Użyj >,< lub = aby porównać dwa ułamki: 21/28
i 6/9. To zadanie można rozwiązać na kilka sposobów.
Najłatwiej jest sprowadzić je do wspólnego
mianownika, a wtedy wystarczy porównać liczniki.
Te dwa ułamki mają różne mianowniki.
Możemy znaleźć wspólny mianownik
dla obu ułamków i przekształcić je
tak, by miały ten sam mianownik, a następnie porównać
liczniki. Jeszcze prościej, możemy
najpierw je uprościć a potem szukać wspólnego mianownika.
Zacznijmy od 21/28, licznik i mianownik dzielą się przez 7.
Podzielimy więc licznik i mianownik przez 7.
21 dzielone przez 7 i 28 dzielone przez 7.
Ponieważ dzielimy i licznik i mianownik przez 7, nie zmieniamy
wartości ułamka. 21 podzielić przez 7 równa się 3,
28 podzielić przez 7 równa się 4.
A zatem 21/28 - 3/4.
Teraz zrobimy to samo z 6/9.
I 6 i 9 dzielą się przez 3.
Podzielmy obie liczby, 6 i 9, przez 3.
Sześć podzielić na 3 równa się 2.
Dziewięć podzielić na 3 równa się 3.
A zatem, 21/28 = 3/4.
A 6/9 = 2/3.
Teraz musimy porównać 3/4 i 2/3.
Zysk z uproszczenia ułamków polega na tym, że łatwiej jest
znaleźć wspólny mianownik dla 3 i 4 niż dla 28 i 9,
bo w tym drugim przypadku trzeba mnożyć duże liczby.
A tu mamy tylko 3 i 4.
Najmniejszy wspólny mianownik dla 3/4 i 2/3 równa się najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW)
dla 4 i 3.
Czwórka i trójka nie mają wspólnych czynników w rozkładzie na czynniki pierwsze,
więc ich NWW jest po prostu iloczynem 3 i 4, 3 razy 4 równa się 12.
Zapiszmy teraz 3/4 jako ułamek o mianowniku 12. 3/4 = /12.
I to samo dla 2/3. 2/3 = /12.
12 otrzymaliśmy mnożąc przez siebie 3 i 4, dlatego że nie mają
one wspólnych czynników w rozkładzie na czynniki pierwsze.
Inaczej, rozkład 4 na czynniki pierwsze to 4 = 2 razy 2.
A 3 jest liczną pierwszą, więc rozkład 3
to po prostu 3.
Liczba, która zawiera wszystkie czynniki pierwsze rozkładu 4 i 3 równa się 2 razy 2 razy 3.
2 razy 2 razy 3 równa się 12. W ten sposób wyliczyliśmy najmniejsza wspólną wielokrotność.
Aby rozszerzyć 4 do 12, trzeba 4 pomnożyć przez 3.
Mnożymy mianownik przez 3, aby dostać 12.
Musimy także pomnożyć licznik przez 3.
3 razy 3 równa się 9.
Aby rozszerzyć 3 do 12, mnożymy mianownik przez 4.
Musimy także pomnożyć licznik przez 4.
4 razy 2 równa się 8.
A zatem 21/28 = 3/4 = 91/2.
A 6/9 = 2/3 = 8/12.
Który z tych dwóch ułamków jest większy?
Ponieważ oba mają ten sam mianownik, większy jest ten ułamek, którego
licznik jest większy. Wiemy, że 9 jest większe od 8.
A więc 21/28 > 6/9.
I zadanie zrobione.
Można to rozwiązać inaczej,
po prostu nie upraszczając ułamków. Spróbujmy to tak zrobić, dla samej przyjemności.
Bez upraszczania mamy 21/28 i 6/9.
Ile wynosi najmniejsza wspólna wielokrotność 28 i 9?
Rozkład na czynniki pierwsze 28 równa się 2 razy 2 razy 7.
Rozkład na czynniki pierwsze 9 równa się 3 razy 3.
NWW z 28 i 9 musi zawierać 2 razy 2 razy 3 razy 3 razy 7,
czyli to samo co 28 razy 9, a to się równa 252.
Wspólny mianownik jest równy 252.
Aby rozszerzyć 28 do 252, musieliśmy pomnożyć
mianownik przez 9, 28 razy 9 równa się 252.
Musimy więc także pomnożyć licznik przez 9.
21 razy 9 równa się 189.
Aby rozszerzyć 9 do 252
pomnożyliśmy mianownik przez 28.
A więc musimy także pomnożyć licznik przez 28.
A 6 razy 28 równa się 168.
Mamy więc wspólny mianownik
i możemy porównać liczniki.
Wiemy, że 189 > 168.
A więc 21/28 > 6/9.