
a kisebbik ADC-vel kezdem,

00:03:00.290 --> 00:03:02.190
be is satírozom,

00:03:02.190 --> 00:03:04.023
hogy mutassam, erről a 
háromszögről van szó,

00:03:04.023 --> 00:03:05.429
az ADC háromszögről.

00:03:05.429 --> 00:03:07.470
Kiindultam a kék szögből és
haladtam a derékszög felé,

00:03:07.470 --> 00:03:10.620
majd a jelöletlen szög felé.

00:03:10.620 --> 00:03:13.860
Ez a derékszög itt nem játszik szerepet,

00:03:13.860 --> 00:03:15.820
ez a nagyobb háromszöghöz tartozik.

00:03:15.820 --> 00:03:24.820
Tehát azt mondhatjuk,
hogy az ADC háromszög hasonló

00:03:24.820 --> 00:03:27.130
– és most megint a kék színű, 
A szögből indulunk,

00:03:27.130 --> 00:03:29.500
ezután mentünk a derékszög felé,

00:03:29.500 --> 00:03:32.220
tehát most is a derékszög következik,

00:03:32.220 --> 00:03:37.130
ez az ACB.

00:03:37.190 --> 00:03:38.830
És mivel ezek hasonlóak,

00:03:38.830 --> 00:03:42.220
felírhatunk egy összefüggést az oldalaik
arányai között.

00:03:42.220 --> 00:03:44.705
Például – tudjuk ugye, hogy a hasonló
háromszögekben

00:03:44.705 --> 00:03:48.420
a megfelelő oldalak aránya

00:03:48.420 --> 00:03:49.840
egy konstans –

00:03:49.890 --> 00:03:54.960
tehát vehetjük a kisebb háromszög
átfogóját,

00:03:54.960 --> 00:03:57.350
ez az átfogó az AC,

00:03:57.350 --> 00:04:01.500
és ezt arányítjuk a nagyobb háromszög
átfogójához, ami AB,

00:04:01.500 --> 00:04:07.770
vagyis AC/AB meg fog egyezni

00:04:07.770 --> 00:04:14.180
AD, az egyik befogó

00:04:14.180 --> 00:04:16.959
– és itt mutatom, hogy a két háromszögből

00:04:16.959 --> 00:04:23.794
a megfelelő oldalakat veszem –
tehát AD/AC-vel.

00:04:23.794 --> 00:04:25.960
Te magad is megvizsgálhatod
ezeket a háromszögeket,

00:04:25.960 --> 00:04:26.920
és láthatod, hogy

00:04:26.920 --> 00:04:34.760
az AD oldal a kék szög és a
derékszög között helyezkedik el,

00:04:34.760 --> 00:04:38.025
és az AC oldal is a kék szög és a 
derékszög között van

00:04:38.025 --> 00:04:39.010
a nagyobb háromszögben.

00:04:39.010 --> 00:04:40.950
Szóval ezt a kettőt a nagyobbik
háromszögből vesszük.

00:04:40.950 --> 00:04:43.660
Ezek pedig a kisebbik háromszög
megfelelő oldalai.

00:04:43.660 --> 00:04:46.410
És ha nehezedre esne mindezt
a rajzot nézve megérteni,

00:04:46.410 --> 00:04:49.899
ha helyesen írtuk fel a hasonlóságot,

00:04:49.899 --> 00:04:51.990
itt is egyszerűen megtalálhatod a megfelelő 
csúcspontokat.

00:04:51.990 --> 00:04:56.590
AC megfelel a nagyobb háromszögben
AB-nek,

00:04:56.590 --> 00:04:58.490
a kisebb háromszög AD oldala

00:04:58.490 --> 00:05:02.330
megfelel a nagyobb háromszög AC oldalának.

00:05:02.330 --> 00:05:06.980
És ezt át is írhatjuk, AC megfelel 'a'-nak.

00:05:06.980 --> 00:05:11.072
AC az 'a' és itt is AC 'a' lesz.

00:05:11.072 --> 00:05:15.915
AD-re és AB-re nincs külön jelölésünk,

00:05:15.915 --> 00:05:18.900
ja, bocs, AB-re persze, hogy van,

00:05:18.900 --> 00:05:20.590
ez a 'c',

00:05:20.590 --> 00:05:23.030
csak az AD-t nem neveztük el eddig,

00:05:23.030 --> 00:05:26.840
de akkor legyen ez 'd'.

00:05:26.840 --> 00:05:30.400
'd' felel meg ennek a szakasznak,

00:05:30.400 --> 00:05:33.560
és 'c' felel meg ennek a teljes hossznak.

00:05:33.560 --> 00:05:35.905
A DB szakaszt pedig nevezzük 'e'-nek,

00:05:35.905 --> 00:05:38.700
ez így egy kicsit egyszerűbb lesz.

00:05:38.700 --> 00:05:41.760
AD-t tehát átírjuk 'd'-re.

00:05:41.760 --> 00:05:44.240
És akkor azt kapjuk, hogy
a/c = d/a

00:05:44.240 --> 00:05:46.860
Ha keresztbe felszorzunk, azt kapjuk, hogy a・a,

00:05:46.860 --> 00:05:50.791
azaz a² = c・d, azaz cd.

00:05:50.791 --> 00:05:52.790
Ez most egy érdekes eredmény.

00:05:52.790 --> 00:05:55.889
Nézzük akkor, mit tudunk
kezdeni a másik háromszöggel.

00:05:55.930 --> 00:05:57.940
Erről a háromszögről van szó.

00:05:57.940 --> 00:05:59.490
Még egyszer, van ennek egy
derékszöge,

00:05:59.490 --> 00:06:00.865
a nagyobbnak is van egy derékszöge,

00:06:00.865 --> 00:06:03.680
és osztoznak ezen a szögön.

00:06:03.680 --> 00:06:06.590
Így mivel két szög megegyezik a két háromszögben,

00:06:06.590 --> 00:06:08.210
a két háromszög hasonló.

00:06:08.210 --> 00:06:10.560
Azt mondhatjuk tehát,
hogy a BDC háromszög

00:06:10.560 --> 00:06:12.970
– a rózsaszínűtől megyünk a derékszögig,
majd a jelzetlenig –

00:06:12.970 --> 00:06:22.310
tehát a BDC háromszög hasonló lesz 
– most a nagyobb háromszöget vizsgáljuk,

00:06:22.310 --> 00:06:23.900
a rózsaszínű szögtől indulunk, 
azaz B-től,

00:06:23.900 --> 00:06:25.567
haladunk a derékszög felé,

00:06:25.567 --> 00:06:28.006
ami a C, és aztán A.

00:06:28.006 --> 00:06:30.740
BCA.

00:06:30.740 --> 00:06:34.979
Rózsaszín – derékszög – jelöletlen szög.

00:06:34.979 --> 00:06:36.520
Ebben az esetben nem jelöljük,

00:06:36.520 --> 00:06:38.420
korábban ez volt a kék szög.

00:06:38.420 --> 00:06:40.620
Állítsunk akkor fel valamilyen
kapcsolatot ezek között.

00:06:40.620 --> 00:06:45.040
A kisebb háromszögből vett BC oldallal

00:06:45.040 --> 00:06:50.130
BC/BA – és figyelem,

00:06:50.130 --> 00:06:53.230
mindkét háromszögben az átfogót nézzük –

00:06:53.230 --> 00:07:00.593
BC/BA egyenlő lesz

00:07:00.593 --> 00:07:02.590
(ezt egy másik színnel jelölöm)

00:07:02.590 --> 00:07:05.440
BD, ami az egyik befogó,

00:07:05.570 --> 00:07:07.430
a rajzom szerint ez a rövidebb befogó,

00:07:07.430 --> 00:07:10.370
tehát BD/BC.

00:07:10.370 --> 00:07:12.770
A megfelelő csúcsokat követtem,

00:07:12.770 --> 00:07:14.600
BD/BC.

00:07:14.600 --> 00:07:20.183
BC az ugye nem más, mint 'b',

00:07:20.322 --> 00:07:25.516
BA pedig 'c',

00:07:25.570 --> 00:07:31.190
és BD-ről azt mondtuk, hogy az az 'e'.

00:07:31.260 --> 00:07:33.210
Felszorzunk keresztbe és azt kapjuk,

00:07:33.210 --> 00:07:37.830
hogy b・b, (ahogy azt már sokszor

00:07:37.830 --> 00:07:40.310
említettem korábban, a keresztbe való
felszorzás azt jelenti,

00:07:40.310 --> 00:07:42.680
hogy mindkét oldalt megszorozzuk
mindkét nevezővel)

00:07:42.680 --> 00:07:47.960
vagyis b² = c・e, azaz ce.

00:07:47.960 --> 00:07:50.010
Most pedig valami érdekeset fogunk csinálni:

00:07:50.010 --> 00:07:51.406
összeadjuk ezt a két kifejezést.

00:07:51.406 --> 00:07:53.030
Ideírom a másik kifejezést,

00:07:53.030 --> 00:07:56.100
b² = ce.

00:07:56.100 --> 00:07:58.310
Ha összeadjuk a bal oldalakat, azt kapjuk,

00:07:58.310 --> 00:08:12.595
a² + b² = cd + ce.

00:08:12.595 --> 00:08:15.417
Mivel a 'c' mindkét tényezőben
szerepel,

00:08:15.417 --> 00:08:19.330
ki tudjuk emelni,

00:08:19.880 --> 00:08:29.302
ez tehát c (d + e) lesz.

00:08:29.790 --> 00:08:31.460
Na és mennyi ez a (d + e)?

00:08:31.460 --> 00:08:34.159
'd' ez a szakasz, 'e' ez a szakasz,

00:08:34.159 --> 00:08:37.169
tehát d + e az nem más, mint c.

00:08:37.169 --> 00:08:38.496
Ez tehát itt c,

00:08:38.496 --> 00:08:42.919
c・c, ami nem más, mint c².

00:08:43.030 --> 00:08:45.700
Ez bizony egy érdekes összefüggés.

00:08:45.700 --> 00:08:51.150
Azt kaptuk, hogy a² + b² = c²,

00:08:51.150 --> 00:08:52.580
Hadd írjam ezt le újra

00:08:52.580 --> 00:08:58.990
egy új színnel:

00:09:02.380 --> 00:09:04.730
Most mutattuk meg, hogy

00:09:04.730 --> 00:09:09.400
a² + b² = c².

00:09:09.400 --> 00:09:11.320
És ez egy tetszőlegesen választott
derékszögű háromszög volt,

00:09:11.320 --> 00:09:13.590
ez bármilyen derékszögű háromszögre igaz.

00:09:13.590 --> 00:09:15.412
Épp most bizonyítottuk be, hogy

00:09:15.412 --> 00:09:20.060
a befogók négyzeteinek összege
megegyezik az átfogó négyzetével.

00:09:20.060 --> 00:09:22.550
És ez valószínűleg az egyik

00:09:22.550 --> 00:09:25.770
legismertebb tétele a matematikának,

00:09:25.770 --> 00:09:27.360
amely Pitagoraszról kapta a nevét.

00:09:27.360 --> 00:09:30.370
Nem teljesen biztos, hogy ő volt
az első, aki ezt megfogalmazta,

00:09:30.370 --> 00:09:38.180
mi mindenesetre Pitagorasz-tételnek hívjuk.

00:09:38.290 --> 00:09:41.469
És ez alapjául fog szolgálni csaknem

00:09:41.469 --> 00:09:43.510
az egész geometriának, amivel
foglalkozni fogunk.

00:09:43.510 --> 00:09:46.230
És ez az alapja nagyon sok mindennek
a trigonometriában is.

00:09:46.230 --> 00:09:47.550
És az mindig hasznos lesz, ha tudod,

00:09:47.550 --> 00:09:49.299
hogy ha ismered egy derékszögű 
háromszög két oldalának hosszát,

00:09:49.299 --> 00:09:51.890
akkor mindig ki tudod számítani
a harmadik hosszát.