0:00:00.000,0:00:03.218
僕らは今、とあるおかしなカジノにいると考えよう。

0:00:03.218,0:00:04.799
とてもおかしなゲームをしているカジノさ。

0:00:04.799,0:00:07.455
君はテーブルに近づくと、その上には

0:00:07.455,0:00:09.674
空の袋があるんだ。

0:00:09.674,0:00:14.819
テーブルを取り仕切る奴はこう言う、「見て、ここにいくつかビー玉がある。

0:00:14.819,0:00:19.400
3つの緑色のビー玉と、2つのオレンジ色のビー玉さ。[br]これを袋に突っ込む。」

0:00:19.400,0:00:21.469
その言葉通り、彼はビー玉を空の袋に突っ込んだので

0:00:21.469,0:00:30.442
中には3つの緑色のビー玉と2つのオレンジ色のビー玉があることが確実に分かる。

0:00:30.442,0:00:35.123
そして彼は言う、[br]「君にプレイしてもらいたいゲームは、もし君が乗り気ならだけど、

0:00:35.123,0:00:38.420
中を見ずに袋に手を入れてもらう。

0:00:38.420,0:00:39.738
袋は透明でないし

0:00:39.738,0:00:42.769
ビー玉の質感は全く同じだ。

0:00:42.769,0:00:45.974
2つの緑色のビー玉を取り出せたら君の勝ち。

0:00:45.974,0:00:50.084
まず1回目に取り出したビー玉が緑なら、[br]それをテーブルの上に置く。

0:00:50.084,0:00:52.523
そしてもう一度袋に手を入れ

0:00:52.523,0:00:55.405
もう1つビー玉を取り出す。それもまた緑色なら

0:00:55.405,0:00:58.769
君は賞金を受け取る。

0:00:58.769,0:01:06.890
2つの緑のビー玉を取り出せば 1ドルの賞金だ。」

0:01:06.890,0:01:08.305
それで君は答える。

0:01:08.305,0:01:10.388
「面白そうなゲームだね。[br]賭け金はいくら？」

0:01:10.388,0:01:15.269
そいつは 35セントだと答える。

0:01:15.269,0:01:18.387
言うまでもなく、かなり賭け金の低いカジノだ。

0:01:18.387,0:01:23.071
さてここで問題だ、[br]君はこのゲームをプレイしたいと思うかい？

0:01:23.071,0:01:25.286
ただし、面白さについては考慮しないことにしよう。

0:01:25.286,0:01:32.350
お金の損得だけを考えた時、[br]このゲームをプレイするのは理にかなうだろうか？

0:01:32.350,0:01:35.368
さて、確率についてしばし考えよう。

0:01:35.368,0:01:41.219
まず最初に、1番目に取り出したビー玉が緑色である確率はどのくらいだろう？

0:01:41.219,0:01:47.938
1番目のビー玉が緑色である確率は？

0:01:47.938,0:01:50.142
おっと、「最初が緑」と略させてもらうよ。

0:01:50.142,0:01:54.410
「最初が緑の確率」と。

0:01:54.410,0:01:57.151
起こりうる全ての場合の数は、

0:01:57.151,0:01:59.188
同様に確からしい5つのビー玉があるから、

0:01:59.188,0:02:01.304
全部で5通りある。

0:02:01.304,0:02:04.522
そのうち「最初は緑」となる事象は3つだから

0:02:04.522,0:02:08.602
最初が緑になる確率は 3/5 だ。

0:02:08.602,0:02:10.437
だから君には 3/5 の見込みがあるわけだ。

0:02:10.437,0:02:12.460
3/5 の確率、だけど気を付けるべきは

0:02:12.460,0:02:15.891
1つ取り出した後もゲームはまだ続いてるってことだ。

0:02:15.891,0:02:20.810
今、本当に関心があるのは、ゲームに勝つ確率だ。

0:02:20.810,0:02:24.695
1つ目が緑で、さらに2つ目も緑になってほしいのさ。

0:02:24.695,0:02:27.606
これについて少し考えよう。[br]最初が緑になる

0:02:27.606,0:02:32.111
確率はどのくらいだろう？

0:02:32.111,0:02:32.960
「g」と略して書くことにしよう。

0:02:32.960,0:02:38.204
次に2番目が緑になる確率は？

0:02:38.204,0:02:41.261
もしかすると、君はこう言いたくなるかもしれない。

0:02:41.261,0:02:43.565
「ああきっと、2番目が緑の確率も同じように 3/5 で、

0:02:43.565,0:02:47.608
単に 3/5 と 3/5 を掛ければ良いんだよ。

0:02:47.608,0:02:49.362
だから 9/25 が答えさ。

0:02:49.362,0:02:52.245
簡単なことじゃないか。」

0:02:52.245,0:02:56.177
でも、1番目の緑のビー玉の扱いを思い出してほしい。

0:02:56.177,0:03:00.037
1番目の緑のビー玉を取り出して、それを見た後、君はそれを袋に戻さない。

0:03:00.037,0:03:05.560
だから2回目に取り出す時、袋の中の緑のビー玉の数は

0:03:05.560,0:03:07.365
1回目の取り出しによって変わっているんだ。

0:03:07.365,0:03:09.044
ビー玉を取り出した時、

0:03:09.044,0:03:11.428
それが緑色であろうと、そうでなかろうと、

0:03:11.428,0:03:14.175
1回目に取り出したものはテーブルの上に置いておくことに注意しよう。

0:03:14.175,0:03:17.413
ビー玉はもとの袋に戻らないから、取り出した分は減ってしまう。

0:03:17.413,0:03:20.175
だから1回目と2回目の事象は独立でない。

0:03:20.175,0:03:24.556
「独立でない」という言葉の意味を明確にしよう。

0:03:24.556,0:03:30.021
言い換えるなら、2回目の取り出しは1回目に依存する。

0:03:30.021,0:03:36.890
「1回目に依存」と。

0:03:36.890,0:03:41.679
1回目に緑が出た時、バッグの中のビー玉は5つ、うち3つが緑色、というわけではなく

0:03:41.679,0:03:47.944
1回目が緑なら、残りのビー玉は4つ、うち緑色なのは2つだ。

0:03:47.944,0:03:51.597
これによって、2つの事象が起こる確率が分かる。

0:03:51.597,0:03:58.721
そう、最初が緑の確率は常に一定だ。

0:03:58.721,0:04:07.185
掛ける、ここが今回の新しい考え方だけど、2回目が緑の確率を求めるには

0:04:07.185,0:04:10.057
ある条件を考慮する必要がある。この小さい垂直な線は、

0:04:10.057,0:04:12.889
ある条件を満たした上での確率であることを示す。

0:04:12.889,0:04:16.425
ここで、条件があることを示すんだよ。

0:04:16.425,0:04:19.113
次に条件を書く。ここでは「最初が緑」が条件だ。

0:04:19.113,0:04:25.713
最初が緑だったと仮定して、2回目が緑になる確率はいくつだろう？

0:04:25.713,0:04:28.177
さて、ここに筋書きを描こう。

0:04:28.177,0:04:33.262
1回目のビー玉が緑なら、残りの起こりうる事象は4通りある。

0:04:33.262,0:04:34.642
5通りではないよ。

0:04:34.642,0:04:39.180
そのうち基準を満たすのは2通りだ。

0:04:39.180,0:04:41.507
基準を満たすのは2通りだよ。

0:04:41.507,0:04:46.255
だから1回目のビー玉が緑で、さらに2回目のビー玉も緑になる確率は

0:04:46.255,0:04:48.400
まず最初が緑になる確率、

0:04:48.400,0:04:50.303
つまり 3/5 だね。

0:04:50.303,0:04:54.283
掛ける、1回目が緑と仮定した時の、2回目が緑となる確率。

0:04:54.283,0:04:58.467
今 袋の中のビー玉は1つ減っていて、1回目が緑だと仮定しているから

0:04:58.467,0:05:01.887
残りの緑のビー玉は2つだけだ。

0:05:01.887,0:05:05.171
この式によると、最終的な確率はいくつだろう？

0:05:05.171,0:05:07.137
ええと、3/5 掛ける 2/4 で、

0:05:07.137,0:05:09.340
2/4 は 1/2 と等しいから

0:05:09.340,0:05:14.202
3/5 掛ける 1/2 となって

0:05:14.202,0:05:16.051
イコール 3/10 だ。

0:05:16.051,0:05:20.941
0.30 とも書けるし、

0:05:20.941,0:05:25.287
袋に戻すことなく2つの緑のビー玉を取り出すのに

0:05:25.287,0:05:29.438
30%の見込みがあるとも言える。

0:05:29.438,0:05:31.966
さて、これをもとに、もう一度問題を考えてみよう。

0:05:31.966,0:05:35.054
このゲームをプレイしたいと思うかい？

0:05:35.054,0:05:38.634
さて、このゲームをとてもとてもたくさんプレイした時、

0:05:38.634,0:05:43.871
平均すると30%の確率で

0:05:43.871,0:05:47.467
賞金の1ドルを得る。

0:05:47.467,0:05:49.021
まだ終わりじゃないよ。

0:05:49.021,0:05:52.052
賞金の期待値を計算すると、

0:05:52.052,0:05:55.690
30% 掛ける 1ドル、

0:05:55.690,0:05:56.754
あくまで目安だけど、

0:05:56.754,0:06:01.462
30セントになる。

0:06:01.462,0:06:03.021
30%の確率で1ドルを得るから、

0:06:03.021,0:06:04.655
ゲームをとてもとてもたくさんプレイした時に

0:06:04.655,0:06:06.152
期待できる賞金は

0:06:06.152,0:06:11.002
1ゲームあたり平均30セントだ。

0:06:11.002,0:06:13.054
さて、君は平均30セントを得るために

0:06:13.054,0:06:17.660
35セントを支払いたいと思うかい？

0:06:17.660,0:06:21.020
嫌だね。そんなことはしたくない。

0:06:21.020,0:06:23.635
ここでもう一つ考えてほしいことがある。

0:06:23.635,0:06:24.919
もし最初に緑のビー玉を

0:06:24.919,0:06:29.292
取り出した後、それを袋に戻せるなら

0:06:29.292,0:06:31.493
そのゲームをプレイしたいと思うかな？

0:06:31.493,0:06:36.823
この条件でプレイしたいか、考えてみよう。