1 00:00:00,000 --> 00:00:00,670 Bei diesem Dreieck hier handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. 2 00:00:00,670 --> 00:00:04,045 Bei diesem Dreieck hier handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. 3 00:00:04,045 --> 00:00:06,600 Rechtwinklig, weil es einen 90-Grad-Winkel 4 00:00:06,600 --> 00:00:09,240 oder einen rechten Winkel besitzt. 5 00:00:09,240 --> 00:00:12,520 Man nennt die längste Seite eines Dreiecks 6 00:00:12,520 --> 00:00:14,599 Man nennt die längste Seite eines Dreiecks 7 00:00:14,599 --> 00:00:17,140 oder die Seite, die gegenüber des 8 00:00:17,140 --> 00:00:20,980 90-Grad-Winkels liegt, die Hypothenuse. 9 00:00:20,980 --> 00:00:23,740 Ein schicker Begriff für eine einfache Idee, 10 00:00:23,740 --> 00:00:26,140 die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks oder die Seite 11 00:00:26,140 --> 00:00:27,542 gegenüber des 90-Grad-Winkels. 12 00:00:27,542 --> 00:00:29,500 Es ist gut zu wissen, wenn jemand 13 00:00:29,500 --> 00:00:30,090 Hypothenuse sagt. 14 00:00:30,090 --> 00:00:32,548 Und dann verstehen wir, sie reden über diese Seite hier, 15 00:00:32,548 --> 00:00:36,580 die längste Seite, die Seite gegenüber des 90-Grad-Winkels 16 00:00:36,580 --> 00:00:38,860 In diesem Video möchte ich 17 00:00:38,860 --> 00:00:42,167 eine Beziehung, eine sehr bekannte Beziehung beweisen. 18 00:00:42,167 --> 00:00:43,750 Und wir sehen, zu was das führt. 19 00:00:43,750 --> 00:00:46,370 Eine sehr bekannte Beziehung zwischen den Längen 20 00:00:46,370 --> 00:00:48,840 der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. 21 00:00:48,840 --> 00:00:53,210 Sagen wir, die Länge von AC, also A, C 22 00:00:53,210 --> 00:00:55,930 nennen wir diese Länge "a". 23 00:00:55,930 --> 00:01:00,040 Nennen wir die Länge von BC "b", genau hier. 24 00:01:00,040 --> 00:01:03,420 Großbuchstaben für Punkte, Kleinbuchstaben für Längen. 25 00:01:03,420 --> 00:01:06,630 Nennen wir die Länge der Hypothenuse, die Länge von AB, 26 00:01:06,630 --> 00:01:07,822 die nennen wir "c". 27 00:01:07,822 --> 00:01:10,030 Versuchen wir, eine Beziehung 28 00:01:10,030 --> 00:01:12,790 zwischen a,b und c herzustellen. 29 00:01:12,790 --> 00:01:14,780 Dazu werde ich zuerst eine weitere Linie 30 00:01:14,780 --> 00:01:16,410 oder ein weiteres Segment konstruieren, 31 00:01:16,410 --> 00:01:19,520 zwischen c und der Hypothenuse. 32 00:01:19,520 --> 00:01:21,600 ich konstruiere es so, dass sie 33 00:01:21,600 --> 00:01:23,880 sich in einem Punkt treffen. 34 00:01:23,880 --> 00:01:25,006 Das kann man immer machen. 35 00:01:25,006 --> 00:01:27,005 Und diesen Punkt hier oben, diesen Punkt 36 00:01:27,005 --> 00:01:28,120 nennen wir "D". 37 00:01:28,120 --> 00:01:31,010 Wie kann man dies eigentlich immer machen? 38 00:01:31,010 --> 00:01:33,634 Lassen wir das ganze Dreieck hier drehen. 39 00:01:33,634 --> 00:01:36,050 Das ist kein klarer Beweis, aber es gibt uns 40 00:01:36,050 --> 00:01:38,100 eine ungefähre Idee, wie man immer einen 41 00:01:38,100 --> 00:01:39,810 Punkt wie diesen konstruieren kann. 42 00:01:39,810 --> 00:01:41,260 Wenn ich es drehe, 43 00:01:41,260 --> 00:01:44,750 liegt das Dreieck auf seiner Hypothenuse. 44 00:01:44,750 --> 00:01:48,414 Das ist jetzt Punkt B, das hier Punkt A. 45 00:01:48,414 --> 00:01:50,580 Wir haben das hier komplett gedreht. 46 00:01:50,580 --> 00:01:52,710 Das hier ist Punkt C. Wenn man einen Stein 47 00:01:52,710 --> 00:01:55,820 von Punkt C fallen ließe, vielleicht an einem Seil, 48 00:01:55,820 --> 00:01:59,460 würde er die Hypothenuse im rechten Winkel treffen. 49 00:01:59,460 --> 00:02:02,980 Das ist alles, was wir gemacht haben, um Segment CD zu errichten, da wo wir 50 00:02:02,980 --> 00:02:05,570 unseren Punkt D hier gesetzt haben. 51 00:02:05,570 --> 00:02:07,220 Der Grund dafür ist, dass wir nun 52 00:02:07,220 --> 00:02:09,289 alle Arten von interessanten Beziehungen 53 00:02:09,289 --> 00:02:10,490 zwischen ähnlichen Dreiecken herstellen können. 54 00:02:10,490 --> 00:02:12,180 Wir haben hier 3 Dreiecke. 55 00:02:12,180 --> 00:02:15,604 Wir haben Dreieck ADC, Dreieck DBC, 56 00:02:15,604 --> 00:02:17,520 und wir haben das ursprünglich größere Dreieck. 57 00:02:17,520 --> 00:02:19,890 Hoffentlich können wir Ähnlichkeit 58 00:02:19,890 --> 00:02:21,980 zwischen diesen Dreiecken herstellen. 59 00:02:21,980 --> 00:02:27,590 Zuerst zeige ich euch, dass ADC ähnlich dem größeren Dreieck ist, 60 00:02:27,590 --> 00:02:29,710 denn beide haben einen rechten Winkel. 61 00:02:29,710 --> 00:02:32,070 ADC hat einen rechten Winkel genau hier. 62 00:02:32,070 --> 00:02:33,571 Wenn dieser Winkel 90 Grad beträgt, 63 00:02:33,571 --> 00:02:35,653 dann beträgt dieser hier genauso 90 Grad. 64 00:02:35,653 --> 00:02:36,660 Sie ergänzen sich. 65 00:02:36,660 --> 00:02:38,510 Sie ergeben zusammen 180 Grad. 66 00:02:38,510 --> 00:02:40,440 Also besitzen beide einen rechten Winkel. 67 00:02:40,440 --> 00:02:42,060 Das kleinere hat einen rechten Winkel, 68 00:02:42,060 --> 00:02:43,590 das größere hat einen rechten Winkel, 69 00:02:43,590 --> 00:02:44,840 unser Ausgangsdreieck. 70 00:02:44,840 --> 00:02:48,690 Beide haben auch diesen Winkel hier gemeinsam, 71 00:02:48,690 --> 00:02:52,150 Winkel DAC oder BAC, je nachdem, wie man 72 00:02:52,150 --> 00:02:53,580 ihn bezeichnen möchte. 73 00:02:53,580 --> 00:02:56,720 Also können wir dieses Dreieck hier beschreiben. 74 00:02:56,720 --> 00:03:00,290 Ich beginne mit dem kleineren, ADC. 75 00:03:00,290 --> 00:03:02,190 Ich straffiere es hier mal aus. 76 00:03:02,190 --> 00:03:04,023 Wir sprechen also über dieses Dreieck hier, 77 00:03:04,023 --> 00:03:05,429 Dreieck ADC. 78 00:03:05,429 --> 00:03:07,470 Ich gehe vom blauen Winkel zum rechten Winkel 79 00:03:07,470 --> 00:03:10,620 zum unbenannten Winkel vom Standpunkt des Dreiecks ADC aus. 80 00:03:10,620 --> 00:03:13,860 Dieser rechte Winkel betrifft nicht diesen hier. 81 00:03:13,860 --> 00:03:15,820 Er betrifft das größere Dreieck. 82 00:03:15,820 --> 00:03:24,820 Wir könnten sagen: Dreieck ADC ist ähnlich dem Dreieck- 83 00:03:24,820 --> 00:03:27,130 wir fangen wieder am blauen Winkel an. 84 00:03:27,130 --> 00:03:29,500 A. Dann zum rechten Winkel. 85 00:03:29,500 --> 00:03:32,220 Also gehen wir erneut zum rechten Winkel. 86 00:03:32,220 --> 00:03:32,830 Also ist es ACB. 87 00:03:32,830 --> 00:03:37,190 Also ist es ACB. 88 00:03:37,190 --> 00:03:39,270 Da sich beide ähnlich sind, können wir 89 00:03:39,270 --> 00:03:42,220 eine Beziehung zwischen dem Verhältnis ihrer Seiten herstellen. 90 00:03:42,220 --> 00:03:44,705 Wir kennen z.B. das Verhältnis zwischen gleichen Seiten 91 00:03:44,705 --> 00:03:47,080 für ähnliche Dreiecke im Allgemeinen, 92 00:03:47,080 --> 00:03:48,640 ist das Verhältnis zwischen übereinstimmenden Seiten 93 00:03:48,640 --> 00:03:49,890 eine Konstante. 94 00:03:49,890 --> 00:03:54,100 Wir könnten also das Verhältnis der Hypothenuse zum kleineren Dreieck 95 00:03:54,100 --> 00:03:54,960 nehmen. 96 00:03:54,960 --> 00:03:57,350 Die Hypothenuse ist also AC. 97 00:03:57,350 --> 00:04:00,710 Also AC geteilt durch die Hypothenuse des größeren, das ist AB, 98 00:04:00,710 --> 00:04:10,480 AC/AB ist das gleiche wie AD, 99 00:04:10,480 --> 00:04:14,180 als einer der Schenkel, AD. 100 00:04:14,180 --> 00:04:16,959 Das tue ich, um zu zeigen, dass ich gleiche Punkte 101 00:04:16,959 --> 00:04:23,794 auf beiden ähnlichen Dreiecke nehme, das ist AD/AC. 102 00:04:23,794 --> 00:04:25,960 Ihr könnt euch diese Dreiecke selber anschauen und sagen: 103 00:04:25,960 --> 00:04:29,930 Schaut, AD, Punkt AD, befindet sich zwischen dem blauen Winkel 104 00:04:29,930 --> 00:04:31,410 und dem rechten. 105 00:04:31,410 --> 00:04:34,760 Entschuldigung, Seite AD befindet sich zwischen dem blauen und dem rechten Winkel. 106 00:04:34,760 --> 00:04:38,025 Seite AC ist zwischen dem blauen und dem rechten Winkel 107 00:04:38,025 --> 00:04:39,010 am größeren Dreieck. 108 00:04:39,010 --> 00:04:40,950 Beide dieser Seiten sind also vom größeren Dreieck. 109 00:04:40,950 --> 00:04:43,660 Diese sind die gleichen Winkel an dem kleineren Dreieck. 110 00:04:43,660 --> 00:04:46,990 Wenn das Hinsehen hier zu verwirrend ist, 111 00:04:46,990 --> 00:04:50,199 solange wir unsere Ähnlichkeitsthese korrekt geschrieben haben, 112 00:04:50,199 --> 00:04:51,990 können wir einfach die übereinstimmenden Punkte finden. 113 00:04:51,990 --> 00:04:56,590 AC korrespondiert mit AB am größeren Dreieck, 114 00:04:56,590 --> 00:04:58,840 AD am kleineren Dreieck korrespondiert 115 00:04:58,840 --> 00:05:02,330 mit AC am größeren Dreieck. 116 00:05:02,330 --> 00:05:06,920 Und wir wissen, dass AC -- wir können das als "a" umschreiben. 117 00:05:06,920 --> 00:05:10,860 AC ist a. 118 00:05:10,860 --> 00:05:16,810 Wir haben keinen Namen für AD oder für AB. 119 00:05:16,810 --> 00:05:18,900 Entschuldigung, wir haben einen Namen für AB. 120 00:05:18,900 --> 00:05:20,590 Das hier drüben ist "c". 121 00:05:20,590 --> 00:05:23,790 Wir haben keinen Namen für AD. 122 00:05:23,790 --> 00:05:26,840 AD bezeichnen wir einfach als "d". 123 00:05:26,840 --> 00:05:30,400 d bezieht sich also auf diesen Teil hier. 124 00:05:30,400 --> 00:05:33,560 c bezieht sich auf den gesamten Teil hier. 125 00:05:33,560 --> 00:05:35,905 Und DB bezeichnen wir als Länge "e". 126 00:05:35,905 --> 00:05:38,700 Das macht es ein wenig einfacher für uns. 127 00:05:38,700 --> 00:05:41,760 Also AD, bezeichnen wir es einfach als d. 128 00:05:41,760 --> 00:05:43,850 Wir haben: a/c ist gleich d/c. 129 00:05:43,850 --> 00:05:47,830 Wenn wir überkreuz multiplizieren, haben wir a*a, das ergibt a zum Quadrat, 130 00:05:47,830 --> 00:05:50,791 ist gleich c*d, das ergibt cd. 131 00:05:50,791 --> 00:05:52,790 Das sieht schon ein wenig interessant aus. 132 00:05:52,790 --> 00:05:54,789 Schauen wir, was wir mir dem anderen Dreieck 133 00:05:54,789 --> 00:05:55,930 hier machen. 134 00:05:55,930 --> 00:05:57,940 Dieses Dreieck hier. 135 00:05:57,940 --> 00:05:59,490 Nochmals, es hat einen rechten Winkel. 136 00:05:59,490 --> 00:06:00,865 Das größere hat einen rechten Winkel. 137 00:06:00,865 --> 00:06:04,270 Und beide haben diesen Winkel hier gemeinsam. 138 00:06:04,270 --> 00:06:07,070 Bei Winkel-Winkel-Ähnlichkeit sind die zwei Dreiecke 139 00:06:07,070 --> 00:06:08,210 ähnlich. 140 00:06:08,210 --> 00:06:11,040 Wir sagen BDC, we sind von pinken 141 00:06:11,040 --> 00:06:12,970 zum rechten zum nicht benannten gegangen. 142 00:06:12,970 --> 00:06:20,352 Also ist Dreieck BDC ähnlich dem Dreieck- 143 00:06:20,352 --> 00:06:22,310 Wir schauen jetzt aufs größere Dreieck, 144 00:06:22,310 --> 00:06:23,430 wir starten bei pink. 145 00:06:23,430 --> 00:06:25,567 B. Nun gehen wir zum rechten Winkel. 146 00:06:25,567 --> 00:06:26,066 CA. 147 00:06:26,066 --> 00:06:29,190 CA. 148 00:06:29,190 --> 00:06:31,680 BCA. 149 00:06:31,680 --> 00:06:34,979 Vom pinken zum rechten Winkel zum unbenannten Winkel, 150 00:06:34,979 --> 00:06:36,520 zumindest von diesem Standpunkt aus. 151 00:06:36,520 --> 00:06:38,420 Das war vorher blau markiert. 152 00:06:38,420 --> 00:06:40,620 Stellen wir jetzt eine Beziehung her. 153 00:06:40,620 --> 00:06:45,040 Wir können sagen, das Verhältnis am kleineren Dreieck, BC, Seite 154 00:06:45,040 --> 00:06:50,130 BC/BA, noch einmal, 155 00:06:50,130 --> 00:06:53,230 wir nehmen die Hypothenuse von beiden. 156 00:06:53,230 --> 00:07:00,593 Also ist BC/BA gleich BD. 157 00:07:00,593 --> 00:07:02,590 Nehmen wir eine andere Farbe. 158 00:07:02,590 --> 00:07:03,450 BD. 159 00:07:03,450 --> 00:07:04,890 Das ist einer der Schenkel. 160 00:07:04,890 --> 00:07:05,570 BD. 161 00:07:05,570 --> 00:07:07,430 Ich hab es als kürzeren gezeichnet. 162 00:07:07,430 --> 00:07:10,370 BD/BC 163 00:07:10,370 --> 00:07:12,770 Ich nehme lediglich übereinstimmende Ecken. 164 00:07:12,770 --> 00:07:14,600 /BC 165 00:07:14,600 --> 00:07:18,203 Hier wissen wir wieder, BC ist dasselbe wie b. 166 00:07:18,203 --> 00:07:20,322 BC ist b. 167 00:07:20,322 --> 00:07:22,926 BA ist c. 168 00:07:22,926 --> 00:07:25,570 BA ist c. 169 00:07:25,570 --> 00:07:29,740 Und BD haben wir als e definiert. 170 00:07:29,740 --> 00:07:31,260 Das ist also e. 171 00:07:31,260 --> 00:07:33,210 Wir können hier überkreuz multiplizieren 172 00:07:33,210 --> 00:07:37,830 und bekommen b*b, ich erwähnte dies in mehrereren Videos, 173 00:07:37,830 --> 00:07:40,310 Überkreuzmultiplizieren ist dasselbe wie 174 00:07:40,310 --> 00:07:42,680 beide Seiten mit beiden Nennern zu multiplizieren. 175 00:07:42,680 --> 00:07:47,960 b*b ist b zum Quadrat ist gleich ce. 176 00:07:47,960 --> 00:07:50,010 Jetzt tun wir etwas Interessantes. 177 00:07:50,010 --> 00:07:51,406 Wir können die beiden Ausdrücke addieren. 178 00:07:51,406 --> 00:07:53,030 Schreiben wir diesen Ausdruck nochmal hin. 179 00:07:53,030 --> 00:07:56,100 b zum Quadrat ist also gleich ce. 180 00:07:56,100 --> 00:07:58,310 Addieren wir jeweils die linke Seite, 181 00:07:58,310 --> 00:08:02,120 bekommen wir a zum Quadrat + b zum Quadrat. 182 00:08:02,120 --> 00:08:09,420 a zum Quadrat + b zum Quadrat = cd + ce. 183 00:08:09,420 --> 00:08:12,595 a zum Quadrat + b zum Quadrat = cd + ce. 184 00:08:12,595 --> 00:08:14,917 Wir haben ein c in beiden der Terme, 185 00:08:14,917 --> 00:08:16,000 das können wir ausmultiplizieren. 186 00:08:16,000 --> 00:08:19,880 Das ist also gleich-- wir können c ausmultiplizieren. 187 00:08:19,880 --> 00:08:22,952 Es ist also gleich c * (d+e). 188 00:08:22,952 --> 00:08:29,790 c * (d+e) -- und Klammer zu. 189 00:08:29,790 --> 00:08:31,460 Was ist nun d + e ? 190 00:08:31,460 --> 00:08:34,159 d ist diese Länge, e diese. 191 00:08:34,159 --> 00:08:37,169 d + e ergibt dann also ebenfalls c. 192 00:08:37,169 --> 00:08:38,496 Das ist also c. 193 00:08:38,496 --> 00:08:41,039 Wir haben c*c, was genau das gleiche wie 194 00:08:41,039 --> 00:08:43,030 c zum Quadrat ist. 195 00:08:43,030 --> 00:08:45,700 Jetzt haben wir eine interessante Beziehung. 196 00:08:45,700 --> 00:08:51,150 Wir haben: a zum Quadrat + b zum Quadrat = c zum Quadrat 197 00:08:51,150 --> 00:08:52,580 Schreiben wir das hin. 198 00:08:52,580 --> 00:08:54,300 a zum Quadrat. 199 00:08:54,300 --> 00:08:58,623 Nehmen wir dafür eine beliebige Farbe. 200 00:08:58,623 --> 00:09:02,380 Das habe ich aus Versehen gelöscht, schreiben wir es neu. 201 00:09:02,380 --> 00:09:07,390 Wir haben es also gerade geschafft, dass a zum Quadrat + b zum Quadrat 202 00:09:07,390 --> 00:09:09,400 gleich c zum Quadrat ist. 203 00:09:09,400 --> 00:09:11,320 Und das ist nur ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck. 204 00:09:11,320 --> 00:09:13,590 Das gilt für jedes rechtwinklige Dreieck. 205 00:09:13,590 --> 00:09:17,120 Wir haben gerade nachgewiesen, dass die Summe beider Quadrate 206 00:09:17,120 --> 00:09:20,060 der Schenkel gleich dem Quadrat der Hypothenuse ist. 207 00:09:20,060 --> 00:09:22,550 Das ist wahrscheinlich, kurz gesagt, 208 00:09:22,550 --> 00:09:26,220 eine der bekanntesten mathematischen Lehrsätze, benannt 209 00:09:26,220 --> 00:09:27,360 nach Pythagoras. 210 00:09:27,360 --> 00:09:30,370 Es ist nicht bekannt, ob er der Erste ist, der dies nachgewiesen hat, 211 00:09:30,370 --> 00:09:32,310 man nennt ihn jedoch den Satz des Pythagoras. 212 00:09:32,310 --> 00:09:38,290 man nennt ihn jedoch den Satz des Pythagoras. 213 00:09:38,290 --> 00:09:41,469 Es ist zwar nicht Grundlage für die gesamte Geometrie, 214 00:09:41,469 --> 00:09:43,510 aber für das Meiste, was wir in Geometrie machen. 215 00:09:43,510 --> 00:09:45,880 Es bildet auch Grundlage für das Meiste der Trigonometrie, die wir 216 00:09:45,880 --> 00:09:46,230 behandeln. 217 00:09:46,230 --> 00:09:47,550 Es ist ein nützliches Verfahren; wenn man 218 00:09:47,550 --> 00:09:49,299 2 Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennt, 219 00:09:49,299 --> 00:09:51,890 kann man immer die dritte finden.