WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:03.218
僕らは今、とあるおかしなカジノにいると考えよう。

00:00:03.218 --> 00:00:04.799
とてもおかしなゲームをしているカジノさ。

00:00:04.799 --> 00:00:07.455
君はテーブルに近づくと、その上には

00:00:07.455 --> 00:00:09.674
空の袋があるんだ。

00:00:09.674 --> 00:00:14.819
テーブルを取り仕切る奴はこう言う、「見て、ここにいくつかビー玉がある。

00:00:14.819 --> 00:00:19.400
3つの緑色のビー玉と、2つのオレンジ色のビー玉さ。
これを袋に突っ込む。」

00:00:19.400 --> 00:00:21.469
その言葉通り、彼はビー玉を空の袋に突っ込んだので

00:00:21.469 --> 00:00:30.442
中には3つの緑色のビー玉と2つのオレンジ色のビー玉があることが確実に分かる。

00:00:30.442 --> 00:00:35.123
そして彼は言う、
「君にプレイしてもらいたいゲームは、もし君が乗り気ならだけど、

00:00:35.123 --> 00:00:38.420
中を見ずに袋に手を入れてもらう。

00:00:38.420 --> 00:00:39.738
袋は透明でないし

00:00:39.738 --> 00:00:42.769
ビー玉の質感は全く同じだ。

00:00:42.769 --> 00:00:45.974
2つの緑色のビー玉を取り出せたら君の勝ち。

00:00:45.974 --> 00:00:50.084
まず1回目に取り出したビー玉が緑なら、
それをテーブルの上に置く。

00:00:50.084 --> 00:00:52.523
そしてもう一度袋に手を入れ

00:00:52.523 --> 00:00:55.405
もう1つビー玉を取り出す。それもまた緑色なら

00:00:55.405 --> 00:00:58.769
君は賞金を受け取る。

00:00:58.769 --> 00:01:06.890
2つの緑のビー玉を取り出せば 1ドルの賞金だ。」

00:01:06.890 --> 00:01:08.305
それで君は答える。

00:01:08.305 --> 00:01:10.388
「面白そうなゲームだね。
賭け金はいくら？」

00:01:10.388 --> 00:01:15.269
そいつは 35セントだと答える。

00:01:15.269 --> 00:01:18.387
言うまでもなく、かなり賭け金の低いカジノだ。

00:01:18.387 --> 00:01:23.071
さてここで問題だ、
君はこのゲームをプレイしたいと思うかい？

00:01:23.071 --> 00:01:25.286
ただし、面白さについては考慮しないことにしよう。

00:01:25.286 --> 00:01:32.350
お金の損得だけを考えた時、
このゲームをプレイするのは理にかなうだろうか？

00:01:32.350 --> 00:01:35.368
さて、確率についてしばし考えよう。

00:01:35.368 --> 00:01:41.219
まず最初に、1番目に取り出したビー玉が緑色である確率はどのくらいだろう？

00:01:41.219 --> 00:01:47.938
1番目のビー玉が緑色である確率は？

00:01:47.938 --> 00:01:50.142
おっと、「最初が緑」と略させてもらうよ。

00:01:50.142 --> 00:01:54.410
「最初が緑の確率」と。

00:01:54.410 --> 00:01:57.151
起こりうる全ての場合の数は、

00:01:57.151 --> 00:01:59.188
同様に確からしい5つのビー玉があるから、

00:01:59.188 --> 00:02:01.304
全部で5通りある。

00:02:01.304 --> 00:02:04.522
そのうち「最初は緑」となる事象は3つだから

00:02:04.522 --> 00:02:08.602
最初が緑になる確率は 3/5 だ。

00:02:08.602 --> 00:02:10.437
だから君には 3/5 の見込みがあるわけだ。

00:02:10.437 --> 00:02:12.460
3/5 の確率、だけど気を付けるべきは

00:02:12.460 --> 00:02:15.891
1つ取り出した後もゲームはまだ続いてるってことだ。

00:02:15.891 --> 00:02:20.810
今、本当に関心があるのは、ゲームに勝つ確率だ。

00:02:20.810 --> 00:02:24.695
1つ目が緑で、さらに2つ目も緑になってほしいのさ。

00:02:24.695 --> 00:02:27.606
これについて少し考えよう。
最初が緑になる

00:02:27.606 --> 00:02:32.111
確率はどのくらいだろう？

00:02:32.111 --> 00:02:32.960
「g」と略して書くことにしよう。

00:02:32.960 --> 00:02:38.204
次に2番目が緑になる確率は？

00:02:38.204 --> 00:02:41.261
もしかすると、君はこう言いたくなるかもしれない。

00:02:41.261 --> 00:02:43.565
「ああきっと、2番目が緑の確率も同じように 3/5 で、

00:02:43.565 --> 00:02:47.608
単に 3/5 と 3/5 を掛ければ良いんだよ。

00:02:47.608 --> 00:02:49.362
だから 9/25 が答えさ。

00:02:49.362 --> 00:02:52.245
簡単なことじゃないか。」

00:02:52.245 --> 00:02:56.177
でも、1番目の緑のビー玉の扱いを思い出してほしい。

00:02:56.177 --> 00:03:00.037
1番目の緑のビー玉を取り出して、それを見た後、君はそれを袋に戻さない。

00:03:00.037 --> 00:03:05.560
だから2回目に取り出す時、袋の中の緑のビー玉の数は

00:03:05.560 --> 00:03:07.365
1回目の取り出しによって変わっているんだ。

00:03:07.365 --> 00:03:09.044
ビー玉を取り出した時、

00:03:09.044 --> 00:03:11.428
それが緑色であろうと、そうでなかろうと、

00:03:11.428 --> 00:03:14.175
1回目に取り出したものはテーブルの上に置いておくことに注意しよう。

00:03:14.175 --> 00:03:17.413
ビー玉はもとの袋に戻らないから、取り出した分は減ってしまう。

00:03:17.413 --> 00:03:20.175
だから1回目と2回目の事象は独立でない。

00:03:20.175 --> 00:03:24.556
「独立でない」という言葉の意味を明確にしよう。

00:03:24.556 --> 00:03:30.021
言い換えるなら、2回目の取り出しは1回目に依存する。

00:03:30.021 --> 00:03:36.890
「1回目に依存」と。

00:03:36.890 --> 00:03:41.679
1回目に緑が出た時、バッグの中のビー玉は5つ、うち3つが緑色、というわけではなく

00:03:41.679 --> 00:03:47.944
1回目が緑なら、残りのビー玉は4つ、うち緑色なのは2つだ。

00:03:47.944 --> 00:03:51.597
これによって、2つの事象が起こる確率が分かる。

00:03:51.597 --> 00:03:58.721
そう、最初が緑の確率は常に一定だ。

00:03:58.721 --> 00:04:07.185
掛ける、ここが今回の新しい考え方だけど、2回目が緑の確率を求めるには

00:04:07.185 --> 00:04:10.057
ある条件を考慮する必要がある。この小さい垂直な線は、

00:04:10.057 --> 00:04:12.889
ある条件を満たした上での確率であることを示す。

00:04:12.889 --> 00:04:16.425
ここで、条件があることを示すんだよ。

00:04:16.425 --> 00:04:19.113
次に条件を書く。ここでは「最初が緑」が条件だ。

00:04:19.113 --> 00:04:25.713
最初が緑だったと仮定して、2回目が緑になる確率はいくつだろう？

00:04:25.713 --> 00:04:28.177
さて、ここに筋書きを描こう。

00:04:28.177 --> 00:04:33.262
1回目のビー玉が緑なら、残りの起こりうる事象は4通りある。

00:04:33.262 --> 00:04:34.642
5通りではないよ。

00:04:34.642 --> 00:04:39.180
そのうち基準を満たすのは2通りだ。

00:04:39.180 --> 00:04:41.507
基準を満たすのは2通りだよ。

00:04:41.507 --> 00:04:46.255
だから1回目のビー玉が緑で、さらに2回目のビー玉も緑になる確率は

00:04:46.255 --> 00:04:48.400
まず最初が緑になる確率、

00:04:48.400 --> 00:04:50.303
つまり 3/5 だね。

00:04:50.303 --> 00:04:54.283
掛ける、1回目が緑と仮定した時の、2回目が緑となる確率。

00:04:54.283 --> 00:04:58.467
今 袋の中のビー玉は1つ減っていて、1回目が緑だと仮定しているから

00:04:58.467 --> 00:05:01.887
残りの緑のビー玉は2つだけだ。

00:05:01.887 --> 00:05:05.171
この式によると、最終的な確率はいくつだろう？

00:05:05.171 --> 00:05:07.137
ええと、3/5 掛ける 2/4 で、

00:05:07.137 --> 00:05:09.340
2/4 は 1/2 と等しいから

00:05:09.340 --> 00:05:14.202
3/5 掛ける 1/2 となって

00:05:14.202 --> 00:05:16.051
イコール 3/10 だ。

00:05:16.051 --> 00:05:20.941
0.30 とも書けるし、

00:05:20.941 --> 00:05:25.287
袋に戻すことなく2つの緑のビー玉を取り出すのに

00:05:25.287 --> 00:05:29.438
30%の見込みがあるとも言える。

00:05:29.438 --> 00:05:31.966
さて、これをもとに、もう一度問題を考えてみよう。

00:05:31.966 --> 00:05:35.054
このゲームをプレイしたいと思うかい？

00:05:35.054 --> 00:05:38.634
さて、このゲームをとてもとてもたくさんプレイした時、

00:05:38.634 --> 00:05:43.871
平均すると30%の確率で

00:05:43.871 --> 00:05:47.467
賞金の1ドルを得る。

00:05:47.467 --> 00:05:49.021
まだ終わりじゃないよ。

00:05:49.021 --> 00:05:52.052
賞金の期待値を計算すると、

00:05:52.052 --> 00:05:55.690
30% 掛ける 1ドル、

00:05:55.690 --> 00:05:56.754
あくまで目安だけど、

00:05:56.754 --> 00:06:01.462
30セントになる。

00:06:01.462 --> 00:06:03.021
30%の確率で1ドルを得るから、

00:06:03.021 --> 00:06:04.655
ゲームをとてもとてもたくさんプレイした時に

00:06:04.655 --> 00:06:06.152
期待できる賞金は

00:06:06.152 --> 00:06:11.002
1ゲームあたり平均30セントだ。

00:06:11.002 --> 00:06:13.054
さて、君は平均30セントを得るために

00:06:13.054 --> 00:06:17.660
35セントを支払いたいと思うかい？

00:06:17.660 --> 00:06:21.020
嫌だね。そんなことはしたくない。

00:06:21.020 --> 00:06:23.635
ここでもう一つ考えてほしいことがある。

00:06:23.635 --> 00:06:24.919
もし最初に緑のビー玉を

00:06:24.919 --> 00:06:29.292
取り出した後、それを袋に戻せるなら

00:06:29.292 --> 00:06:31.493
そのゲームをプレイしたいと思うかな？

00:06:31.493 --> 00:06:36.823
この条件でプレイしたいか、考えてみよう。