0:00:00.000,0:00:00.670 Bei diesem Dreieck hier handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. 0:00:00.670,0:00:04.045 Bei diesem Dreieck hier handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. 0:00:04.045,0:00:06.600 Rechtwinklig, weil es einen 90-Grad-Winkel 0:00:06.600,0:00:09.240 oder einen rechten Winkel besitzt. 0:00:09.240,0:00:12.520 Man nennt die längste Seite eines Dreiecks 0:00:12.520,0:00:14.599 Man nennt die längste Seite eines Dreiecks 0:00:14.599,0:00:17.140 oder die Seite, die gegenüber des 0:00:17.140,0:00:20.980 90-Grad-Winkels liegt, die Hypothenuse. 0:00:20.980,0:00:23.740 Ein schicker Begriff für eine einfache Idee, 0:00:23.740,0:00:26.140 die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks oder die Seite 0:00:26.140,0:00:27.542 gegenüber des 90-Grad-Winkels. 0:00:27.542,0:00:29.500 Es ist gut zu wissen, wenn jemand 0:00:29.500,0:00:30.090 Hypothenuse sagt. 0:00:30.090,0:00:32.548 Und dann verstehen wir, sie reden über diese Seite hier, 0:00:32.548,0:00:36.580 die längste Seite, die Seite gegenüber des 90-Grad-Winkels 0:00:36.580,0:00:38.860 In diesem Video möchte ich 0:00:38.860,0:00:42.167 eine Beziehung, eine sehr bekannte Beziehung beweisen. 0:00:42.167,0:00:43.750 Und wir sehen, zu was das führt. 0:00:43.750,0:00:46.370 Eine sehr bekannte Beziehung zwischen den Längen 0:00:46.370,0:00:48.840 der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. 0:00:48.840,0:00:53.210 Sagen wir, die Länge von AC, also A, C 0:00:53.210,0:00:55.930 nennen wir diese Länge "a". 0:00:55.930,0:01:00.040 Nennen wir die Länge von BC "b", genau hier. 0:01:00.040,0:01:03.420 Großbuchstaben für Punkte, Kleinbuchstaben für Längen. 0:01:03.420,0:01:06.630 Nennen wir die Länge der Hypothenuse, die Länge von AB, 0:01:06.630,0:01:07.822 die nennen wir "c". 0:01:07.822,0:01:10.030 Versuchen wir, eine Beziehung 0:01:10.030,0:01:12.790 zwischen a,b und c herzustellen. 0:01:12.790,0:01:14.780 Dazu werde ich zuerst eine weitere Linie 0:01:14.780,0:01:16.410 oder ein weiteres Segment konstruieren, 0:01:16.410,0:01:19.520 zwischen c und der Hypothenuse. 0:01:19.520,0:01:21.600 ich konstruiere es so, dass sie 0:01:21.600,0:01:23.880 sich in einem Punkt treffen. 0:01:23.880,0:01:25.006 Das kann man immer machen. 0:01:25.006,0:01:27.005 Und diesen Punkt hier oben, diesen Punkt 0:01:27.005,0:01:28.120 nennen wir "D". 0:01:28.120,0:01:31.010 Wie kann man dies eigentlich immer machen? 0:01:31.010,0:01:33.634 Lassen wir das ganze Dreieck hier drehen. 0:01:33.634,0:01:36.050 Das ist kein klarer Beweis, aber es gibt uns 0:01:36.050,0:01:38.100 eine ungefähre Idee, wie man immer einen 0:01:38.100,0:01:39.810 Punkt wie diesen konstruieren kann. 0:01:39.810,0:01:41.260 Wenn ich es drehe, 0:01:41.260,0:01:44.750 liegt das Dreieck auf seiner Hypothenuse. 0:01:44.750,0:01:48.414 Das ist jetzt Punkt B, das hier Punkt A. 0:01:48.414,0:01:50.580 Wir haben das hier komplett gedreht. 0:01:50.580,0:01:52.710 Das hier ist Punkt C. Wenn man einen Stein 0:01:52.710,0:01:55.820 von Punkt C fallen ließe, vielleicht an einem Seil, 0:01:55.820,0:01:59.460 würde er die Hypothenuse im rechten Winkel treffen. 0:01:59.460,0:02:02.980 Das ist alles, was wir gemacht haben, um Segment CD zu errichten, da wo wir 0:02:02.980,0:02:05.570 unseren Punkt D hier gesetzt haben. 0:02:05.570,0:02:07.220 Der Grund dafür ist, dass wir nun 0:02:07.220,0:02:09.289 alle Arten von interessanten Beziehungen 0:02:09.289,0:02:10.490 zwischen ähnlichen Dreiecken herstellen können. 0:02:10.490,0:02:12.180 Wir haben hier 3 Dreiecke. 0:02:12.180,0:02:15.604 Wir haben Dreieck ADC, Dreieck DBC, 0:02:15.604,0:02:17.520 und wir haben das ursprünglich größere Dreieck. 0:02:17.520,0:02:19.890 Hoffentlich können wir Ähnlichkeit 0:02:19.890,0:02:21.980 zwischen diesen Dreiecken herstellen. 0:02:21.980,0:02:27.590 Zuerst zeige ich euch, dass ADC ähnlich dem größeren Dreieck ist, 0:02:27.590,0:02:29.710 denn beide haben einen rechten Winkel. 0:02:29.710,0:02:32.070 ADC hat einen rechten Winkel genau hier. 0:02:32.070,0:02:33.571 Wenn dieser Winkel 90 Grad beträgt, 0:02:33.571,0:02:35.653 dann beträgt dieser hier genauso 90 Grad. 0:02:35.653,0:02:36.660 Sie ergänzen sich. 0:02:36.660,0:02:38.510 Sie ergeben zusammen 180 Grad. 0:02:38.510,0:02:40.440 Also besitzen beide einen rechten Winkel. 0:02:40.440,0:02:42.060 Das kleinere hat einen rechten Winkel, 0:02:42.060,0:02:43.590 das größere hat einen rechten Winkel, 0:02:43.590,0:02:44.840 unser Ausgangsdreieck. 0:02:44.840,0:02:48.690 Beide haben auch diesen Winkel hier gemeinsam, 0:02:48.690,0:02:52.150 Winkel DAC oder BAC, je nachdem, wie man 0:02:52.150,0:02:53.580 ihn bezeichnen möchte. 0:02:53.580,0:02:56.720 Also können wir dieses Dreieck hier beschreiben. 0:02:56.720,0:03:00.290 Ich beginne mit dem kleineren, ADC. 0:03:00.290,0:03:02.190 Ich straffiere es hier mal aus. 0:03:02.190,0:03:04.023 Wir sprechen also über dieses Dreieck hier, 0:03:04.023,0:03:05.429 Dreieck ADC. 0:03:05.429,0:03:07.470 Ich gehe vom blauen Winkel zum rechten Winkel 0:03:07.470,0:03:10.620 zum unbenannten Winkel vom Standpunkt des Dreiecks ADC aus. 0:03:10.620,0:03:13.860 Dieser rechte Winkel betrifft nicht diesen hier. 0:03:13.860,0:03:15.820 Er betrifft das größere Dreieck. 0:03:15.820,0:03:24.820 Wir könnten sagen: Dreieck ADC ist ähnlich dem Dreieck- 0:03:24.820,0:03:27.130 wir fangen wieder am blauen Winkel an. 0:03:27.130,0:03:29.500 A. Dann zum rechten Winkel. 0:03:29.500,0:03:32.220 Also gehen wir erneut zum rechten Winkel. 0:03:32.220,0:03:32.830 Also ist es ACB. 0:03:32.830,0:03:37.190 Also ist es ACB. 0:03:37.190,0:03:39.270 Da sich beide ähnlich sind, können wir 0:03:39.270,0:03:42.220 eine Beziehung zwischen dem Verhältnis ihrer Seiten herstellen. 0:03:42.220,0:03:44.705 Wir kennen z.B. das Verhältnis zwischen gleichen Seiten 0:03:44.705,0:03:47.080 für ähnliche Dreiecke im Allgemeinen, 0:03:47.080,0:03:48.640 ist das Verhältnis zwischen übereinstimmenden Seiten 0:03:48.640,0:03:49.890 eine Konstante. 0:03:49.890,0:03:54.100 Wir könnten also das Verhältnis der Hypothenuse zum kleineren Dreieck 0:03:54.100,0:03:54.960 nehmen. 0:03:54.960,0:03:57.350 Die Hypothenuse ist also AC. 0:03:57.350,0:04:00.710 Also AC geteilt durch die Hypothenuse des größeren, das ist AB, 0:04:00.710,0:04:10.480 AC/AB ist das gleiche wie AD, 0:04:10.480,0:04:14.180 als einer der Schenkel, AD. 0:04:14.180,0:04:16.959 Das tue ich, um zu zeigen, dass ich gleiche Punkte 0:04:16.959,0:04:23.794 auf beiden ähnlichen Dreiecke nehme, das ist AD/AC. 0:04:23.794,0:04:25.960 Ihr könnt euch diese Dreiecke selber anschauen und sagen: 0:04:25.960,0:04:29.930 Schaut, AD, Punkt AD, befindet sich zwischen dem blauen Winkel 0:04:29.930,0:04:31.410 und dem rechten. 0:04:31.410,0:04:34.760 Entschuldigung, Seite AD befindet sich zwischen dem blauen und dem rechten Winkel. 0:04:34.760,0:04:38.025 Seite AC ist zwischen dem blauen und dem rechten Winkel 0:04:38.025,0:04:39.010 am größeren Dreieck. 0:04:39.010,0:04:40.950 Beide dieser Seiten sind also vom größeren Dreieck. 0:04:40.950,0:04:43.660 Diese sind die gleichen Winkel an dem kleineren Dreieck. 0:04:43.660,0:04:46.990 Wenn das Hinsehen hier zu verwirrend ist, 0:04:46.990,0:04:50.199 solange wir unsere Ähnlichkeitsthese korrekt geschrieben haben, 0:04:50.199,0:04:51.990 können wir einfach die übereinstimmenden Punkte finden. 0:04:51.990,0:04:56.590 AC korrespondiert mit AB am größeren Dreieck, 0:04:56.590,0:04:58.840 AD am kleineren Dreieck korrespondiert 0:04:58.840,0:05:02.330 mit AC am größeren Dreieck. 0:05:02.330,0:05:06.920 Und wir wissen, dass AC -- wir können das als "a" umschreiben. 0:05:06.920,0:05:10.860 AC ist a. 0:05:10.860,0:05:16.810 Wir haben keinen Namen für AD oder für AB. 0:05:16.810,0:05:18.900 Entschuldigung, wir haben einen Namen für AB. 0:05:18.900,0:05:20.590 Das hier drüben ist "c". 0:05:20.590,0:05:23.790 Wir haben keinen Namen für AD. 0:05:23.790,0:05:26.840 AD bezeichnen wir einfach als "d". 0:05:26.840,0:05:30.400 d bezieht sich also auf diesen Teil hier. 0:05:30.400,0:05:33.560 c bezieht sich auf den gesamten Teil hier. 0:05:33.560,0:05:35.905 Und DB bezeichnen wir als Länge "e". 0:05:35.905,0:05:38.700 Das macht es ein wenig einfacher für uns. 0:05:38.700,0:05:41.760 Also AD, bezeichnen wir es einfach als d. 0:05:41.760,0:05:43.850 Wir haben: a/c ist gleich d/c. 0:05:43.850,0:05:47.830 Wenn wir überkreuz multiplizieren, haben wir a*a, das ergibt a zum Quadrat, 0:05:47.830,0:05:50.791 ist gleich c*d, das ergibt cd. 0:05:50.791,0:05:52.790 Das sieht schon ein wenig interessant aus. 0:05:52.790,0:05:54.789 Schauen wir, was wir mir dem anderen Dreieck 0:05:54.789,0:05:55.930 hier machen. 0:05:55.930,0:05:57.940 Dieses Dreieck hier. 0:05:57.940,0:05:59.490 Nochmals, es hat einen rechten Winkel. 0:05:59.490,0:06:00.865 Das größere hat einen rechten Winkel. 0:06:00.865,0:06:04.270 Und beide haben diesen Winkel hier gemeinsam. 0:06:04.270,0:06:07.070 Bei Winkel-Winkel-Ähnlichkeit sind die zwei Dreiecke 0:06:07.070,0:06:08.210 ähnlich. 0:06:08.210,0:06:11.040 Wir sagen BDC, we sind von pinken 0:06:11.040,0:06:12.970 zum rechten zum nicht benannten gegangen. 0:06:12.970,0:06:20.352 Also ist Dreieck BDC ähnlich dem Dreieck- 0:06:20.352,0:06:22.310 Wir schauen jetzt aufs größere Dreieck, 0:06:22.310,0:06:23.430 wir starten bei pink. 0:06:23.430,0:06:25.567 B. Nun gehen wir zum rechten Winkel. 0:06:25.567,0:06:26.066 CA. 0:06:26.066,0:06:29.190 CA. 0:06:29.190,0:06:31.680 BCA. 0:06:31.680,0:06:34.979 Vom pinken zum rechten Winkel zum unbenannten Winkel, 0:06:34.979,0:06:36.520 zumindest von diesem Standpunkt aus. 0:06:36.520,0:06:38.420 Das war vorher blau markiert. 0:06:38.420,0:06:40.620 Stellen wir jetzt eine Beziehung her. 0:06:40.620,0:06:45.040 Wir können sagen, das Verhältnis am kleineren Dreieck, BC, Seite 0:06:45.040,0:06:50.130 BC/BA, noch einmal, 0:06:50.130,0:06:53.230 wir nehmen die Hypothenuse von beiden. 0:06:53.230,0:07:00.593 Also ist BC/BA gleich BD. 0:07:00.593,0:07:02.590 Nehmen wir eine andere Farbe. 0:07:02.590,0:07:03.450 BD. 0:07:03.450,0:07:04.890 Das ist einer der Schenkel. 0:07:04.890,0:07:05.570 BD. 0:07:05.570,0:07:07.430 Ich hab es als kürzeren gezeichnet. 0:07:07.430,0:07:10.370 BD/BC 0:07:10.370,0:07:12.770 Ich nehme lediglich übereinstimmende Ecken. 0:07:12.770,0:07:14.600 /BC 0:07:14.600,0:07:18.203 Hier wissen wir wieder, BC ist dasselbe wie b. 0:07:18.203,0:07:20.322 BC ist b. 0:07:20.322,0:07:22.926 BA ist c. 0:07:22.926,0:07:25.570 BA ist c. 0:07:25.570,0:07:29.740 Und BD haben wir als e definiert. 0:07:29.740,0:07:31.260 Das ist also e. 0:07:31.260,0:07:33.210 Wir können hier überkreuz multiplizieren 0:07:33.210,0:07:37.830 und bekommen b*b, ich erwähnte dies in mehrereren Videos, 0:07:37.830,0:07:40.310 Überkreuzmultiplizieren ist dasselbe wie 0:07:40.310,0:07:42.680 beide Seiten mit beiden Nennern zu multiplizieren. 0:07:42.680,0:07:47.960 b*b ist b zum Quadrat ist gleich ce. 0:07:47.960,0:07:50.010 Jetzt tun wir etwas Interessantes. 0:07:50.010,0:07:51.406 Wir können die beiden Ausdrücke addieren. 0:07:51.406,0:07:53.030 Schreiben wir diesen Ausdruck nochmal hin. 0:07:53.030,0:07:56.100 b zum Quadrat ist also gleich ce. 0:07:56.100,0:07:58.310 Addieren wir jeweils die linke Seite, 0:07:58.310,0:08:02.120 bekommen wir a zum Quadrat + b zum Quadrat. 0:08:02.120,0:08:09.420 a zum Quadrat + b zum Quadrat = cd + ce. 0:08:09.420,0:08:12.595 a zum Quadrat + b zum Quadrat = cd + ce. 0:08:12.595,0:08:14.917 Wir haben ein c in beiden der Terme, 0:08:14.917,0:08:16.000 das können wir ausmultiplizieren. 0:08:16.000,0:08:19.880 Das ist also gleich-- wir können c ausmultiplizieren. 0:08:19.880,0:08:22.952 Es ist also gleich c * (d+e). 0:08:22.952,0:08:29.790 c * (d+e) -- und Klammer zu. 0:08:29.790,0:08:31.460 Was ist nun d + e ? 0:08:31.460,0:08:34.159 d ist diese Länge, e diese. 0:08:34.159,0:08:37.169 d + e ergibt dann also ebenfalls c. 0:08:37.169,0:08:38.496 Das ist also c. 0:08:38.496,0:08:41.039 Wir haben c*c, was genau das gleiche wie 0:08:41.039,0:08:43.030 c zum Quadrat ist. 0:08:43.030,0:08:45.700 Jetzt haben wir eine interessante Beziehung. 0:08:45.700,0:08:51.150 Wir haben: a zum Quadrat + b zum Quadrat = c zum Quadrat 0:08:51.150,0:08:52.580 Schreiben wir das hin. 0:08:52.580,0:08:54.300 a zum Quadrat. 0:08:54.300,0:08:58.623 Nehmen wir dafür eine beliebige Farbe. 0:08:58.623,0:09:02.380 Das habe ich aus Versehen gelöscht, schreiben wir es neu. 0:09:02.380,0:09:07.390 Wir haben es also gerade geschafft, dass a zum Quadrat + b zum Quadrat 0:09:07.390,0:09:09.400 gleich c zum Quadrat ist. 0:09:09.400,0:09:11.320 Und das ist nur ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck. 0:09:11.320,0:09:13.590 Das gilt für jedes rechtwinklige Dreieck. 0:09:13.590,0:09:17.120 Wir haben gerade nachgewiesen, dass die Summe beider Quadrate 0:09:17.120,0:09:20.060 der Schenkel gleich dem Quadrat der Hypothenuse ist. 0:09:20.060,0:09:22.550 Das ist wahrscheinlich, kurz gesagt, 0:09:22.550,0:09:26.220 eine der bekanntesten mathematischen Lehrsätze, benannt 0:09:26.220,0:09:27.360 nach Pythagoras. 0:09:27.360,0:09:30.370 Es ist nicht bekannt, ob er der Erste ist, der dies nachgewiesen hat, 0:09:30.370,0:09:32.310 man nennt ihn jedoch den Satz des Pythagoras. 0:09:32.310,0:09:38.290 man nennt ihn jedoch den Satz des Pythagoras. 0:09:38.290,0:09:41.469 Es ist zwar nicht Grundlage für die gesamte Geometrie, 0:09:41.469,0:09:43.510 aber für das Meiste, was wir in Geometrie machen. 0:09:43.510,0:09:45.880 Es bildet auch Grundlage für das Meiste der Trigonometrie, die wir 0:09:45.880,0:09:46.230 behandeln. 0:09:46.230,0:09:47.550 Es ist ein nützliches Verfahren; wenn man 0:09:47.550,0:09:49.299 2 Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennt, 0:09:49.299,0:09:51.890 kann man immer die dritte finden.