WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:00.670 Bei diesem Dreieck hier handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. 00:00:00.670 --> 00:00:04.045 Bei diesem Dreieck hier handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. 00:00:04.045 --> 00:00:06.600 Rechtwinklig, weil es einen 90-Grad-Winkel 00:00:06.600 --> 00:00:09.240 oder einen rechten Winkel besitzt. 00:00:09.240 --> 00:00:12.520 Man nennt die längste Seite eines Dreiecks 00:00:12.520 --> 00:00:14.599 Man nennt die längste Seite eines Dreiecks 00:00:14.599 --> 00:00:17.140 oder die Seite, die gegenüber des 00:00:17.140 --> 00:00:20.980 90-Grad-Winkels liegt, die Hypothenuse. 00:00:20.980 --> 00:00:23.740 Ein schicker Begriff für eine einfache Idee, 00:00:23.740 --> 00:00:26.140 die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks oder die Seite 00:00:26.140 --> 00:00:27.542 gegenüber des 90-Grad-Winkels. 00:00:27.542 --> 00:00:29.500 Es ist gut zu wissen, wenn jemand 00:00:29.500 --> 00:00:30.090 Hypothenuse sagt. 00:00:30.090 --> 00:00:32.548 Und dann verstehen wir, sie reden über diese Seite hier, 00:00:32.548 --> 00:00:36.580 die längste Seite, die Seite gegenüber des 90-Grad-Winkels 00:00:36.580 --> 00:00:38.860 In diesem Video möchte ich 00:00:38.860 --> 00:00:42.167 eine Beziehung, eine sehr bekannte Beziehung beweisen. 00:00:42.167 --> 00:00:43.750 Und wir sehen, zu was das führt. 00:00:43.750 --> 00:00:46.370 Eine sehr bekannte Beziehung zwischen den Längen 00:00:46.370 --> 00:00:48.840 der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. 00:00:48.840 --> 00:00:53.210 Sagen wir, die Länge von AC, also A, C 00:00:53.210 --> 00:00:55.930 nennen wir diese Länge "a". 00:00:55.930 --> 00:01:00.040 Nennen wir die Länge von BC "b", genau hier. 00:01:00.040 --> 00:01:03.420 Großbuchstaben für Punkte, Kleinbuchstaben für Längen. 00:01:03.420 --> 00:01:06.630 Nennen wir die Länge der Hypothenuse, die Länge von AB, 00:01:06.630 --> 00:01:07.822 die nennen wir "c". 00:01:07.822 --> 00:01:10.030 Versuchen wir, eine Beziehung 00:01:10.030 --> 00:01:12.790 zwischen a,b und c herzustellen. 00:01:12.790 --> 00:01:14.780 Dazu werde ich zuerst eine weitere Linie 00:01:14.780 --> 00:01:16.410 oder ein weiteres Segment konstruieren, 00:01:16.410 --> 00:01:19.520 zwischen c und der Hypothenuse. 00:01:19.520 --> 00:01:21.600 ich konstruiere es so, dass sie 00:01:21.600 --> 00:01:23.880 sich in einem Punkt treffen. 00:01:23.880 --> 00:01:25.006 Das kann man immer machen. 00:01:25.006 --> 00:01:27.005 Und diesen Punkt hier oben, diesen Punkt 00:01:27.005 --> 00:01:28.120 nennen wir "D". 00:01:28.120 --> 00:01:31.010 Wie kann man dies eigentlich immer machen? 00:01:31.010 --> 00:01:33.634 Lassen wir das ganze Dreieck hier drehen. 00:01:33.634 --> 00:01:36.050 Das ist kein klarer Beweis, aber es gibt uns 00:01:36.050 --> 00:01:38.100 eine ungefähre Idee, wie man immer einen 00:01:38.100 --> 00:01:39.810 Punkt wie diesen konstruieren kann. 00:01:39.810 --> 00:01:41.260 Wenn ich es drehe, 00:01:41.260 --> 00:01:44.750 liegt das Dreieck auf seiner Hypothenuse. 00:01:44.750 --> 00:01:48.414 Das ist jetzt Punkt B, das hier Punkt A. 00:01:48.414 --> 00:01:50.580 Wir haben das hier komplett gedreht. 00:01:50.580 --> 00:01:52.710 Das hier ist Punkt C. Wenn man einen Stein 00:01:52.710 --> 00:01:55.820 von Punkt C fallen ließe, vielleicht an einem Seil, 00:01:55.820 --> 00:01:59.460 würde er die Hypothenuse im rechten Winkel treffen. 00:01:59.460 --> 00:02:02.980 Das ist alles, was wir gemacht haben, um Segment CD zu errichten, da wo wir 00:02:02.980 --> 00:02:05.570 unseren Punkt D hier gesetzt haben. 00:02:05.570 --> 00:02:07.220 Der Grund dafür ist, dass wir nun 00:02:07.220 --> 00:02:09.289 alle Arten von interessanten Beziehungen 00:02:09.289 --> 00:02:10.490 zwischen ähnlichen Dreiecken herstellen können. 00:02:10.490 --> 00:02:12.180 Wir haben hier 3 Dreiecke. 00:02:12.180 --> 00:02:15.604 Wir haben Dreieck ADC, Dreieck DBC, 00:02:15.604 --> 00:02:17.520 und wir haben das ursprünglich größere Dreieck. 00:02:17.520 --> 00:02:19.890 Hoffentlich können wir Ähnlichkeit 00:02:19.890 --> 00:02:21.980 zwischen diesen Dreiecken herstellen. 00:02:21.980 --> 00:02:27.590 Zuerst zeige ich euch, dass ADC ähnlich dem größeren Dreieck ist, 00:02:27.590 --> 00:02:29.710 denn beide haben einen rechten Winkel. 00:02:29.710 --> 00:02:32.070 ADC hat einen rechten Winkel genau hier. 00:02:32.070 --> 00:02:33.571 Wenn dieser Winkel 90 Grad beträgt, 00:02:33.571 --> 00:02:35.653 dann beträgt dieser hier genauso 90 Grad. 00:02:35.653 --> 00:02:36.660 Sie ergänzen sich. 00:02:36.660 --> 00:02:38.510 Sie ergeben zusammen 180 Grad. 00:02:38.510 --> 00:02:40.440 Also besitzen beide einen rechten Winkel. 00:02:40.440 --> 00:02:42.060 Das kleinere hat einen rechten Winkel, 00:02:42.060 --> 00:02:43.590 das größere hat einen rechten Winkel, 00:02:43.590 --> 00:02:44.840 unser Ausgangsdreieck. 00:02:44.840 --> 00:02:48.690 Beide haben auch diesen Winkel hier gemeinsam, 00:02:48.690 --> 00:02:52.150 Winkel DAC oder BAC, je nachdem, wie man 00:02:52.150 --> 00:02:53.580 ihn bezeichnen möchte. 00:02:53.580 --> 00:02:56.720 Also können wir dieses Dreieck hier beschreiben. 00:02:56.720 --> 00:03:00.290 Ich beginne mit dem kleineren, ADC. 00:03:00.290 --> 00:03:02.190 Ich straffiere es hier mal aus. 00:03:02.190 --> 00:03:04.023 Wir sprechen also über dieses Dreieck hier, 00:03:04.023 --> 00:03:05.429 Dreieck ADC. 00:03:05.429 --> 00:03:07.470 Ich gehe vom blauen Winkel zum rechten Winkel 00:03:07.470 --> 00:03:10.620 zum unbenannten Winkel vom Standpunkt des Dreiecks ADC aus. 00:03:10.620 --> 00:03:13.860 Dieser rechte Winkel betrifft nicht diesen hier. 00:03:13.860 --> 00:03:15.820 Er betrifft das größere Dreieck. 00:03:15.820 --> 00:03:24.820 Wir könnten sagen: Dreieck ADC ist ähnlich dem Dreieck- 00:03:24.820 --> 00:03:27.130 wir fangen wieder am blauen Winkel an. 00:03:27.130 --> 00:03:29.500 A. Dann zum rechten Winkel. 00:03:29.500 --> 00:03:32.220 Also gehen wir erneut zum rechten Winkel. 00:03:32.220 --> 00:03:32.830 Also ist es ACB. 00:03:32.830 --> 00:03:37.190 Also ist es ACB. 00:03:37.190 --> 00:03:39.270 Da sich beide ähnlich sind, können wir 00:03:39.270 --> 00:03:42.220 eine Beziehung zwischen dem Verhältnis ihrer Seiten herstellen. 00:03:42.220 --> 00:03:44.705 Wir kennen z.B. das Verhältnis zwischen gleichen Seiten 00:03:44.705 --> 00:03:47.080 für ähnliche Dreiecke im Allgemeinen, 00:03:47.080 --> 00:03:48.640 ist das Verhältnis zwischen übereinstimmenden Seiten 00:03:48.640 --> 00:03:49.890 eine Konstante. 00:03:49.890 --> 00:03:54.100 Wir könnten also das Verhältnis der Hypothenuse zum kleineren Dreieck 00:03:54.100 --> 00:03:54.960 nehmen. 00:03:54.960 --> 00:03:57.350 Die Hypothenuse ist also AC. 00:03:57.350 --> 00:04:00.710 Also AC geteilt durch die Hypothenuse des größeren, das ist AB, 00:04:00.710 --> 00:04:10.480 AC/AB ist das gleiche wie AD, 00:04:10.480 --> 00:04:14.180 als einer der Schenkel, AD. 00:04:14.180 --> 00:04:16.959 Das tue ich, um zu zeigen, dass ich gleiche Punkte 00:04:16.959 --> 00:04:23.794 auf beiden ähnlichen Dreiecke nehme, das ist AD/AC. 00:04:23.794 --> 00:04:25.960 Ihr könnt euch diese Dreiecke selber anschauen und sagen: 00:04:25.960 --> 00:04:29.930 Schaut, AD, Punkt AD, befindet sich zwischen dem blauen Winkel 00:04:29.930 --> 00:04:31.410 und dem rechten. 00:04:31.410 --> 00:04:34.760 Entschuldigung, Seite AD befindet sich zwischen dem blauen und dem rechten Winkel. 00:04:34.760 --> 00:04:38.025 Seite AC ist zwischen dem blauen und dem rechten Winkel 00:04:38.025 --> 00:04:39.010 am größeren Dreieck. 00:04:39.010 --> 00:04:40.950 Beide dieser Seiten sind also vom größeren Dreieck. 00:04:40.950 --> 00:04:43.660 Diese sind die gleichen Winkel an dem kleineren Dreieck. 00:04:43.660 --> 00:04:46.990 Wenn das Hinsehen hier zu verwirrend ist, 00:04:46.990 --> 00:04:50.199 solange wir unsere Ähnlichkeitsthese korrekt geschrieben haben, 00:04:50.199 --> 00:04:51.990 können wir einfach die übereinstimmenden Punkte finden. 00:04:51.990 --> 00:04:56.590 AC korrespondiert mit AB am größeren Dreieck, 00:04:56.590 --> 00:04:58.840 AD am kleineren Dreieck korrespondiert 00:04:58.840 --> 00:05:02.330 mit AC am größeren Dreieck. 00:05:02.330 --> 00:05:06.920 Und wir wissen, dass AC -- wir können das als "a" umschreiben. 00:05:06.920 --> 00:05:10.860 AC ist a. 00:05:10.860 --> 00:05:16.810 Wir haben keinen Namen für AD oder für AB. 00:05:16.810 --> 00:05:18.900 Entschuldigung, wir haben einen Namen für AB. 00:05:18.900 --> 00:05:20.590 Das hier drüben ist "c". 00:05:20.590 --> 00:05:23.790 Wir haben keinen Namen für AD. 00:05:23.790 --> 00:05:26.840 AD bezeichnen wir einfach als "d". 00:05:26.840 --> 00:05:30.400 d bezieht sich also auf diesen Teil hier. 00:05:30.400 --> 00:05:33.560 c bezieht sich auf den gesamten Teil hier. 00:05:33.560 --> 00:05:35.905 Und DB bezeichnen wir als Länge "e". 00:05:35.905 --> 00:05:38.700 Das macht es ein wenig einfacher für uns. 00:05:38.700 --> 00:05:41.760 Also AD, bezeichnen wir es einfach als d. 00:05:41.760 --> 00:05:43.850 Wir haben: a/c ist gleich d/c. 00:05:43.850 --> 00:05:47.830 Wenn wir überkreuz multiplizieren, haben wir a*a, das ergibt a zum Quadrat, 00:05:47.830 --> 00:05:50.791 ist gleich c*d, das ergibt cd. 00:05:50.791 --> 00:05:52.790 Das sieht schon ein wenig interessant aus. 00:05:52.790 --> 00:05:54.789 Schauen wir, was wir mir dem anderen Dreieck 00:05:54.789 --> 00:05:55.930 hier machen. 00:05:55.930 --> 00:05:57.940 Dieses Dreieck hier. 00:05:57.940 --> 00:05:59.490 Nochmals, es hat einen rechten Winkel. 00:05:59.490 --> 00:06:00.865 Das größere hat einen rechten Winkel. 00:06:00.865 --> 00:06:04.270 Und beide haben diesen Winkel hier gemeinsam. 00:06:04.270 --> 00:06:07.070 Bei Winkel-Winkel-Ähnlichkeit sind die zwei Dreiecke 00:06:07.070 --> 00:06:08.210 ähnlich. 00:06:08.210 --> 00:06:11.040 Wir sagen BDC, we sind von pinken 00:06:11.040 --> 00:06:12.970 zum rechten zum nicht benannten gegangen. 00:06:12.970 --> 00:06:20.352 Also ist Dreieck BDC ähnlich dem Dreieck- 00:06:20.352 --> 00:06:22.310 Wir schauen jetzt aufs größere Dreieck, 00:06:22.310 --> 00:06:23.430 wir starten bei pink. 00:06:23.430 --> 00:06:25.567 B. Nun gehen wir zum rechten Winkel. 00:06:25.567 --> 00:06:26.066 CA. 00:06:26.066 --> 00:06:29.190 CA. 00:06:29.190 --> 00:06:31.680 BCA. 00:06:31.680 --> 00:06:34.979 Vom pinken zum rechten Winkel zum unbenannten Winkel, 00:06:34.979 --> 00:06:36.520 zumindest von diesem Standpunkt aus. 00:06:36.520 --> 00:06:38.420 Das war vorher blau markiert. 00:06:38.420 --> 00:06:40.620 Stellen wir jetzt eine Beziehung her. 00:06:40.620 --> 00:06:45.040 Wir können sagen, das Verhältnis am kleineren Dreieck, BC, Seite 00:06:45.040 --> 00:06:50.130 BC/BA, noch einmal, 00:06:50.130 --> 00:06:53.230 wir nehmen die Hypothenuse von beiden. 00:06:53.230 --> 00:07:00.593 Also ist BC/BA gleich BD. 00:07:00.593 --> 00:07:02.590 Nehmen wir eine andere Farbe. 00:07:02.590 --> 00:07:03.450 BD. 00:07:03.450 --> 00:07:04.890 Das ist einer der Schenkel. 00:07:04.890 --> 00:07:05.570 BD. 00:07:05.570 --> 00:07:07.430 Ich hab es als kürzeren gezeichnet. 00:07:07.430 --> 00:07:10.370 BD/BC 00:07:10.370 --> 00:07:12.770 Ich nehme lediglich übereinstimmende Ecken. 00:07:12.770 --> 00:07:14.600 /BC 00:07:14.600 --> 00:07:18.203 Hier wissen wir wieder, BC ist dasselbe wie b. 00:07:18.203 --> 00:07:20.322 BC ist b. 00:07:20.322 --> 00:07:22.926 BA ist c. 00:07:22.926 --> 00:07:25.570 BA ist c. 00:07:25.570 --> 00:07:29.740 Und BD haben wir als e definiert. 00:07:29.740 --> 00:07:31.260 Das ist also e. 00:07:31.260 --> 00:07:33.210 Wir können hier überkreuz multiplizieren 00:07:33.210 --> 00:07:37.830 und bekommen b*b, ich erwähnte dies in mehrereren Videos, 00:07:37.830 --> 00:07:40.310 Überkreuzmultiplizieren ist dasselbe wie 00:07:40.310 --> 00:07:42.680 beide Seiten mit beiden Nennern zu multiplizieren. 00:07:42.680 --> 00:07:47.960 b*b ist b zum Quadrat ist gleich ce. 00:07:47.960 --> 00:07:50.010 Jetzt tun wir etwas Interessantes. 00:07:50.010 --> 00:07:51.406 Wir können die beiden Ausdrücke addieren. 00:07:51.406 --> 00:07:53.030 Schreiben wir diesen Ausdruck nochmal hin. 00:07:53.030 --> 00:07:56.100 b zum Quadrat ist also gleich ce. 00:07:56.100 --> 00:07:58.310 Addieren wir jeweils die linke Seite, 00:07:58.310 --> 00:08:02.120 bekommen wir a zum Quadrat + b zum Quadrat. 00:08:02.120 --> 00:08:09.420 a zum Quadrat + b zum Quadrat = cd + ce. 00:08:09.420 --> 00:08:12.595 a zum Quadrat + b zum Quadrat = cd + ce. 00:08:12.595 --> 00:08:14.917 Wir haben ein c in beiden der Terme, 00:08:14.917 --> 00:08:16.000 das können wir ausmultiplizieren. 00:08:16.000 --> 00:08:19.880 Das ist also gleich-- wir können c ausmultiplizieren. 00:08:19.880 --> 00:08:22.952 Es ist also gleich c * (d+e). 00:08:22.952 --> 00:08:29.790 c * (d+e) -- und Klammer zu. 00:08:29.790 --> 00:08:31.460 Was ist nun d + e ? 00:08:31.460 --> 00:08:34.159 d ist diese Länge, e diese. 00:08:34.159 --> 00:08:37.169 d + e ergibt dann also ebenfalls c. 00:08:37.169 --> 00:08:38.496 Das ist also c. 00:08:38.496 --> 00:08:41.039 Wir haben c*c, was genau das gleiche wie 00:08:41.039 --> 00:08:43.030 c zum Quadrat ist. 00:08:43.030 --> 00:08:45.700 Jetzt haben wir eine interessante Beziehung. 00:08:45.700 --> 00:08:51.150 Wir haben: a zum Quadrat + b zum Quadrat = c zum Quadrat 00:08:51.150 --> 00:08:52.580 Schreiben wir das hin. 00:08:52.580 --> 00:08:54.300 a zum Quadrat. 00:08:54.300 --> 00:08:58.623 Nehmen wir dafür eine beliebige Farbe. 00:08:58.623 --> 00:09:02.380 Das habe ich aus Versehen gelöscht, schreiben wir es neu. 00:09:02.380 --> 00:09:07.390 Wir haben es also gerade geschafft, dass a zum Quadrat + b zum Quadrat 00:09:07.390 --> 00:09:09.400 gleich c zum Quadrat ist. 00:09:09.400 --> 00:09:11.320 Und das ist nur ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck. 00:09:11.320 --> 00:09:13.590 Das gilt für jedes rechtwinklige Dreieck. 00:09:13.590 --> 00:09:17.120 Wir haben gerade nachgewiesen, dass die Summe beider Quadrate 00:09:17.120 --> 00:09:20.060 der Schenkel gleich dem Quadrat der Hypothenuse ist. 00:09:20.060 --> 00:09:22.550 Das ist wahrscheinlich, kurz gesagt, 00:09:22.550 --> 00:09:26.220 eine der bekanntesten mathematischen Lehrsätze, benannt 00:09:26.220 --> 00:09:27.360 nach Pythagoras. 00:09:27.360 --> 00:09:30.370 Es ist nicht bekannt, ob er der Erste ist, der dies nachgewiesen hat, 00:09:30.370 --> 00:09:32.310 man nennt ihn jedoch den Satz des Pythagoras. 00:09:32.310 --> 00:09:38.290 man nennt ihn jedoch den Satz des Pythagoras. 00:09:38.290 --> 00:09:41.469 Es ist zwar nicht Grundlage für die gesamte Geometrie, 00:09:41.469 --> 00:09:43.510 aber für das Meiste, was wir in Geometrie machen. 00:09:43.510 --> 00:09:45.880 Es bildet auch Grundlage für das Meiste der Trigonometrie, die wir 00:09:45.880 --> 00:09:46.230 behandeln. 00:09:46.230 --> 00:09:47.550 Es ist ein nützliches Verfahren; wenn man 00:09:47.550 --> 00:09:49.299 2 Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennt, 00:09:49.299 --> 00:09:51.890 kann man immer die dritte finden.