1
00:00:00,000 --> 00:00:04,045
A háromszög, amit itt látunk,
derékszögű.

2
00:00:04,045 --> 00:00:07,010
Azért derékszögű, mert
van egy 90°-os szöge,

3
00:00:07,010 --> 00:00:09,240
van benne egy derékszög.

4
00:00:09,240 --> 00:00:12,520
Egy derékszögű háromszög
leghosszabb oldalát,

5
00:00:12,520 --> 00:00:14,599
ezt az oldalt, amit tehát

6
00:00:14,599 --> 00:00:17,140
mondhatunk a derékszögű
háromszög leghosszabb oldalának,

7
00:00:17,140 --> 00:00:20,980
vagy a 90°-os szöggel szemközti oldalnak,
átfogónak nevezzük.

8
00:00:20,980 --> 00:00:23,740
Meglehetősen különös ez az elnevezése
ennek az egyszerű fogalomnak,

9
00:00:23,740 --> 00:00:26,140
mint egy derékszögű háromszög
leghosszabb oldala,

10
00:00:26,140 --> 00:00:27,952
vagy a 90°-os szögével szemközti oldal.

11
00:00:27,952 --> 00:00:30,090
Azért mégiscsak jó, ha ismerjük,
ha valaki hivatkozik az átfogóra,

12
00:00:30,090 --> 00:00:32,548
akkor mindjárt tudni fogjuk,
hogy erre az oldalra gondol,

13
00:00:32,548 --> 00:00:36,580
a leghosszabb oldalra,
avagy a 90°-kal szemköztire.

14
00:00:36,580 --> 00:00:38,860
Ebben a videóban

15
00:00:38,860 --> 00:00:42,167
egy nagyon híres összefüggést
szeretnék bizonyítani.

16
00:00:42,167 --> 00:00:43,750
Talán már látod is, mire utalok,

17
00:00:43,750 --> 00:00:45,669
egy igazán ismert összefüggésre,

18
00:00:45,669 --> 00:00:48,840
amely egy derékszögű háromszög
oldalai között áll fenn.

19
00:00:48,840 --> 00:00:55,930
Legyen az AC oldal (nagy A és nagy C)
és ennek a hossza 'a',

20
00:00:55,930 --> 00:01:00,040
a BC oldalé 'b'.

21
00:01:00,040 --> 00:01:03,420
Nagybetűket fogok használni a csúcsoknál,
és kisbetűket az oldalak hosszánál.

22
00:01:03,420 --> 00:01:07,822
És akkor legyen az átfogó,
az AB oldal hossza 'c'.

23
00:01:07,822 --> 00:01:10,030
Vizsgáljuk meg, hogy fel tudunk-e írni
valamilyen összefüggést

24
00:01:10,030 --> 00:01:12,790
'a', 'b' és 'c' között.

25
00:01:12,790 --> 00:01:14,780
Ehhez behúzok

26
00:01:14,780 --> 00:01:16,410
egy másik egyenest, 
pontosabban egy szakaszt

27
00:01:16,410 --> 00:01:19,520
a C és az átfogó között.

28
00:01:19,520 --> 00:01:21,410
Úgy fogom csinálni,

29
00:01:21,410 --> 00:01:23,880
hogy a szakasz derékszögben 
metssze az átfogót.

30
00:01:23,880 --> 00:01:25,006
Ezt mindig megtehetjük.

31
00:01:25,006 --> 00:01:28,105
Ezt a metszéspontot nevezzük D-nek.

32
00:01:28,120 --> 00:01:31,010
Ha felmerül benned a kérdés, hogy vajon
miért lehet ezt bármikor megtenni,

33
00:01:31,010 --> 00:01:33,634
egyszerűen képzeld el, ahogy
elforgatjuk ezt az egész háromszöget.

34
00:01:33,634 --> 00:01:35,500
Ez most nem egy precíz bizonyítás,

35
00:01:35,500 --> 00:01:37,420
de világosan látni fogod,

36
00:01:37,420 --> 00:01:41,260
hogy ez a pont mindig 
megszerkeszthető forgatással.

37
00:01:41,260 --> 00:01:44,750
Most legyen itt vízszintesen az átfogónk,

38
00:01:44,750 --> 00:01:48,414
ez itt a B csúcspont, ez meg az A csúcspont.

39
00:01:48,414 --> 00:01:50,580
Körbeforgatjuk az egész dolgot.

40
00:01:50,580 --> 00:01:52,710
Ez a C csúcspont, 
és azt el tudod képzelni,

41
00:01:52,710 --> 00:01:55,820
hogy ledobunk egy madzagra
kötött követ a C pontból,

42
00:01:55,820 --> 00:01:59,460
és akkor az derékszögben fog leérkezni 
az átfogóra.

43
00:01:59,460 --> 00:02:02,980
Ezt csináltuk tehát, amikor
létrehoztuk a CD szakaszt,

44
00:02:02,980 --> 00:02:05,570
ahogy a D pontot képeztük.

45
00:02:05,570 --> 00:02:07,220
És ezt azért tettük, mert így

46
00:02:07,220 --> 00:02:09,289
mindenféle érdekes összefüggést 
tudunk felírni

47
00:02:09,289 --> 00:02:10,490
hasonló háromszögek között.

48
00:02:10,490 --> 00:02:12,180
Itt ugyanis három háromszögünk lesz,

49
00:02:12,180 --> 00:02:15,604
ADC háromszög, DBC háromszög,

50
00:02:15,604 --> 00:02:17,520
és persze az eredeti nagyobb háromszög.

51
00:02:17,520 --> 00:02:19,480
És remélhetőleg találunk majd

52
00:02:19,480 --> 00:02:21,980
hasonlóakat ezek között
a háromszögek között.

53
00:02:21,980 --> 00:02:27,590
Először belátjuk, hogy az ADC
hasonló a nagyobb háromszöghöz.

54
00:02:27,590 --> 00:02:29,710
Mindkettőnek van egy derékszöge,

55
00:02:29,710 --> 00:02:32,070
ADC-nek itt van a derékszöge,

56
00:02:32,070 --> 00:02:35,171
hiszen ha ez itt 90°, akkor
nyilván ez is 90° lesz,

57
00:02:35,171 --> 00:02:36,790
mivel ezek kiegészítő szögei egymásnak,

58
00:02:36,790 --> 00:02:38,510
együttesen 180°-ot kell kiadniuk.

59
00:02:38,510 --> 00:02:40,440
Tehát mindkettőben van egy derékszög,

60
00:02:40,440 --> 00:02:42,060
a kisebbikben is van egy derékszög,

61
00:02:42,060 --> 00:02:43,590
a nagyobbikban pedig nyilván van,

62
00:02:43,590 --> 00:02:44,840
hiszen ebből indultunk ki.

63
00:02:44,840 --> 00:02:48,690
Ezenkívül mindkettőben
szerepel ez a szög,

64
00:02:48,690 --> 00:02:52,030
a DAC vagy BAC szög,

65
00:02:52,030 --> 00:02:53,580
ahogy épp hivatkozunk rá.

66
00:02:53,580 --> 00:02:56,720
Így tehát felírhatjuk a következőt:

67
00:02:56,720 --> 00:03:00,290
a kisebbik ADC-vel kezdem,

68
00:03:00,290 --> 00:03:02,190
be is satírozom,

69
00:03:02,190 --> 00:03:04,023
hogy mutassam, erről a 
háromszögről van szó,

70
00:03:04,023 --> 00:03:05,429
az ADC háromszögről.

71
00:03:05,429 --> 00:03:07,470
Kiindultam a kék szögből és
haladtam a derékszög felé,

72
00:03:07,470 --> 00:03:10,620
majd a jelöletlen szög felé.

73
00:03:10,620 --> 00:03:13,860
Ez a derékszög itt nem játszik szerepet,

74
00:03:13,860 --> 00:03:15,820
ez a nagyobb háromszöghöz tartozik.

75
00:03:15,820 --> 00:03:24,820
Tehát azt mondhatjuk,
hogy az ADC háromszög hasonló

76
00:03:24,820 --> 00:03:27,130
– és most megint a kék színű, 
A szögből indulunk,

77
00:03:27,130 --> 00:03:29,500
ezután mentünk a derékszög felé,

78
00:03:29,500 --> 00:03:32,220
tehát most is a derékszög következik,

79
00:03:32,220 --> 00:03:37,130
ez az ACB.

80
00:03:37,190 --> 00:03:38,830
És mivel ezek hasonlóak,

81
00:03:38,830 --> 00:03:42,220
felírhatunk egy összefüggést az oldalaik
arányai között.

82
00:03:42,220 --> 00:03:44,705
Például – tudjuk ugye, hogy a hasonló
háromszögekben

83
00:03:44,705 --> 00:03:47,080
a megfelelő oldalak aránya

84
00:03:47,080 --> 00:03:49,840
egy konstans –

85
00:03:49,890 --> 00:03:54,960
tehát vehetjük a kisebb háromszög
átfogóját,

86
00:03:54,960 --> 00:03:57,350
ez az átfogó az AC,

87
00:03:57,350 --> 00:04:01,500
és ezt arányítjuk a nagyobb háromszög
átfogójához, ami AB,

88
00:04:01,500 --> 00:04:07,770
vagyis AC/AB meg fog egyezni

89
00:04:07,770 --> 00:04:14,180
AD, az egyik befogó

90
00:04:14,180 --> 00:04:16,959
– és itt mutatom, hogy a két háromszögből

91
00:04:16,959 --> 00:04:23,794
a megfelelő oldalakat veszem –
tehát AD/AC-vel.

92
00:04:23,794 --> 00:04:25,960
Te magad is megvizsgálhatod
ezeket a háromszögeket,

93
00:04:25,960 --> 00:04:27,320
és láthatod, hogy

94
00:04:27,320 --> 00:04:34,760
az AD oldal a kék szög és a
derékszög között helyezkedik el,

95
00:04:34,760 --> 00:04:38,025
és az AC oldal is a kék szög és a 
derékszög között van

96
00:04:38,025 --> 00:04:39,010
a nagyobb háromszögben.

97
00:04:39,010 --> 00:04:40,950
Szóval ezt a kettőt a nagyobbik
háromszögből vesszük.

98
00:04:40,950 --> 00:04:43,660
Ezek pedig a kisebbik háromszög
megfelelő oldalai.

99
00:04:43,660 --> 00:04:46,410
És ha nehezedre esne mindezt
a rajzot nézve megérteni,

100
00:04:46,410 --> 00:04:49,899
ha helyesen írtuk fel a hasonlóságot,

101
00:04:49,899 --> 00:04:51,990
itt is egyszerűen megtalálhatod a megfelelő 
csúcspontokat.

102
00:04:51,990 --> 00:04:56,590
AC megfelel a nagyobb háromszögben
AB-nek,

103
00:04:56,590 --> 00:04:58,840
a kisebb háromszög AD oldala

104
00:04:58,840 --> 00:05:02,330
megfelel a nagyobb háromszög AC oldalának.

105
00:05:02,330 --> 00:05:06,980
És ezt át is írhatjuk, AC megfelel 'a'-nak.

106
00:05:06,980 --> 00:05:11,072
AC az 'a' és itt is AC 'a' lesz.

107
00:05:11,072 --> 00:05:15,915
AD-re és AB-re nincs külön címkénk,

108
00:05:15,915 --> 00:05:18,900
ja, bocs, AB-re persze, hogy van,

109
00:05:18,900 --> 00:05:20,590
ez a 'c',

110
00:05:20,590 --> 00:05:23,030
csak az AD-re nem volt címkénk,

111
00:05:23,030 --> 00:05:26,840
de akkor legyen ez 'd'.

112
00:05:26,840 --> 00:05:30,400
'd' felel meg ennek a szakasznak,

113
00:05:30,400 --> 00:05:33,560
és 'c' felel meg ennek a teljes hossznak.

114
00:05:33,560 --> 00:05:35,905
A DB szakaszt pedig nevezzük 'e'-nek,

115
00:05:35,905 --> 00:05:38,700
ez így egy kicsit egyszerűbb lesz.

116
00:05:38,700 --> 00:05:41,760
AD-t tehát átírjuk 'd'-vé.

117
00:05:41,760 --> 00:05:44,240
És akkor azt kapjuk, hogy
a/c = d/a

118
00:05:44,240 --> 00:05:46,860
Ha keresztbe felszorzunk, azt kapjuk, hogy a・a,

119
00:05:46,860 --> 00:05:50,791
azaz a² = c・d, azaz cd.

120
00:05:50,791 --> 00:05:52,790
Ez most egy érdekes eredmény.

121
00:05:52,790 --> 00:05:55,889
Nézzük akkor, mit tudunk
kezdeni a másik háromszöggel.

122
00:05:55,930 --> 00:05:57,940
Erről a háromszögről van szó.

123
00:05:57,940 --> 00:05:59,490
Még egyszer, van ennek egy
derékszöge,

124
00:05:59,490 --> 00:06:00,865
a nagyobbnak is van egy derékszöge,

125
00:06:00,865 --> 00:06:03,680
és osztoznak ezen a szögön.

126
00:06:03,680 --> 00:06:06,590
Így mivel két szög megegyezik a két háromszögben,

127
00:06:06,590 --> 00:06:08,210
a két háromszög hasonló.

128
00:06:08,210 --> 00:06:10,560
Azt mondhatjuk tehát,
hogy a BDC háromszög

129
00:06:10,560 --> 00:06:12,970
– a rózsaszínűtől megyünk a derékszögig,
majd a jelzetlenig –

130
00:06:12,970 --> 00:06:22,310
tehát a BDC háromszög hasonló lesz 
– most a nagyobb háromszöget vizsgáljuk,

131
00:06:22,310 --> 00:06:23,900
a rózsaszínű szögtől indulunk, 
azaz B-től,

132
00:06:23,900 --> 00:06:25,567
haladunk a derékszög felé,

133
00:06:25,567 --> 00:06:28,006
ami a C, és aztán A.

134
00:06:28,006 --> 00:06:30,740
BCA.

135
00:06:30,740 --> 00:06:34,979
Rózsaszín – derékszög – jelöletlen szög.

136
00:06:34,979 --> 00:06:36,520
Ebben az esetben nem jelöljük,

137
00:06:36,520 --> 00:06:38,420
korábban ez volt a kék szög.

138
00:06:38,420 --> 00:06:40,620
Állítsunk akkor fel valamilyen
kapcsolatot ezek között.

139
00:06:40,620 --> 00:06:45,040
A kisebb háromszögből vett BC oldallal

140
00:06:45,040 --> 00:06:50,130
BC/BA – és figyelem,

141
00:06:50,130 --> 00:06:53,230
mindkét háromszögben az átfogót nézzük –

142
00:06:53,230 --> 00:07:00,593
BC/BA egyenlő lesz

143
00:07:00,593 --> 00:07:02,590
(ezt egy másik színnel jelölöm)

144
00:07:02,590 --> 00:07:05,440
BD, ami az egyik befogó,

145
00:07:05,570 --> 00:07:07,430
a rajzom szerint ez a rövidebb befogó,

146
00:07:07,430 --> 00:07:10,370
tehát BD/BC.

147
00:07:10,370 --> 00:07:12,770
A megfelelő csúcsokat követtem,

148
00:07:12,770 --> 00:07:14,600
BD/BC.

149
00:07:14,600 --> 00:07:20,183
BC az ugye nem más, mint 'b',

150
00:07:20,322 --> 00:07:25,516
BA pedig 'c',

151
00:07:25,570 --> 00:07:31,190
és BD-ről azt mondtuk, hogy az az 'e'.

152
00:07:31,260 --> 00:07:33,210
Felszorzunk keresztbe és azt kapjuk,

153
00:07:33,210 --> 00:07:37,830
hogy b・b, (ahogy azt már sokszor

154
00:07:37,830 --> 00:07:40,310
említettem korábban, a keresztbe való
felszorzás azt jelenti,

155
00:07:40,310 --> 00:07:42,680
hogy mindkét oldalt megszorozzuk
mindkét nevezővel)

156
00:07:42,680 --> 00:07:47,960
vagyis b² = c・e, azaz ce.

157
00:07:47,960 --> 00:07:50,010
Most pedig valami érdekeset fogunk csinálni:

158
00:07:50,010 --> 00:07:51,406
összeadjuk ezt a két kifejezést.

159
00:07:51,406 --> 00:07:53,030
Ideírom a másik kifejezést,

160
00:07:53,030 --> 00:07:56,100
b² = ce.

161
00:07:56,100 --> 00:07:58,310
Ha összeadjuk a bal oldalakat, azt kapjuk,

162
00:07:58,310 --> 00:08:12,595
a² + b² = cd + ce.

163
00:08:12,595 --> 00:08:15,417
Mivel a 'c' mindkét tényezőben
szerepel,

164
00:08:15,417 --> 00:08:19,330
ki tudjuk emelni,

165
00:08:19,880 --> 00:08:29,302
ez tehát c (d + e) lesz.

166
00:08:29,790 --> 00:08:31,460
Na és mennyi ez a (d + e)?

167
00:08:31,460 --> 00:08:34,159
'd' ez a szakasz, 'e' ez a szakasz,

168
00:08:34,159 --> 00:08:37,169
tehát d + e az nem más, mint c.

169
00:08:37,169 --> 00:08:38,496
Ez tehát itt c,

170
00:08:38,496 --> 00:08:42,919
c・c, ami nem más, mint c².

171
00:08:43,030 --> 00:08:45,700
Na és ez egy érdekes összefüggés.

172
00:08:45,700 --> 00:08:51,150
Azt kaptuk, hogy a² + b² = c²,

173
00:08:51,150 --> 00:08:52,580
Hadd írjam ezt le újra

174
00:08:52,580 --> 00:08:58,990
egy új színnel:

175
00:09:02,380 --> 00:09:04,730
Most mutattuk meg, hogy

176
00:09:04,730 --> 00:09:09,400
a² + b² = c².

177
00:09:09,400 --> 00:09:11,320
És ez egy tetszőlegesen választott
derékszögű háromszög volt,

178
00:09:11,320 --> 00:09:13,590
ez bármilyen derékszögű háromszögre igaz.

179
00:09:13,590 --> 00:09:15,412
Épp most bizonyítottuk be, hogy

180
00:09:15,412 --> 00:09:20,060
a befogók négyzeteinek összege
megegyezik az átfogó négyzetével.

181
00:09:20,060 --> 00:09:22,550
És ez valószínűleg az egyik

182
00:09:22,550 --> 00:09:25,770
legismertebb tétele a matematikának,

183
00:09:25,770 --> 00:09:27,360
amely Pitagoraszról kapta a nevét.

184
00:09:27,360 --> 00:09:30,370
Nem teljesen biztos, hogy ő volt
az első, aki ezt megfogalmazta,

185
00:09:30,370 --> 00:09:38,180
mi mindenesetre Pitagorasz-tételnek hívjuk.

186
00:09:38,290 --> 00:09:41,469
És ez alapjául fog szolgálni csaknem

187
00:09:41,469 --> 00:09:43,510
az egész geometriának, amivel
foglalkozni fogunk.

188
00:09:43,510 --> 00:09:46,230
És ez az alapja nagyon sok mindennek
a trigonometriában is.

189
00:09:46,230 --> 00:09:47,550
És az mindig hasznos lesz, ha tudod,

190
00:09:47,550 --> 00:09:49,299
hogy ha ismered egy derékszögű 
háromszög két oldalának hosszát,

191
00:09:49,299 --> 00:09:51,890
akkor mindig ki tudod számítani
a harmadik hosszát.