A háromszög, amit itt látunk, derékszögű.
Azért derékszögű, mert van egy 90°-os szöge,
van benne egy derékszög.
Egy derékszögű háromszög leghosszabb oldalát,
ezt az oldalt, amit tehát
mondhatunk a derékszögű háromszög leghosszabb oldalának,
vagy a 90°-os szöggel szemközti oldalnak, átfogónak nevezzük.
Meglehetősen különös ez az elnevezése ennek az egyszerű fogalomnak,
mint egy derékszögű háromszög leghosszabb oldala,
vagy a 90°-os szögével szemközti oldal.
Azért mégiscsak jó, ha ismerjük, ha valaki hivatkozik az átfogóra,
akkor mindjárt tudni fogjuk, hogy erre az oldalra gondol,
a leghosszabb oldalra, avagy a 90°-kal szemköztire.
Ebben a videóban
egy nagyon híres összefüggést szeretnék bizonyítani.
Talán már látod is, mire utalok,
egy igazán ismert összefüggésre,
amely egy derékszögű háromszög oldalai között áll fenn.
Legyen az AC oldal (nagy A és nagy C) és ennek a hossza 'a',
a BC oldalé 'b'.
Nagybetűket fogok használni a csúcsoknál, és kisbetűket az oldalak hosszánál.
És akkor legyen az átfogó, az AB oldal hossza 'c'.
Vizsgáljuk meg, hogy fel tudunk-e írni valamilyen összefüggést
'a', 'b' és 'c' között.
Ehhez behúzok
egy másik egyenest, pontosabban egy szakaszt
a C és az átfogó között.
Úgy fogom csinálni,
hogy a szakasz derékszögben metssze az átfogót.
Ezt mindig megtehetjük.
Ezt a metszéspontot nevezzük D-nek.
Ha felmerül benned a kérdés, hogy vajon miért lehet ezt bármikor megtenni,
egyszerűen képzeld el, ahogy elforgatjuk ezt az egész háromszöget.
Ez most nem egy precíz bizonyítás,
de világosan látni fogod,
hogy ez a pont mindig megszerkeszthető forgatással.
Most legyen itt vízszintesen az átfogónk,
ez itt a B csúcspont, ez meg az A csúcspont.
Körbeforgatjuk az egész dolgot.
Ez a C csúcspont, és azt el tudod képzelni,
hogy ledobunk egy madzagra kötött követ a C pontból,
és akkor az derékszögben fog leérkezni az átfogóra.
Ezt csináltuk tehát, amikor létrehoztuk a CD szakaszt,
ahogy a D pontot képeztük.
És ezt azért tettük, mert így
mindenféle érdekes összefüggést tudunk felírni
hasonló háromszögek között.
Itt ugyanis három háromszögünk lesz,
ADC háromszög, DBC háromszög,
és persze az eredeti nagyobb háromszög.
És remélhetőleg találunk majd
hasonlóakat ezek között a háromszögek között.
Először belátjuk, hogy az ADC hasonló a nagyobb háromszöghöz.
Mindkettőnek van egy derékszöge,
ADC-nek itt van a derékszöge,
hiszen ha ez itt 90°, akkor nyilván ez is 90° lesz,
mivel ezek kiegészítő szögei egymásnak,
együttesen 180°-ot kell kiadniuk.
Tehát mindkettőben van egy derékszög,
a kisebbikben is van egy derékszög,
a nagyobbikban pedig nyilván van,
hiszen ebből indultunk ki.
Ezenkívül mindkettőben szerepel ez a szög,
a DAC vagy BAC szög,
ahogy épp hivatkozunk rá.
Így tehát felírhatjuk a következőt:
a kisebbik ADC-vel kezdem,
be is satírozom,
hogy mutassam, erről a háromszögről van szó,
az ADC háromszögről.
Kiindultam a kék szögből és haladtam a derékszög felé,
majd a jelöletlen szög felé.
Ez a derékszög itt nem játszik szerepet,
ez a nagyobb háromszöghöz tartozik.
Tehát azt mondhatjuk, hogy az ADC háromszög hasonló
– és most megint a kék színű, A szögből indulunk,
ezután mentünk a derékszög felé,
tehát most is a derékszög következik,
ez az ACB.
És mivel ezek hasonlóak,
felírhatunk egy összefüggést az oldalaik arányai között.
Például – tudjuk ugye, hogy a hasonló háromszögekben
a megfelelő oldalak aránya
egy konstans –
tehát vehetjük a kisebb háromszög átfogóját,
ez az átfogó az AC,
és ezt arányítjuk a nagyobb háromszög átfogójához, ami AB,
vagyis AC/AB meg fog egyezni
AD, az egyik befogó
– és itt mutatom, hogy a két háromszögből
a megfelelő oldalakat veszem – tehát AD/AC-vel.
Te magad is megvizsgálhatod ezeket a háromszögeket,
és láthatod, hogy
az AD oldal a kék szög és a derékszög között helyezkedik el,
és az AC oldal is a kék szög és a derékszög között van
a nagyobb háromszögben.
Szóval ezt a kettőt a nagyobbik háromszögből vesszük.
Ezek pedig a kisebbik háromszög megfelelő oldalai.
És ha nehezedre esne mindezt a rajzot nézve megérteni,
ha helyesen írtuk fel a hasonlóságot,
itt is egyszerűen megtalálhatod a megfelelő csúcspontokat.
AC megfelel a nagyobb háromszögben AB-nek,
a kisebb háromszög AD oldala
megfelel a nagyobb háromszög AC oldalának.
És ezt át is írhatjuk, AC megfelel 'a'-nak.
AC az 'a' és itt is AC 'a' lesz.
AD-re és AB-re nincs külön címkénk,
ja, bocs, AB-re persze, hogy van,
ez a 'c',
csak az AD-re nem volt címkénk,
de akkor legyen ez 'd'.
'd' felel meg ennek a szakasznak,
és 'c' felel meg ennek a teljes hossznak.
A DB szakaszt pedig nevezzük 'e'-nek,
ez így egy kicsit egyszerűbb lesz.
AD-t tehát átírjuk 'd'-re.
És akkor azt kapjuk, hogy a/c = d/a
Ha keresztbe felszorzunk, azt kapjuk, hogy a・a,
azaz a² = c・d, azaz cd.
Ez most egy érdekes eredmény.
Nézzük akkor, mit tudunk kezdeni a másik háromszöggel.
Erről a háromszögről van szó.
Még egyszer, van ennek egy derékszöge,
a nagyobbnak is van egy derékszöge,
és osztoznak ezen a szögön.
Így mivel két szög megegyezik a két háromszögben,
a két háromszög hasonló.
Azt mondhatjuk tehát, hogy a BDC háromszög
– a rózsaszínűtől megyünk a derékszögig, majd a jelzetlenig –
tehát a BDC háromszög hasonló lesz – most a nagyobb háromszöget vizsgáljuk,
a rózsaszínű szögtől indulunk, azaz B-től,
haladunk a derékszög felé,
ami a C, és aztán A.
BCA.
Rózsaszín – derékszög – jelöletlen szög.
Ebben az esetben nem jelöljük,
korábban ez volt a kék szög.
Állítsunk akkor fel valamilyen kapcsolatot ezek között.
A kisebb háromszögből vett BC oldallal
BC/BA – és figyelem,
mindkét háromszögben az átfogót nézzük –
BC/BA egyenlő lesz
(ezt egy másik színnel jelölöm)
BD, ami az egyik befogó,
a rajzom szerint ez a rövidebb befogó,
tehát BD/BC.
A megfelelő csúcsokat követtem,
BD/BC.
BC az ugye nem más, mint 'b',
BA pedig 'c',
és BD-ről azt mondtuk, hogy az az 'e'.
Felszorzunk keresztbe és azt kapjuk,
hogy b・b, (ahogy azt már sokszor
említettem korábban, a keresztbe való felszorzás azt jelenti,
hogy mindkét oldalt megszorozzuk mindkét nevezővel)
vagyis b² = c・e, azaz ce.
Most pedig valami érdekeset fogunk csinálni:
összeadjuk ezt a két kifejezést.
Ideírom a másik kifejezést,
b² = ce.
Ha összeadjuk a bal oldalakat, azt kapjuk,
a² + b² = cd + ce.
Mivel a 'c' mindkét tényezőben szerepel,
ki tudjuk emelni,
ez tehát c (d + e) lesz.
Na és mennyi ez a (d + e)?
'd' ez a szakasz, 'e' ez a szakasz,
tehát d + e az nem más, mint c.
Ez tehát itt c,
c・c, ami nem más, mint c².
Na és ez egy érdekes összefüggés.
Azt kaptuk, hogy a² + b² = c²,
Hadd írjam ezt le újra
egy új színnel:
Most mutattuk meg, hogy
a² + b² = c².
És ez egy tetszőlegesen választott derékszögű háromszög volt,
ez bármilyen derékszögű háromszögre igaz.
Épp most bizonyítottuk be, hogy
a befogók négyzeteinek összege megegyezik az átfogó négyzetével.
És ez valószínűleg az egyik
legismertebb tétele a matematikának,
amely Pitagoraszról kapta a nevét.
Nem teljesen biztos, hogy ő volt az első, aki ezt megfogalmazta,
mi mindenesetre Pitagorasz-tételnek hívjuk.
És ez alapjául fog szolgálni csaknem
az egész geometriának, amivel foglalkozni fogunk.
És ez az alapja nagyon sok mindennek a trigonometriában is.
És az mindig hasznos lesz, ha tudod,
hogy ha ismered egy derékszögű háromszög két oldalának hosszát,
akkor mindig ki tudod számítani a harmadik hosszát.